2.3 微分與近似應用#

導言#

導數的定義回答了「切線斜率是多少」，但科學與工程真正反覆使用的，是它的一個更樸素的化身：微分（differential）——用切線代替曲線、用線性代替非線性。Laplace 說過：「分析的語言中，微分符號是整個系統的槓桿。」本節建立微分概念，發展線性近似、誤差傳播、牛頓法與洛必達法則，展示「以直代曲」如何驅動從測量學到人工智慧的各種應用。

微分的定義#

定義 2.3.1：設 \(y = f(x)\) 在 \(a\) 可導。定義自變數的微分 \(dx = \Delta x\) （任意增量），函數的微分為

注意： \(dy\) 是 \(dx\) 的線性函數，而函數的實際增量是

由導數定義，方括號內的誤差滿足 \(\dfrac{\Delta y - f'(a)\,dx}{dx} \to 0\) （ \(dx \to 0\) ），記作 \(o(dx)\) （「比 \(dx\) 更高階的小量」）。因此：

這個等價性正是可導性的本質：可導 \(\iff\) 函數增量能分解為「線性主部 + 高階小量」。此表述可以直接推廣到多變數（6.1 節： \(\Delta \mathbf{y} = \mathbf{J}\,\Delta\mathbf{x} + o(|\Delta\mathbf{x}|)\) ）、無窮維空間（Fréchet 導數）、乃至隨機過程（Itō 微積分中 \(dW^2 = dt\) 破壞了純線性結構——那裡的高階小量不再可捨去，是金融數學的起點）。

Leibniz 記號的合法性辯護#

在 Leibniz 記號下 \(\dfrac{dy}{dx} = f'(x)\) 形式上是分數。現代詮釋： \(dx\) 與 \(dy\) 都是確定的（有限的）量， \(dy = f'(x)\,dx\) 是定義式，比值恰還原導數。這個記號的實用優勢：

1. 鏈鎖律像分數相消： \(\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\) ；
2. 反函數像倒數： \(\dfrac{dx}{dy} = 1 \big/ \dfrac{dy}{dx}\) ；
3. 積分記號自然： \(\displaystyle\int f'(x)\,dx = f + C\) ，被積表達式形如「微分」；
4. 高階微分： \(d^2y = f''(x)\,dx^2\) （ \(dx\) 固定時），為變分法與微分方程記號奠基。

線性近似（切線逼近）#

定理 2.3.2（線性化）： \(f\) 在 \(a\) 可導，則對靠近 \(a\) 的 \(x\) ：

推導： \(\Delta y = f(a+\Delta x) - f(a) \approx f'(a)\Delta x\) ，移項即得。

歷史：這一思想 Fermat（1638）用於極值、Newton 用於迭代、Euler 用於力學。Euler 的名言是微積分的操作哲學：「以無窮小量捨去的誤差，不影響最終結果的正確性」——十九世紀嚴格化（10.1 節）證明這句話在 \(o(\cdot)\) 語言下成立。

例題一：數值近似#

例題 2.3.3：用線性近似估計 \(\sqrt{4.02}\) 。

解：取 \(f(x) = \sqrt{x}\) ， \(a = 4\) ， \(dx = 0.02\) 。 \(f(4) = 2\) ， \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}\) ， \(f'(4) = \frac14\) 。

真值 \(\sqrt{4.02} \approx 2.004994\ldots\) ，誤差約 \(6 \times 10^{-6}\) ——遠小於「線性」直覺的預期。原因見下：二次項修正。

誤差估計：近似的定量控制#

線性近似的誤差有精確界。若 \(f''\) 在 \(a\) 附近有界 \(|f''| \le M\) ，由 Taylor 定理（5.2 節）：

誤差階對照表：

例題 2.3.3 中 \(f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2}\) ， \(|f''(4)| = \frac{1}{32}\) ，故誤差 \(\le \frac{1}{64}(0.02)^2 \approx 6.3\times10^{-6}\) ——與實際誤差吻合。

