3.2 Riemann 和與定積分#

導言#

3.1 節的「分割—取樣—求和—極限」四步範式，在兩千年間始終是逐案技巧。Bernhard Riemann（1826–1866） 在 1854 年的哈勒任職論文《論函數的三角級數表示》中，把它鑄成對一般函數的嚴格定義。本節介紹 Riemann 積分的定義、可積條件與計算，這是微積分嚴格化工程（10.1 節）的核心成就之一，也是 Lebesgue 積分（10.2 節）出場前的終點線。

歷史背景：為什麼 1854 年需要重新定義積分#

十九世紀中葉，「積分」的通行定義是 Cauchy 的（1823）：對連續函數，取等距分割、左端點和的極限。但 Fourier 級數理論（1807 起）拋出一連串問題：

• 逐項積分何時合法？
• 不連續函數（如 Fourier 級數的和函數）可積嗎？
• 「可積函數」的極限還可積嗎？（Riemann 自己構造了一個可積函數，其不連續點集在「稠密意義」上很亂）

Riemann 的定義把 Cauchy 的「等距 + 連續」放寬為「任意分割 + 任意取樣」，使可積函數類大幅擴張。

Riemann 積分的定義#

定義 3.2.1：設 \(f\) 定義在 \([a,b]\) 上。一個分割 \(P\) 是點列 \(a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\) ；記 \(\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\) ，範數 \(|P| = \max_i \Delta x_i\) 。在每段上取樣點 \(\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]\) ，形成 Riemann 和

若存在實數 \(I\) 使得：對任意 \(\varepsilon > 0\) ，存在 \(\delta > 0\) ，凡 \(|P| < \delta\) 時不論樣點如何選取皆有 \(|S(f,P) - I| < \varepsilon\) ，則稱 \(f\) 在 \([a,b]\) 上 Riemann 可積， \(I\) 為定積分：

三個關鍵設計：

1. 任意取樣：極限值不得依賴於樣點的取法——這排除了「挑好樣點作弊」。
2. 任意分割：只用等距分割不夠（有函數等距可積卻非 Riemann 可積）。
3. 定義依賴分割範數：與「網格加細」（refinement）的定義在 Riemann 情形等價（Darboux 理論），後者在證明上更方便。

Darboux 上和與下和：可積性的判準#

Jean-Gaston Darboux（1842–1917） 給出等價而更利於證明的表述。對分割 \(P\) ，令

定義上和 \(U(f,P) = \sum M_i \Delta x_i\) 、下和 \(L(f,P) = \sum m_i \Delta x_i\) 。則 \(L \le S \le U\) 對一切取樣成立，且加細分割時上和不增、下和不減。

定理 3.2.2（Riemann 可積判準）： \(f\) 可積 \(\iff\) 對任意 \(\varepsilon > 0\) 存在分割 \(P\) 使 \(U(f,P) - L(f,P) < \varepsilon\) 。

幾何解讀： \(U - L\) 是把每段上「函數振幅 \(\omega_i = M_i - m_i\) 」塗在寬 \(\Delta x_i\) 的矩形裡的總面積。可積 \(\iff\) 總振幅面積可以任意小。這立刻給出：

• 連續函數在 \([a,b]\) 可積（一致連續性 1.3 節使 \(\omega_i\) 一致地小）；
• 單調函數可積（振幅總和 \(\le |f(b)-f(a)|\cdot|P|\) ）；
• 有限個不連續點的函數可積（不連續點附近的小區間總寬可控）。

可積函數類的精確刻畫（Lebesgue 判準）#

Lebesgue（1902）判準： \(f\) Riemann 可積 \(\iff\) \(f\) 有界且不連續點集的測度為零。

「測度為零」的意思：可以被總長任意小的區間族覆蓋。例如有限集、 \(\mathbb{Q} \cap [0,1]\) （可數集）測度皆為零；而 Dirichlet 函數（有理處 \(1\) 、無理處 \(0\) ）的每個小区間振幅都是 \(1\) ， \(U = L\) 的條件永遠不成立——處處不可積。這個判準揭示了 Riemann 積分的邊界：它能容忍「稀疏的壞點」，不能容忍「稠密的壞點」。進一步的病態（不連續點集測度不為零但很「薄」的構造）最終催生了 Lebesgue 積分（10.2 節）。

