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2.2 求導法則與鏈鎖律#

導言#

若每次求導都要回到 \(\varepsilon\) – \(\delta\) 定義，微積分將寸步難行。本節建立求導的「代數系統」：四則法則、鏈鎖律、反函數法則。這些法則在 Leibniz 1684 年的論文中首次系統發表——正是其記號的可操作代數性，使微積分從「個案技巧」升級為「通用演算法」。其中鏈鎖律是微積分最重要的單一定理，也是現代機器學習反向傳播的數學核心。

四則求導法則#

設 \(f, g\) 在 \(x\) 可導， \(c\) 為常數：

法則 公式 證明核心
線性 \((cf \pm g)' = cf' \pm g'\) 極限的線性
乘法（Leibniz 律，1675） \((fg)' = f'g + fg'\) 加減項技巧
商法則 \(\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}\) （ \(g \neq 0\) ） 乘法則 + 誘導

乘法法則證明（加減項「茶道」）：

\[ \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} = \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x+h)}{h} + \frac{f(x)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}, \]

第一項趨於 \(f'(x)g(x)\) （用到 \(g\) 的連續性），第二項趨於 \(f(x)g'(x)\) 。這個「加減一項」技巧源自 1.2 節極限運算法則的證明，將在 9.1 節散度的乘積公式中再次出現。

Leibniz 記號的乘法法則：

\[ d(uv) = u\,dv + v\,du, \]

形式上像「展開 \((u+du)(v+dv) = uv + u\,dv + v\,du + du\,dv\) 後捨去二階無窮小 \(du\,dv\) 」。Leibniz 正是如此思考的；現代嚴格化後，這成為微分形式的乘積法則，且在高階情況給出優美的廣義 Leibniz 公式：

\[ (fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}, \]

與二項式定理完全同構——「求導是一階差分算子」的冪展開。

鏈鎖律#

定理 2.2.1（鏈鎖律）：設 \(g\) 在 \(a\) 可導， \(f\) 在 \(g(a)\) 可導，則複合函數 \(F = f \circ g\) 在 \(a\) 可導，且

\[ F'(a) = f'(g(a)) \cdot g'(a), \qquad \text{即} \qquad \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}. \]

證明的陷阱與出路：天真的想法是寫

\[ \frac{f(g(a+h)) - f(g(a))}{h} = \frac{f(g(a+h)) - f(g(a))}{g(a+h) - g(a)} \cdot \frac{g(a+h) - g(a)}{h}, \]

令 \(h \to 0\) 。但若 \(g(a+h) - g(a) = 0\) （例如 \(g(u) = u^2\) 在 \(u=0\) 附近不斷回到 \(0\) ），分母消失，除法失效。出路是改用「誤差函數」表述：

\[ \varepsilon(k) = \frac{f(g(a)+k) - f(g(a))}{k} - f'(g(a)) \quad (k \neq 0), \qquad \varepsilon(0) := 0. \]

由 \(f\) 在 \(g(a)\) 可導， \(\varepsilon(k) \to 0 = \varepsilon(0)\) ，即 \(\varepsilon\) 在 \(0\) 連續。於是對所有 \(k\) （含 \(k=0\) ）有

\[ f(g(a)+k) - f(g(a)) = \big(f'(g(a)) + \varepsilon(k)\big)\,k. \]

代入 \(k = g(a+h) - g(a)\) ，除以 \(h\) ，令 \(h \to 0\) ： \(k \to 0\) （ \(g\) 連續）， \(\varepsilon(k) \to 0\) ，得

\[ F'(a) = f'(g(a))\, g'(a). \qquad \blacksquare \]

這個證明的哲學意義深遠：把「商的極限」改寫為「線性主部 + 高階誤差」——這正是 2.3 節「微分」的定義，也是多變數可微性（6.1 節）與微分幾何中切映射的統一範式。

反函數求導法則#

定理 2.2.2：設 \(f\) 嚴格單調、在 \(a\) 可導且 \(f'(a) \neq 0\) ， \(g = f^{-1}\) ，則

\[ g'(f(a)) = \frac{1}{f'(a)}, \qquad \text{即} \qquad \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}. \]

證明思路：反函數的差商恰為原函數差商的倒數； \(f\) 可導必連續，嚴格單調連續函數的反函數連續（1.3 節），故 \(k = f(x) - f(a) \to 0\) 保證 \(x \to a\) 。

應用：反三角函數的導數。設 \(y = \arcsin x\) ，即 \(x = \sin y\) ， \(y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\) ：

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}. \]