例題二：誤差傳播（測量學的核心問題）#

例題 2.3.4：測得球的半徑為 \(r = 5.0\) 公分，測量誤差最多 \(0.01\) 公分。用 \(V = \frac43\pi r^3\) 估計體積的最大絕對誤差與相對誤差。

解：視 \(r\) 有誤差 \(dr = \pm 0.01\) ：

\(V(5) = \dfrac{500\pi}{3} \approx 523.6\ \text{cm}^3\) 。相對誤差：

一般原理： \(y = f(x)\) 時相對誤差近似為 \(\left|\dfrac{dy}{y}\right| = \left|\dfrac{f'(x)}{f(x)}\right|\left|\dfrac{dx}{x}\right|\cdot|x|\) ，特別地冪函數 \(y = cx^n\) 把相對誤差放大 \(n\) 倍——這解釋了為什麼工程上最怕測長度（體積誤差 = 3 倍長度誤差）、為什麼光學鏡面的曲率要求極端精密。

對數微分版的速記： \(\ln y = n\ln x + \ln c \implies \dfrac{dy}{y} = n\,\dfrac{dx}{x}\) 。

中值定理：由局部到全局的橋樑#

定理 2.3.5（Lagrange 中值定理，MVT，1797）： \(f\) 在 \([a,b]\) 連續、在 \((a,b)\) 可導，則存在 \(\xi \in (a,b)\) 使

幾何意義：割線（平均變化率）總平行於某處切線。證明骨架：輔助函數 \(h(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\) （曲線減去割線）， \(h(a) = h(b) = 0\) ，由 Rolle 定理（1691）——兩端等值則內部有水平切線——得證。Rolle 定理又依賴 Weierstrass 極值定理（1.3 節）與 Fermat 內點極值原理（內點可導且極值 \(\Rightarrow f' = 0\) ，1638）。

MVT 的兩大推論：

1. 導數恆正 \(\Rightarrow\) 函數嚴格遞增（全局單調性由逐點導數決定）；
2. 導數恆零 \(\Rightarrow\) 函數常數——這是「原函數存在唯一性」的基礎（4.2 節）。

誤差傳播的精確形式： \(|f(x) - f(a)| = |f'(ξ)|\,|x - a|\) ，若 \(|f'| \le K\) 則 \(|f(x)-f(a)| \le K|x-a|\) （Lipschitz 估計）——MVT 是把局部的 \(o(\cdot)\) 誤差升級為全局估計的機器。

例題三：洛必達法則#

定理 2.3.6（L'Hôpital，1696；實為 Johann Bernoulli 所作）：若 \(\lim f = \lim g = 0\) （或 \(\pm\infty\) ），且 \(\lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} = L\) ，則 \(\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = L\) 。

證明核心： \(\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} = \dfrac{f'(ξ)}{g'(ξ)}\) （Cauchy 推廣的 MVT）。

例題 2.3.7：求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}\) 。

解： \(\frac00\) 型。一次洛必達： \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{3x^2}\) 仍為 \(\frac00\) 。二次： \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{6x} = \frac16\) 。故原極限為 \(\dfrac16\) 。

警示：洛必達是「局部線性比值的再現」，只能用於 \(\frac00\) 與 \(\frac\infty\infty\) ；其他不定式（ \(0\cdot\infty\) 、 \(0^0\) 、 \(\infty-\infty\) 、 \(1^\infty\) ）須先變形。反例警示： \(\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sin x}{x}\) 存在（ \(=1\) ），但 \(\frac{f'}{g'} = 1 + \cos x\) 無極限——法則的單向性（ \(\frac{f'}{g'}\) 收斂 \(\Rightarrow\) 原式收斂）不可逆用。

歷史：Guillaume de l'Hôpital（1661–1704）1696 年出版史上第一本微積分教科書《闡明曲線的無窮小分析》，其中「洛必達法則」是他向 Johann Bernoulli（1667–1748）付費購買的成果之一（Bernoulli 當時受僱於他）。這樁「知識買賣」的通信於 1920 年代重見天日，證實了版權歸屬——科學史上罕見的公案。

