4.2 基本定理的兩個形式#

導言#

微積分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus, FTC）是全書的樞紐：它把「切線」（導數）與「面積」（積分）兩條兩千年的問題線焊接成一體。本節給出它的兩個形式的嚴格證明，並討論條件、推論與高維推廣的方向。歷史見 4.1 節；此處完成 Cauchy 1823 年式的水準。

形式一：變限積分的導數（FTC1）#

定理 4.2.1（FTC1）：設 \(f\) 在 \([a,b]\) 上連續，定義

\[ F(x) = \int_a^x f(t)\,dt, \qquad x \in [a,b]. \]

則 \(F\) 在 \([a,b]\) 上（內部可導、端點單側可導）處處可導，且

\[ F'(x) = f(x). \]

證明：取 \(x, x + h \in [a,b]\) （ \(h \neq 0\) ）。由區間可加性（3.3 節）：

\[ F(x+h) - F(x) = \int_a^{x+h} f - \int_a^x f = \int_x^{x+h} f(t)\,dt. \]

由積分中值定理（ \(f\) 連續），存在 \(\xi_h\) 介於 \(x\) 與 \(x+h\) 之間使

\[ F(x+h) - F(x) = f(\xi_h)\,h. \]

當 \(h \to 0\) 時 \(\xi_h \to x\) （被夾在 \(x\) 與 \(x+h\) 之間），由 \(f\) 的連續性 \(f(\xi_h) \to f(x)\) 。故

\[ F'(x) = \lim_{h\to0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \lim_{h\to0} f(\xi_h) = f(x). \qquad \blacksquare \]

三個要點：

條件的分工：「連續」用在兩處——中值定理的存在性與 \(f(\xi_h) \to f(x)\) 。若 \(f\) 只有可積而不連續， \(F\) 仍連續，且在 \(f\) 的連續點處 \(F' = f\) （Lebesgue 之後的精煉；跳躍點處 \(F\) 出現角點）。
存在性側產物：FTC1 同時證明了每個連續函數都有原函數——原函數的存在性不是顯然的（可導函數的導數未必有原函數，如 \(\sin\frac{1}{x^2}\) 的導數），而是由積分構造出來的。
與 Darboux 性質呼應（2.1 節）：原函數的導數（=被積函數）自然滿足中間值性質。

形式二：原函數差值公式（FTC2）#

定理 4.2.2（FTC2 / Newton–Leibniz 公式）：設 \(f\) 在 \([a,b]\) 上可積， \(\Phi\) 在 \([a,b]\) 上連續、在 \((a,b)\) 內可導且 \(\Phi'(x) = f(x)\) 。則

\[ \int_a^b f(x)\,dx = \Phi(b) - \Phi(a). \]

證明：對任意分割 \(P: a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\) ， telescope（望遠鏡求和）：

\[ \Phi(b) - \Phi(a) = \sum_{i=1}^n \big[\Phi(x_i) - \Phi(x_{i-1})\big] = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\,\Delta x_i, \]

其中 \(\xi_i \in (x_{i-1}, x_i)\) 由MVT（2.3 節）提供。右端是一個 Riemann 和。令 \(|P| \to 0\) ，由 \(f\) 可積，Riemann 和收斂於 \(\int_a^b f\) ；左端是常數。故等式成立。 \(\blacksquare\)

條件的細察： \(\Phi\) 只需「連續 + 內部導數 = 可積的 \(f\) 」，端點導數不必存在。致命陷阱： \(\Phi'\) 存在但不可積（有界性不保）時公式可失效——Volterra 函數（1881，可導、導數有界但不 Riemann 可積）是經典反例，這也是 Riemann 理論的內在缺陷（10.2 節 Lebesgue 與 Denjoy–Perron 積分的動機之一）。

兩個形式的邏輯關係#

flowchart LR
    A["f 連續於 [a,b]"] -->|"構造 F(x) = ∫ₐˣ f"| B["F 是 f 的原函數<br>（FTC1：存在性）"]
    C["Φ 是 f 的任一原函數"] --> D["Φ(b) − Φ(a) = ∫ₐᵇ f<br>（FTC2：計算性）"]
    B --> E["推論：原函數彼此差常數"]
    E --> D
    F["證明引擎"] --> G["FTC1：積分中值定理 + 連續性"]
    F --> H["FTC2：MVT 望遠鏡和 + 可積性"]

核心推論：原函數的唯一性（差一常數）。若 \(\Phi_1' = \Phi_2' = f\) ，則 \((\Phi_1 - \Phi_2)' = 0\) ，由 MVT 推論（2.3 節：導數恆零則常數）， \(\Phi_1 - \Phi_2 = C\) 。因此「不定積分」寫作 \(\int f\,dx = \Phi(x) + C\) 是有嚴格基礎的。

例題一：FTC1 的直接應用#

例題 4.2.3：求 \(g(x) = \displaystyle\int_0^{x^2} \sin(t^3)\,dt\) 的導數。

解：設 \(u = x^2\) ，由 Leibniz 變限法則（3.3 節）與鏈鎖律：

\[ g'(x) = \sin\big((x^2)^3\big)\cdot 2x = 2x\sin(x^6). \]

注意： \(\sin(t^3)\) 沒有初等原函數——FTC1 允許我們對「積不出來」的積分求導。這是「定義為積分的函數」的標準研究法：誤差函數 \(\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^x e^{-t^2}dt\) 、正弦積分、橢圓積分等特殊函數皆由此定義，其性質（單調、漸近）全由對被積函數的分析讀出。