同法可得：

\[ (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}, \qquad (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \qquad (\ln x)' = \frac{1}{x}. \]

歷史註： \((\ln x)' = \frac1x\) 是十七世紀的重大發現——Gregory 與 Mercator（1668）證明 \(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots\) ，其逐項導數級數正是 \(1 + (-x) + x^2 - \cdots = \frac{1}{1+x}\) 的幾何級數，這是冪級數理論（5.2 節）的起點之一。

隱函數求導#

方程 \(F(x, y) = 0\) 定義的曲線未必能解出 \(y = y(x)\) ，但可以形式上對 \(x\) 求導，把 \(y\) 視為 \(x\) 的函數，用鏈鎖律展開。

例題 2.2.3：求圓 \(x^2 + y^2 = 25\) 上點 \((3, 4)\) 處的切線斜率。

解：兩邊對 \(x\) 求導：

\[ 2x + 2y\,\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}. \]

代入 \((3,4)\) ： \(y' = -\dfrac{3}{4}\) 。切線： \(y - 4 = -\dfrac34(x-3)\) ，即 \(3x + 4y = 25\) 。

嚴格化：何時「隱函數」真的存在且可導？答案是隱函數定理（見 6.2 節）：若 \(F_x, F_y\) 連續且 \(F_y \neq 0\) ，則局部可解出 \(y(x)\) ，且 \(y' = -F_x / F_y\) 。上例中 \(F_y = 2y = 8 \neq 0\) ，合法。隱函數定理是微分幾何（流形定義）、經濟學（比較靜態）的基石。

高階導數與記號系統#

記號的三大家族：

記號 發明者 特點
\(f'(x), f''(x), f^{(n)}(x)\) Lagrange（1770s） 簡潔，適合函數層次表述
\(\dfrac{dy}{dx}, \dfrac{d^n y}{dx^n}\) Leibniz（1675–1684） 顯示變數，適合鏈鎖律、偏導、變分法
\(\dot{x}, \ddot{x}\) Newton（流數記號） 物理文獻（時間導數）沿用至今

Leibniz 記號的高階形式： \(\dfrac{d^2 y}{dx^2}\) 「看似」是 \(\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)\) 的分數擴寫，形式上像 \(\frac{d^2 y}{(dx)^2}\) 。嚴格說它不是分數，但在變數變換公式中（7.2 節 Jacobian、10.3 節張量分析）它表現出驚人的代數正確性——這不是巧合，而是「微分形式」理論的先聲。

例題：鏈鎖律的實戰#

例題 2.2.4：求 \(y = \sin^2(3x^2 + 1)\) 的導數。

解：三層複合： \(y = u^2\) ， \(u = \sin v\) ， \(v = 3x^2+1\) 。逐層：

\[ \frac{dy}{du} = 2u, \qquad \frac{du}{dv} = \cos v, \qquad \frac{dv}{dx} = 6x. \]

鏈鎖：

\[ \frac{dy}{dx} = 2u \cdot \cos v \cdot 6x = 12x \sin(3x^2+1)\cos(3x^2+1) = 6x \sin(2(3x^2+1)), \]

最後一步用了 \(\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\) 。

「多層鏈鎖 = 逐層導數連乘」在自動微分（PyTorch/TensorFlow 的 autograd）中被機械化為計算圖的反向遍歷：每條邊乘以局部導數，路徑乘積求和——數百萬參數的神經網路訓練，本質上是鏈鎖律的大規模工業化。

三角函數族的完整導數表#

\[ \begin{aligned} (\sin x)' &= \cos x, & (\csc x)' &= -\csc x \cot x, \\ (\cos x)' &= -\sin x, & (\sec x)' &= \sec x \tan x, \\ (\tan x)' &= \sec^2 x, & (\cot x)' &= -\csc^2 x. \end{aligned} \]

例： \((\tan x)' = \left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)' = \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x\) 。

負角公式的結構：奇函數的導數是偶函數（ \(\sin' = \cos\) ），偶函數的導數是奇函數（ \(\cos' = -\sin\) ）。這一對稱性可推廣： \(f\) 為偶函數 \(\Rightarrow f'\) 為奇函數；奇函數的原函數（若存在）必為偶函數——這在對稱積分（3.3 節）中大量使用。

指數與對數的鏈鎖結構#

由 \((e^x)' = e^x\) 與 \(a^x = e^{x \ln a}\) ：

\[ (a^x)' = e^{x\ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a. \]

