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3.3 積分的性質#

導言#

積分不只是「算面積的機器」，它是一個線性泛函：把函數映成數，且保持加法與數乘。本節系統整理定積分的運算性質、對稱性技巧與估計不等式。這些性質看似平凡，卻是所有後續理論（基本定理、級數逐項積分、多重積分的 Fubini 定理、Fourier 分析）的操作基礎。Leibniz 記號 \(\int_a^b f\,dx\) 中 \(\int\) 是拉長的 S（summa，總和）——積分性質多半可以直接從「總和」的代數直觀讀出。

積分作為線性泛函#

設 \(f, g\) 在 \([a,b]\) 可積， \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) ：

\[ \int_a^b \big(\alpha f(x) + \beta g(x)\big)\,dx = \alpha\int_a^b f\,dx + \beta\int_a^b g\,dx. \]

證明（Riemann 和一行完成）：和的極限保持線性：

\[ \sum (\alpha f + \beta g)(\xi_i)\Delta x_i = \alpha \sum f(\xi_i)\Delta x_i + \beta\sum g(\xi_i)\Delta x_i. \]

區間可加性（定向積分約定）：定義 \(\displaystyle\int_a^a f = 0\) 且 \(\displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f\) ，則對任意排列的 \(a, b, c\) ：

\[ \int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f. \]

「反轉區間變號」不是技巧而是定向（orientation）概念：積分承載了從 \(a\) 到 \(b\) 的方向資訊。這個觀念在 8.2 節線積分（路徑反向變號）、9.1 節曲面積分（法向反轉變號）中是核心——定向積分是斯托克斯型定理的統一語言。

單調性與估計工具箱#

若 \(m \le f(x) \le M\) 於 \([a,b]\) ，則

\[ m(b-a) \le \int_a^b f\,dx \le M(b-a). \]

更精細的工具：

不等式 敘述 應用
三角不等式 $\left \int f\right
Schwarz（Cauchy–Bunyakovsky） \(\left(\int fg\right)^2 \le \int f^2 \int g^2\) \(L^2\) 內積、傅立葉係數界
Chebyshev 和不等式 同向單調的 \(f,g\) ： \(\frac1{b-a}\int fg \ge \bar f \bar g\) 統計相關性
積分中值定理 \(f\) 連續： \(\int_a^b f = f(\xi)(b-a)\) 平均值的存在性

Schwarz 不等式的意義深遠：它把積分變成內積 \(\langle f, g\rangle = \int_a^b fg\,dx\) ，於是「可積函數空間」成為（準）希爾伯特空間——幾何（夾角、投影、正交）進入了分析。傅立葉級數（10.2、10.3 節）就是「函數在三角函數正交基上的投影」，Schwarz 不等式保證投影係數 \(\left|\frac{\langle f,\phi_n\rangle}{\|\phi_n\|^2}\right| \le \frac{\|f\|}{\|\phi_n\|}\) 收斂合理。

對稱性：奇偶函數與週期函數#

定理 3.3.1： \(f\) 在對稱區間 \([-a, a]\) 可積：

  • \(f\) 奇函數（ \(f(-x) = -f(x)\) ）： \(\displaystyle\int_{-a}^a f = 0\) ；
  • \(f\) 偶函數（ \(f(-x) = f(x)\) ）： \(\displaystyle\int_{-a}^a f = 2\int_0^a f\) 。

證明：區間對半，在負半段代換 \(x = -u\) ，用定向積分把方向「翻正」，符號由 \(f(-u) = \pm f(u)\) 吸收。

週期函數： \(f\) 週期 \(T\) ，則 \(\displaystyle\int_a^{a+T} f\,dx\) 與 \(a\) 無關——積分「感覺不到」起點。這是 Fourier 理論（只看整週期積分）與交流電平均功率計算的基礎。

例題一：對稱性計算#

例題 3.3.2：計算 \(\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} x^3\cos^2 x\,dx\) 。

解： \(x^3\) 奇、 \(\cos^2 x\) 偶，乘積為奇函數；對稱區間上積分為 \(0\) 。一行解決——逐項積分 \(x^3\cos^2 x = \frac{x^3}{2}(1 + \cos 2x)\) 需要繁重分部積分，對稱性把它整體報銷。這說明積分技巧的第一步永遠是檢查對稱性。