定積分的基本性質#

積分中值定理的幾何意義：連續函數曲線下的面積，恰等於某個「平均高度」 \(f(\xi)\) 的矩形面積。 \(\bar f = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f\) 稱為 \(f\) 的平均值——物理中的平均速度、均方根電壓、統計中的期望值（7.3、10.3 節）都是這個概念的化身。

例題一：用 Riemann 和算一個積分#

例題 3.2.3：用 Riemann 和證明 \(\displaystyle\int_0^b x\,dx = \frac{b^2}{2}\) 。

解： \(n\) 等分，右端點取樣：

當然，有了基本定理（4.2 節），此積分一行得出： \(\int_0^b x\,dx = \frac{x^2}{2}\Big|_0^b\) 。但在 1854 年之前的兩千年裡，上面這個求和是唯一手段——基本定理的價值正在於把這類計算整體報銷。

例題二：不可積函數的驗證#

例題 3.2.4：證明 Dirichlet 函數 \(D(x) = \begin{cases}1, & x \in \mathbb{Q},\\ 0, & x \notin \mathbb{Q}\end{cases}\) 在 \([0,1]\) 上不可積。

解：任何小區間都同時含理數與無理數（兩者皆稠密），故每段上 \(M_i = 1\) 、 \(m_i = 0\) 。於是對任何分割： \(U(f,P) = \sum 1\cdot\Delta x_i = 1\) ， \(L(f,P) = 0\) 。 \(U - L = 1\) 不可能小於 \(\varepsilon < 1\) ，不可積。 \(\blacksquare\)

對照：Thomae 函數（popcorn 函數）

處處不連續於有理點、連續於無理點，卻 Riemann 可積（不連續點集 \(\mathbb{Q}\cap[0,1]\) 測度為零，且 \(\int_0^1 t = 0\) ）。它完美展示「稠密壞點 vs. 測度零壞點」的分界。

Riemann 和的計算圖景#

flowchart TD
    A["f 定義於 [a,b]"] --> B["選分割 P：a = x₀ < … < xₙ = b"]
    B --> C["取樣點 ξᵢ ∈ [xᵢ₋₁, xᵢ]"]
    C --> D["Riemann 和 S = Σ f(ξᵢ) Δxᵢ"]
    D --> E{"|P| → 0 時 S 收斂嗎？<br>且與取樣無關？"}
    E -- 是 --> F["f 可積，∫ₐᵇ f = 極限值"]
    E -- 否 --> G["不可積（如 Dirichlet 函數）"]
    F --> H["Darboux 判準<br>U - L 可任意小"]
    H --> I["Lebesgue 判準<br>不連續點集測度零"]

取樣策略對照表（數值積分的雛形）：

例：以 \(n = 4\) 等分計算 \(\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{4}\) （真值 \(0.785398\) ）：

• 左端點法： \(\frac14\left(1 + \frac{1}{1+0.25} + \frac{1}{1+0.25} + \frac{1}{1+2.25}\right)\) ？——具體： \(\frac14(1 + 0.8 + 0.5 + 0.30769) \approx 0.65192\) （誤差大）；
• 中點法： \(\frac14\left(\frac{1}{1+0.125^2}+\frac{1}{1+0.375^2}+\frac{1}{1+0.625^2}+\frac{1}{1+0.875^2}\right) \approx 0.78670\) ；
• Simpson 法： \(\frac{1}{12}\left(1 + 4\cdot\frac{1}{1+0.0625} + 2\cdot\frac{1}{1+0.25} + 4\cdot\frac{1}{1+0.5625} + 0.5\right) \approx 0.78540\) 。

可見高階取樣大幅提升精度——Riemann 和的具體取樣方式決定了數值積分的收斂階，這是計算數學「數值積分（quadrature）」領域的源頭（Gauss 求積、Monte Carlo 積分皆是後裔）。