由 \((\ln x)' = \frac1x\) 與對數微分法：對 \(y = f(x) > 0\) 取 \(\ln y = \ln f(x)\) 再求導：

\[ \frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}\ln f(x) \implies y' = f(x)\,\frac{d}{dx}\ln f(x). \]

例題 2.2.5（對數微分法）：求 \(y = x^x\) （ \(x>0\) ）的導數。

解： \(\ln y = x \ln x\) ，求導： \(\dfrac{y'}{y} = \ln x + 1\) ，故

\[ y' = x^x (\ln x + 1). \]

歷史：Johann Bernoulli（1697）以對數微分法處理 \(u^v\) 型函數，這類「變指數」是 Leibniz 記號威力的展示場——在 Newton 的流數記號下處理它們相當笨拙。

求導法則的邏輯地圖#

參數式求導：曲線 \(x = x(t)\) 、 \(y = y(t)\) ，則

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \qquad \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\!\left(\frac{dy/dt}{dx/dt}\right)}{dx/dt}. \]

第二式常被寫錯（誤以為是 \(\frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}\) ）——注意 \(\frac{d^2 y}{dx^2}\) 是對 \(x\) 再求導，需再經一次鏈鎖。這個「修正」預示了 9.1 節曲率公式與微分幾何中的聯絡概念。

法則失效與例外警示#

陷阱 說明
\((fg)' \neq f'g'\) 反例： \(f=g=x\) ，左 \(=2x\) ，右 \(=1\)
商法則要求 \(g\neq0\) 在點的鄰域成立 \(g\) 僅在該點非零不夠
鏈鎖律要求 \(g\) 在 \(a\) 可導（非僅連續） 內層函數不可導時需直接用定義
隱函數求導需驗證 \(F_y \neq 0\) 否則可能出現垂直切線或多值
絕對值函數分段求導要檢查接點 $

歷史前因後果#

  • 前因：Fermat 與 Descartes 的切線法只能逐案處理；十七世紀中葉 Huygens、Hudde 發展出針對多項式的求導規則。
  • 提出：Leibniz 1684 年《一種求極大極小與切線的新方法》發表乘法、商法則與（未明言的）鏈鎖律思想；L'Hôpital 1696 年《無窮小分析》普及之；歐拉與 Lagrange 完成系統化。
  • 解決了什麼：一切初等函數的導數成為機械可計算——微積分從技藝變成演算法。
  • 引發新問題：鏈鎖律在高維的推廣（Jacobian 矩陣乘法，6.2 節）、在無窮維的推廣（變分法、泛函分析）、離散世界的推廣（自動微分、差分法）至今仍是活躍領域。

與其他章節及領域的關聯#

  • 6.2 節：鏈鎖律的多變數形式是矩陣乘法 \(\mathbf{J}_{f\circ g} = \mathbf{J}_f \cdot \mathbf{J}_g\) ——單變數的「相乘」升級為「矩陣相乘」，這是線性代數與微積分的交會點。
  • 7.2 節：座標變換的 Jacobian 行列式是鏈鎖律在重積分中的化身。
  • 8.2 節：保守場的位能函數 \(f\) 滿足 \(\nabla f = \mathbf{F}\) ，隱函數與反函數思想貫穿位勢理論。
  • 5.2 節：對 \((\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}\) 做幾何級數展開再積分，得 \(\arctan\) 的冪級數（Machin 1706 年用以算 \(\pi\) 到 100 位）。
  • 自動微分：鏈鎖律的計算圖實現是深度學習框架的核心；「前向模式」與「反向模式」分別對應 Jacobian 的列與行計算策略。
  • 微分幾何：切映射 \(df_p: T_pM \to T_{f(p)}N\) 是鏈鎖律的座標無關表述；鏈鎖律保證 \((g\circ f)_* = g_* \circ f_*\) 。

練習#

  1. 用乘法法則證明 \((x^2 e^x)' = (x^2 + 2x)e^x\) ，並推廣 \(\left(x^2 e^x\right)^{(n)}\) 的公式。
  2. 用鏈鎖律求 \(y = \cos(e^{-x^2})\) 的導數。
  3. 對心臟線 \(r = 1 + \cos\theta\) 用極座標求 \(\dfrac{dy}{dx}\) ，說明在 \(\theta = 0\) 處切線方向。
  4. 用對數微分法求 \(y = (\ln x)^x\) （ \(x>1\) ）的導數。
  5. 證明：可導的偶函數其導數為奇函數；並用 \(\sin\) 、 \(\cos\) 、 \(x^2\) 驗證。
  6. 思考題：設 \(g(x) = x^2 \sin\frac{1}{x}\) （ \(g(0)=0\) ）。 \(g\) 在 \(0\) 可導嗎？ \(g'\) 在 \(0\) 連續嗎？這對「鏈鎖律條件能否放寬為內層函數僅連續」給出什麼啟示？