例題二：代換公式的性質面向#

定理 3.3.3（換元積分）： \(\phi\) 在 \([\alpha,\beta]\) 可微、嚴格單調， \(\phi(\alpha) = a\) 、 \(\phi(\beta) = b\) ， \(f\) 連續，則

\[ \int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(\phi(t))\,\phi'(t)\,dt. \]

例題 3.3.4：計算 \(\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{1 + \sqrt x}\) 。

解：令 \(t = \sqrt x\) ， \(x = t^2\) ， \(dx = 2t\,dt\) ； \(x: 0 \to 1\) 對應 \(t: 0 \to 1\) ：

\[ \int_0^1 \frac{2t}{1+t}\,dt = 2\int_0^1 \left(1 - \frac{1}{1+t}\right)dt = 2\left[t - \ln(1+t)\right]_0^1 = 2 - 2\ln 2. \]

注意定積分換元與不定積分換元的差別：定積分換元連積分限一起換，無需回代。歷史上，代換法的系統化歸功於 Leibniz 記號（ \(dx = \phi'(t)dt\) 形式分母消去）與 Euler、Lagrange 的嚴格化；其最終基礎是基本定理（4.2 節）。

積分的結構視角#

積分不等式的實戰：估計藝術#

很多積分算不出原函數（如 \(e^{-x^2}\) 、 \(\frac{\sin x}{x}\) ），但不等式仍能給出有用的界。

例題 3.3.5：證明 \(0 \le \displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}dx \le \int_0^1 e^{-x}\,dx\) ... 更細地證明 \(\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2} dx\) 介於 \(\frac{11}{18}\) 與 \(\frac{2}{3}\) 之間。

解：在 \([0,1]\) 上 \(1 - x^2 \le e^{-x^2} \le 1\) （利用 \(e^{-u} \ge 1 - u\) ）。但上界 \(\int_0^1 1 = 1\) 太粗。用線性近似 \(e^{-u} \le 1 - u + \frac{u^2}{2}\) （ \(u \ge 0\) ，由 Taylor 餘項）：

\[ \int_0^1 e^{-x^2}dx \le \int_0^1 \left(1 - x^2 + \frac{x^4}{2}\right)dx = 1 - \frac13 + \frac{1}{10} = \frac{23}{30}. \]

再用 \(e^{-x^2} \ge 1 - x^2\) ： \(\int_0^1 e^{-x^2} \ge \frac23\) 。故 \(\dfrac23 \le \displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}dx \le \dfrac{23}{30}\) （真值 \(\approx 0.7468\) ）。

哲學：「估計」是分析學的日常主食。級數收斂比較判別法（5.1 節）、Picard 迭代的壓縮估計、PDE 的能量估計，本質都是積分不等式。Cauchy–Schwarz 的應用示例：證明 \(\left(\int_0^1 \sqrt{1+x^2}\,dx\right)^2 \le \int_0^1 (1+x^2)dx \cdot \int_0^1 1\,dx = \frac43\) ，故積分 \(\le \frac{2}{\sqrt3} \approx 1.1547\) （真值 \(\approx 1.1478\) ）。

積分中值定理與廣義化#

第一中值定理： \(f\) 連續、 \(g\) 可積且不變號，則存在 \(\xi \in [a,b]\) ：

\[ \int_a^b f(x)g(x)\,dx = f(\xi)\int_a^b g\,dx. \]

（ \(g \equiv 1\) 時即 3.2 節形式。）證明用 \(m\int g \le \int fg \le M \int g\) 與 IVT。加權平均的解讀： \(g\) 是權重， \(f(\xi)\) 是加權平均高度。機率論中 \(E[X] = \int x\,d\mu\) 、物理中的質心（7.3 節）都是加權平均。

第二中值定理（Bonnet，Weierstrass 精煉）： \(f\) 單調、 \(g\) 可積，則存在 \(\xi\) 使 \(\int_a^b fg = f(a)\int_a^\xi g + f(b)\int_\xi^b g\) 。它是 Dirichlet 判別法（5.1 節級數、廣義積分的 Abel/Dirichlet 審斂）的分析引擎。