定積分定義的推廣譜系#

廣義積分例： \(\displaystyle\int_1^\infty \frac{dx}{x^p}\) 當 \(p > 1\) 收斂（值 \(\frac{1}{p-1}\) ）、 \(p \le 1\) 發散； \(\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{x^p}\) 當 \(p < 1\) 收斂。這種「臨界指數」現象在機率分布（重尾）、級數（ \(p\) -級數，5.1 節）、維度分析（重整化）中反覆出現——無窮與奇點之間的邊界由冪律守衛。

歷史前因後果#

• 前因：Cauchy 1823 的連續函數積分論；Fourier 理論對可積範圍的挑戰；Dirichlet 1829 對病態函數的構造。
• 提出：Riemann 1854（1868 年正式發表《論用三角級數表示函數》），同文中他還創立了今日 Riemann 可積性理論並提出「函數的傅立葉級數收斂點集」問題。
• 解決了什麼：積分第一次有了對一般有界函數的嚴格定義；可積性成為可研究的數學問題；「積分 = 面積」的直觀獲得邏輯基礎。
• 引發新問題：Riemann 可積函數的極限不一定可積（不完備！）；逐項積分條件繁瑣；Hankel（1870s）等的研究暴露理論的笨拙——最終由 Lebesgue 1902 年的測度論積分全面接班（10.2 節）。

為什麼仍要學 Riemann 積分#

既然 Lebesgue 積分更強，為何教科書（包括本書）仍以 Riemann 為主？

1. 教學可及性：定義只需分割與極限，不需測度論前置。
2. 涵蓋日常函數：初等函數、分段函數、有限跳躍——工程與物理幾乎所有用例。
3. 計算橋樑：基本定理 + 原函數的計算體系在 Riemann 框架內完整。
4. 觀念階梯：上和下和的振幅分析是理解 Lebesgue「值域分割」思想的最佳準備。

與其他章節及領域的關聯#

• 4.2 節：微積分基本定理把「Riemann 和的極限」與「原函數差值」接通，計算從此起飛。
• 7.1 節：二重、三重積分是 Riemann 和在高維的重演；Fubini 定理對應「先切一個方向」。
• 10.2 節：Lebesgue 積分以「值域分割」取代「定義域分割」，解決 Riemann 積分的不完備性。
• 8.2、9.1 節：線積分 \(\int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) 與曲面積分是 Riemann 和在曲線、曲面參數化下的推廣。
• 數值分析：Simpson、Gauss 求積、自適應積分、Monte Carlo——工程上「算不出原函數」時的必備技術。
• 統計與機器學習：期望 \(E[X] = \int x\,p(x)\,dx\) ；神經網路損失中的積分近似（mini-batch 是「取樣的 Riemann 和」）。
• 傅立葉分析：Fourier 係數的積分定義要求可積性；Lebesgue 可積（ \(L^1\) 、 \(L^2\) ）使整個理論完備。

練習#

1. 用 \(n\) 等分、右端點取樣求 \(\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx\) （用 \(\sum q^i\) 公式），並驗證極限為 \(e-1\) 。
2. 證明 \(f(x) = \begin{cases} 0, & x = \frac1n\ (n\in\mathbb{N}^+),\\ 1, & \text{其他}\end{cases}\) 在 \([0,1]\) 可積並求積分值。
3. 證明單調遞增函數在 \([a,b]\) 上可積（估計 \(U - L \le (f(b)-f(a))|P|\) ）。
4. 用中點法與 Simpson 法以 \(n=4\) 計算 \(\int_0^1 \sin x\,dx\) ，與真值 \(1-\cos 1\) 比較誤差。
5. 判斷 \(\displaystyle\int_1^\infty \frac{dx}{x\sqrt{x}}\) 與 \(\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}\) 的斂散性，收斂者求值。
6. 思考題：Riemann 可積函數列的逐點極限何時可積？構造一列可積函數其極限為 Dirichlet 函數（提示：用有限個有理點上的「刺」），說明這一現象如何指向新的積分理論。

（本節完）