牛頓法：以直代曲的迭代機器#

算法：求 \(f(x) = 0\) 的根。從初值 \(x_0\) 出發，反覆用切線的零點代替曲線的零點：

幾何：在 \((x_n, f(x_n))\) 作切線，交 \(x\) 軸於 \(x_{n+1}\) 。

flowchart LR
    A["初值 x₀"] --> B["作切線於 (xₙ, f(xₙ))"]
    B --> C["切線交 x 軸於 xₙ₊₁"]
    C --> D{"|f(xₙ₊₁)| < 容許誤差?"}
    D -- 否 --> B
    D -- 是 --> E["輸出近似根"]

例題 2.3.8：用牛頓法解 \(x^3 - x - 1 = 0\) ，初值 \(x_0 = 1.5\) 。

解： \(f(x) = x^3 - x - 1\) ， \(f'(x) = 3x^2 - 1\) 。

| \(n\) | \(x_n\) | \(f(x_n)\) | 誤差 \(|x_n - 1.32472|\) | |-----|--------|----------|------------------------| | 0 | \(1.5\) | \(0.875\) | \(1.75\times10^{-1}\) | | 1 | \(1.34783\) | \(0.047\) | \(2.31\times10^{-2}\) | | 2 | \(1.32520\) | \(0.00058\) | \(4.8\times10^{-4}\) | | 3 | \(1.32472\) | \(\sim 10^{-7}\) | \(4\times10^{-7}\) |

對照 1.3 節二分法（需 \(\sim 20\) 次才達 \(10^{-6}\) ），牛頓法 3 次即達——二次收斂：每次誤差近似滿足 \(e_{n+1} \approx C e_n^2\) ，有效數字每輪翻倍。代價：需要 \(f'\) 、初值要好、且可能發散（初值落在極值附近或進入循環，如 \(f(x)=x^{1/3}\) 從非零初值出發形成 2-循環）。牛頓 1669 年手稿首用此法（解多項式，形式不同，今日稱 Simpson–Newton 法），Raphson 1690 年給出現代迭代式；Simpson（1740）以微積分語言重述。

高階應用速覽#

• 近似開方與超越函數求值：計算器與數學庫的 sqrt、exp、log 內部即牛頓法／多項式逼近（minimax 多項式）。
• 優化：極值條件 \(f'=0\) 用牛頓法解，即 Newton–Raphson 優化；多變數版用 Hessian 矩陣（6.3 節）；帶阻尼的版本是現代擬牛頓法（BFGS）。
• 物理：小擺動近似 \(\sin\theta \approx \theta\) （線性化）使單擺方程變成諧振子方程，週期 \(T = 2\pi\sqrt{L/g}\) ——線性近似的教科書案例；非線性修正給出 \(T \approx 2\pi\sqrt{L/g}\left(1 + \frac{\theta_0^2}{16}\right)\) 。
• 工程：結構微小變形分析（一階理論）、控制系統的 PID 與線性化模型，全部立足於「工作點附近以導數刻畫響應」。

極值判別與函數作圖的微積分工具箱#

例題 2.3.9：分析 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) 的形狀。

解： \(f' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\) ，臨界點 \(x = 0, 2\) 。 \(f'' = 6x - 6\) ： \(f''(0) = -6 < 0\) （極大值 \(1\) ）， \(f''(2) = 6 > 0\) （極小值 \(-3\) ）。 \(f''=0\) 於 \(x=1\) ，反曲點 \((1, -1)\) 。這套「導數符號表」方法把作圖從藝術變成程序。