補充研讀：法則的結構性總結#

  • 一個記憶錨點：所有求導法則都是「極限的代數性質」的推論——極限保持加減乘除（分母不為零時），求導法則自動繼承。
  • 鏈鎖律的記憶錨點：「局部導數連乘、多路徑求和」——它統一了單變數、多變數、參數、隱函數四種情境。
  • 反函數法則的記憶錨點：「正逆互為倒數」——圖像上， \(f\) 與 \(f^{-1}\) 的圖形關於 \(y = x\) 對稱，斜率互為倒數。
  • 隱函數求導的記憶錨點：「把 \(y\) 當 \(x\) 的函數，兩邊微分，解出 \(y'\) 」——機械步驟，但需檢查 \(F_y \neq 0\) 的合法性。
  • 對數微分法的適用範圍： \(u^v\) 型、連乘連除型、帶根號的複雜積型——先取對數化繁為簡。
  • 參數求導的常見錯誤：把 \(\frac{d^2y}{dx^2}\) 寫成 \(\frac{y''(t)}{x''(t)}\) ；正確做法是「一階商對 \(t\) 求導後再除以 \(x'(t)\) 」。
  • 高階導數的 Leibniz 公式： \((fg)^{(n)} = \sum \binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}\) ，二項式定理的求導版。
  • 記號的選擇策略：做計算用 Lagrange 記號 \(f'\) ，做變數變換用 Leibniz 記號 \(\frac{dy}{dx}\) ，兩者互補。

補充例題：鏈鎖律的三層組合演練#

補一： 求 \(y = \tan^3(e^{2x})\) 的導數。三層：外層 \(u^3\) 、中層 \(\tan v\) 、內層 \(v = e^{2x}\) （其自身又兩層）。

\[ y' = 3\tan^2(e^{2x})\cdot\sec^2(e^{2x})\cdot 2e^{2x} = 6e^{2x}\tan^2(e^{2x})\sec^2(e^{2x}). \]

補二： 證明 \((\ln|\sin x|)' = \cot x\) （ \(x\) 避開 \(\pi\) 的倍數）。由鏈鎖律： \(\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x = \cot x\) 。推論： \(\int \cot x\,dx = \ln|\sin x| + C\) ——導數表的逆讀自動成為積分表條目（4.3 節）。

補三： 心臟線 \(r = a(1+\cos\theta)\) 的切線斜率。參數式 \(x = a(1+\cos\theta)\cos\theta\) 、 \(y = a(1+\cos\theta)\sin\theta\) ，對 \(\theta\) 求導後 \(\frac{dy}{dx} = \frac{y'}{x'}\) ，在 \(\theta = \frac{\pi}{2}\) 處可得水平切線的幾何結論——極座標曲線的分析全部化歸參數鏈鎖。

深化問答三則#

問：為什麼「商法則」不直接寫成 \(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'}{g'}\) ？ 答：量綱與反例都反對： \(f = g = x^2\) 時左邊為 0、右邊為 1。本質原因：除法的增量不線性—— \(\frac{f+\Delta f}{g+\Delta g}\) 展開後出現 \(\Delta f\,\Delta g\) 型交叉項。商法則的分子 \(f'g - fg'\) 正是「交叉相消」後的倖存者，它也是 9.1 節各種「行列式導數」結構的雛形。

問：鏈鎖律在什麼情況下會「靜默失敗」？ 答：當內層函數 \(g\) 在 \(a\) 不可導時， \(\frac{dy}{dx} = f'(g(a))g'(a)\) 沒有意義，但學生常忘記檢查。更陰險的情形： \(g\) 不可導但 \(f \circ g\) 仍可導（如 \(f\) 為常函數）。此時結論碰巧成立，但推理無效——數學上區分「結論對」與「證明對」是基本功。

問：Leibniz 記號的「分數相消」何時真的是分數？ 答：在二階以上開始失效： \(\frac{d^2y}{dx^2} \neq \frac{d(y/x)}{dx}\) 型的操作無意義。但在一階鏈鎖、一階換元、隱函數 \(\frac{dy}{dx} = -F_x/F_y\) 中，記號的代數表現完全正確。這不是巧合而是設計：Leibniz 記號把「一階微分」編碼為線性對象，其代數恰是 1-形式的代數（9.3 節微分形式理論的最小樣本）。

（本節完）