定積分定義的延伸性質#

Leibniz 積分法則（變限求導）：若 \(f\) 連續、 \(\alpha(x), \beta(x)\) 可微，則

\[ \frac{d}{dx}\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t)\,dt = f(\beta(x))\beta'(x) - f(\alpha(x))\alpha'(x). \]

這是基本定理（4.2 節 FTC1）+ 鏈鎖律的直接推論，在微分方程（Green 函數對參數的依賴）、流體力學（控制體積通量對時間求導的 Reynolds 輸運定理）中是標配工具。

Wallis 公式（由積分遞推 \(I_n = \int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\) ）：

\[ \lim_{n\to\infty} \frac{\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx}{\int_0^{\pi/2}\sin^{n+1}x\,dx} = 1 \implies \lim_{n\to\infty}\frac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdots(2n)(2n)}{1\cdot3\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)(2n+1)} = \frac{\pi}{2}. \]

Wallis 1656 年以純算術插值猜得此式；積分證明是這一猜測的分析學確認，也是 \(\Gamma\) 函數（ \(\Gamma(\frac12) = \sqrt\pi\) ）與 Stirling 公式的入口。

歷史前因後果#

  • 前因：Newton 與 Leibniz 時代，積分性質以「面積直觀」被自由使用；Euler 大量運用線性、代換、對稱性於其分析巨著。
  • 提出：Cauchy 1823 年首先以嚴格方式定義積分並證明其基本性質（線性、可加、中值定理）；Riemann 1854 擴大函數類；Darboux 1875 完善上和下和理論。
  • 解決了什麼：積分的操作規則從「幾何常識」升級為「可證定理」；對稱性與估計技巧獲得邏輯保證。
  • 引發新問題：線性泛函的觀點（把積分視為函數空間上的「測量」）開啟了泛函分析（Hilbert 空間、 \(L^p\) 空間）；「積分對什麼樣的測度有意義」引向 Radon–Nikodym 理論與現代機率論（Kolmogorov 1933 以測度論重構機率）。

與其他章節及領域的關聯#

  • 4.2 節：線性與可加性是 FTC 證明的第一磚；變限積分求導直接產生 FTC1。
  • 5.1 節：積分判別法用單調性把級數與積分互譯；Schwarz 不等式是收斂性證明的常客。
  • 7.1 節：Fubini 定理是「區間可加性」的二維化；對稱性在重積分中同樣先行檢查。
  • 8.2 節：線積分的定向性（路徑反向變號）繼承自 \(\int_b^a = -\int_a^b\) ；保守場環路積分為零是可加性的推論。
  • 10.2 節：積分作為內積 \(\langle f,g\rangle\) 使 \(L^2\) 成為希爾伯特空間，傅立葉級數的 Parseval 定理是「畢氏定理」的無窮維版本。
  • 物理：質心 \(\bar x = \frac{\int x\,dm}{\int dm}\) 、均方根 \(\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T f^2}\) 、Poynting 向量平均功率——加權平均與對稱性無處不在。
  • 機器學習：正則化項的期望 \(\int \ell(f(x), y)\,p(x)\,dx\) 、重要性採樣（以測度變換視角看代換公式）。

練習#

  1. 利用對稱性計算 \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} x^5\sin^4 x\,dx\) （不真正積分）。
  2. 證明：若 \(f\) 週期 \(T\) ，則 \(\displaystyle\int_a^{a+T} f\,dx = \int_0^T f\,dx\) 對一切 \(a\) 成立。
  3. 用代換 \(x = a\tan\theta\) 計算 \(\displaystyle\int_0^a \frac{dx}{a^2 + x^2}\) （ \(a>0\) ），並解釋結果與 \(\arctan\) 導數表的一致性。
  4. 用 \(e^{-u} \le 1 - u + \frac{u^2}{2} - \frac{u^3}{6} + \frac{u^4}{24}\) （ \(u\ge0\) ）改進 \(\int_0^1 e^{-x^2}dx\) 的上界。
  5. 證明 Schwarz 不等式的積分形式（提示：對任意 \(\lambda\) ， \(\int(f+\lambda g)^2 \ge 0\) ，判別式論證）。
  6. 思考題：第一中值定理要求 \(g\) 不變號。構造反例說明 \(g\) 變號時「 \(f(\xi)\int g\) 」型等式可失效，並思考 \(f\) 常數時為何又總是成立。

（本節完）