歷史前因後果#

• 前因：天文測量與航海需要高精度數值計算；微觀力學需要「瞬時量」的可計算替身。
• 提出：Leibniz 1684 正式定義 \(dx, dy\) ；Lagrange 1797 以 MVT 為微積分基石；Cauchy 1823 年《無窮小分析概要》給出中值定理的現代形式與嚴格誤差控制。
• 解決了什麼：把「無窮小捨去」變成有明確誤差界的合法操作；數值求根、優化、誤差分析從此有理論保證。
• 引發新問題：逼近的更高階（Taylor 理論，5.2 節）、多變數線性化（6.1 節）、以及「何時線性化失效」（混沌、奇異攝動）——二十世紀動力系統理論正是研究線性近似失效處的新數學。

與其他章節及領域的關聯#

• 5.2 節：Taylor 多項式是線性近似的無限升級版； \(o(\Delta x)\) 是 Taylor 餘項的縮影。
• 6.1 節：多變數微分 \(\Delta \mathbf{f} \approx \mathbf{J}\,\Delta \mathbf{x}\) ，Jacobian 矩陣是 \(f'\) 的推廣。
• 6.3 節：極值的二階檢驗推廣為 Hessian 矩陣正定性；Lagrange 乘數法是約束優化的牛頓法近親。
• 3.2 節：積分的上和下和估計中，MVT 提供積分中值定理，是「Riemann 和 \(\to\) 定積分」的引擎。
• 數值分析：牛頓法、Euler 法解 ODE（ \(y_{n+1} = y_n + h f(y_n)\) 正是 \(dy = f'\,dx\) 的離散化）、有限元素法——「以直代曲」的各種現代化身。
• 機器學習：梯度下降的一步更新 \(\theta_{n+1} = \theta_n - \eta \nabla L\) 是「沿切線方向修正」；牛頓法對應二階方法（Hessian），學習率 \(\eta\) 便是步長控制。

練習#

1. 用線性近似估計 \(\cos 31°\) （提示： \(a = 30° = \frac{\pi}{6}\) ，化為弧度）。
2. 單擺週期公式 \(T = 2\pi\sqrt{L/g}\) 。若 \(L\) 測量有 \(1\%\) 誤差， \(T\) 的相對誤差是多少？
3. 用牛頓法求 \(\sqrt{10}\) （即解 \(x^2 - 10 = 0\) ），初值 \(x_0 = 3\) ，迭代三次，驗證二次收斂（計算各輪誤差比 \(e_{n+1}/e_n^2\) ）。
4. 用洛必達法則求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x \ln x\) 與 \(\displaystyle\lim_{x\to0} (1+2x)^{1/x}\) 。
5. 證明：若 \(f'\) 在 \((a,b)\) 上有界 \(K\) ，則 \(f\) 在 \((a,b)\) 上一致連續（MVT 應用）。
6. 思考題：對 \(f(x) = \sqrt{|x|}\) 用牛頓法會發生什麼（考慮 \(x_0 \neq 0\) ）？說明 \(f'\) 在 \(0\) 的發散如何破壞收斂，並查閱「牛頓法分形」（Newton fractal）了解複平面上初值域的混沌結構。

名詞速查表（本節核心術語）#

• **微分 \(dy\) **：函數增量的線性主部 \(f'(a)\,dx\) 。
• **高階小量 \(o(\cdot)\) **：比括號內量更快趨零的餘項記號。
• 線性近似： \(f(a+\Delta x) \approx f(a) + f'\Delta x\) ，誤差為二階。
• 誤差傳播：輸入誤差經 \(f'\) 放大為輸出誤差的定量估計。
• 相對誤差放大：冪函數 \(y = cx^n\) 把相對誤差放大 \(n\) 倍。
• 中值定理（MVT）：割線斜率在某內點被切線斜率實現。
• Rolle 定理：兩端等值的可導函數必有水平切線。
• 洛必達法則： \(\frac00\) 、 \(\frac\infty\infty\) 型極限的導數比值法。
• 牛頓法： \(x_{n+1} = x_n - \frac{f}{f'}\) ，二次收斂的求根迭代。
• 凹凸性與反曲點：二階導數的符號與變號位置。

誤差分析速查表（工程實務版）#

• 測量長度 \(l\) 、誤差 \(\delta l\) ：面積誤差 \(\approx 2\bar l\,\delta l\) （放大 2 倍），體積誤差 \(\approx 3\bar l^2\,\delta l\) （放大 3 倍）。
• 角度測量換弧度後方可微分： \(d\theta\) 以弧度計， \(1° = \frac{\pi}{180} \approx 0.01745\) 。
• 三角函數近似： \(\sin\theta \approx \theta\) 、 \(\cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}\) （ \(\theta\) 小時）。
• 對數近似： \(\ln(1 + u) \approx u - \frac{u^2}{2}\) （ \(|u|\) 小時），用於複利與增長率合成。
• 指數近似： \(e^u \approx 1 + u + \frac{u^2}{2}\) ，用於小增長率下的複利檢查。
• \(\frac{1}{1+u} \approx 1 - u\) ：彈性力學一階理論的通用替身。
• 這些「展開式」在 5.2 節獲得統一的 Taylor 框架，誤差從此有精確界。
• 儀器規格書上的「精度 0.1%」經常需用本節方法換算為輸出量的誤差。

洛必達法則的完整使用手冊#

• 適用核心型： \(\frac00\) 與 \(\frac{\infty}{\infty}\) ；每次使用前必須確認型別。
• \(0 \cdot \infty\) 型：把一個因子倒進分母，化為核心型（選「好求導」的當分母）。
• \(\infty - \infty\) 型：通分或有理化，化為核心型。
• \(0^0\) 、 \(1^\infty\) 、 \(\infty^0\) 型：取對數化為 \(0\cdot\infty\) 型，最後回代指數。
• 常見陷阱：對非不定型（如 \(\frac{\text{有限}}{\text{有限}}\) ）使用——結果可能完全錯誤。
• 常見陷阱：反覆使用時忘記每次確認型別，尤其是振盪函數（見 2.3 正文的反例）。
• 洛必達的真正身世：Johann Bernoulli 撰寫、L'Hôpital 出資署名——1696 年的「知識買賣」。
• 與 Taylor 展開比較：洛必達快而脆，Taylor 展開一次到位且給出誤差階，高階極限（如 \(\frac{x-\sin x}{x^3}\) ）建議直接展開。

深化問答三則#

問：微分 \(dy\) 是「無窮小」嗎？ 答：在現代定義中不是—— \(dx\) 是任意給定的（有限）增量， \(dy = f'(x)dx\) 是其線性映像。無窮小只是修辭：當 \(dx\) 縮小時， \(\Delta y\) 與 \(dy\) 之差是更高階的小量，相對誤差趨於零。把 \(dy\) 想成「無窮小」在快速推導時方便，但寫證明時必須回到「線性主部 + \(o(dx)\) 」的嚴格表述。

問：中值定理的「中值」為什麼不唯一、也不可構造？ 答： \(\xi\) 的存在由 Rolle 定理間接保證，定理本身不含定位方法。例如 \(f(x) = x^2\) 於 \([0,1]\) ： \(\xi = \frac12\) 恰好唯一；但 \(f(x) = x^3 - x\) 於 \([-1,1]\) 有多個 \(\xi\) 。MVT 的用途是「存在某處速度等於平均速度」，而非「告訴你哪裡」——它是估計工具（誤差界、Lipschitz 界），不是計算工具。

問：牛頓法為什麼可能發散，工程上如何防護？ 答：初值落在 \(f'\) 接近零處時切線近乎水平，下一步被拋到極遠處； \(f(x) = x^{1/3}\) 型函數則形成循環。防護手段：阻尼（步長減半搜尋下降方向）、混合二分法（hybrid method，如 Brent 演算法——牛頓快、二分保底）、以及多初值並行。這些策略的共同哲學：任何快速算法都需要一個緩慢但穩健的保險。

（本節完）