例題二：FTC2 的計算威力#

例題 4.2.4：計算 \(\displaystyle\int_0^\pi \sin x\,dx\) 與曲線 \(y = \sin x\) 一拱下的面積。

解： \(\Phi(x) = -\cos x\) 滿足 \(\Phi' = \sin\) 。

\[ \int_0^\pi \sin x\,dx = [-\cos x]_0^\pi = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2. \]

對照 3.1 節：在 1650 年前，這個積分需要 Cavalieri 式的不可分量論證（他確實算出來了，但論證飽受批評）；有了 FTC2，它是一次代入。「面積 = 原函數差值」這一步，把幾何測量問題轉化為代數運算——這是微積分革命的核心。

例題 4.2.5（帶絕對值的應用）：求 \(y = x^2 - 4x + 3\) 與 \(x\) 軸在 \([0,3]\) 之間圍成的面積。

解：先求零點 \(x = 1, 3\) 。在 \([0,1]\) 上 \(f \ge 0\) ，在 \([1,3]\) 上 \(f \le 0\) ：

\[ A = \int_0^1 f\,dx + \left|\int_1^3 f\,dx\right| = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac83. \]

（若不加絕對值， \(\int_0^3 f\,dx = 0\) ——**「面積」要求 \(\int |f|\) ，「淨變化」才是 \(\int f\) **。這一區分在物理（位移 vs. 路程）、統計（誤差絕對值 vs. 帶符號誤差）中至關重要。）

FTC 的條件譜系與現代精煉#

假設組合	結論	備註
\(f\) 連續	FTC1、FTC2 完整成立	教科書標準情形
\(f\) 可積、 \(f\) 連續於 \(x\)	\(F' (x) = f(x)\) 在該點成立	跳躍點處 \(F\) 有角
\(\Phi' = f\) 可積	FTC2 成立	本節定理
\(\Phi' = f\) 存在但不可積	FTC2 失效	Volterra 反例
\(f\) Lebesgue 可積	\(F\) 絕對連續時 \(F' = f\) a.e.，FTC2 成立 \(\iff\) \(F\) 絕對連續	10.2 節
\(f\) 是分布的導數	廣義 FTC	Schwartz 分布論

「絕對連續」是二十世紀給 FTC 找到的精確條件： \(F\) 絕對連續 \(\iff\) \(F(x) = F(a) + \int_a^x F'\) （Lebesgue 積分）。Cantor 函數（魔鬼階梯：連續、遞增、導數幾乎處處為零，卻從 0 爬到 1）說明：僅「連續 + 導數 a.e. 為零」不足以支撐 FTC——它是 FTC2 的反例（ \(\int_0^1 0\,dx = 0 \neq 1\) ）。這些精煉構成實變函數論的核心章節。

FTC 的高維回聲：廣義 Stokes 定理#

FTC 的真正身份是廣義 Stokes 定理的一維情形：

\[ \int_{\partial D} \omega = \int_D d\omega, \]

即「區域邊界上的積分 = 區域內部微分後的積分」。對照表：

維度	定理	形式
一維	FTC2	\(\int_a^b \Phi'(x)\,dx = \Phi(b) - \Phi(a)\)
平面	Green 定理（8.3 節）	\(\oint_{\partial D} P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dA\)
空間	Gauss（9.2）、Stokes（9.3）	通量與環量的體／面積分化
流形	廣義 Stokes	\(\int_{\partial M} \omega = \int_M d\omega\)

統一哲學：「內部的微分資訊，由邊界的積分測得」——這是所有守恆律（連續性方程、Maxwell 方程）、散度定理在物理中的數學骨架。讀者學完第 9 章後應回顧本節，體會 FTC 是「一維的 Green 定理」。

歷史前因後果#

前因：Torricelli、Gregory、Barrow 的互逆性直觀（4.1 節表）；Newton 的流量／流數互逆；Leibniz 的和差互逆。
嚴格化：Cauchy 1823 年《無窮小分析概要》首次以連續性假設嚴格證明兩個形式；Dirichlet、Riemann 擴大可積類；Lebesgue 1902–1904 給出以「絕對連續」表述的終極形式。
解決了什麼：積分計算從「逐案求和」變成「找原函數」；原函數存在性獲得構造性證明；變化與累積的對偶成為定量科學的公理級工具。
引發新問題：哪些函數有原函數？（答：不是所有可積函數都有 Riemann 意義下的好原函數）哪些 \(F\) 滿足 \(F(x) - F(a) = \int F'\) ？（絕對連續性）——這些問題直接催生實變函數論（10.2 節）。

與其他章節及領域的關聯#

4.3 節：FTC2 是積分技巧（分部、代換）的合法性來源。
8.2 節：保守場位函數的存在性證明「線積分只依賴端點」，其證明結構正是 FTC2 的高維版。
9.2 節：Gauss 定理中「散度積分 = 邊界通量」是 FTC 的三維變形；一維情形 \(f'(x)\) 的「散度」就是斜率。
10.2 節：絕對連續性、Cantor 函數反例、Lebesgue 版 FTC。
微分方程：積分方程 \(y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, y(t))dt\) 是 ODE 的積分形式，Picard 迭代基於 FTC1 的估計。
機率論：分布函數 \(F(x) = P(X \le x)\) 與密度 \(p\) 的關係 \(F(x) = \int_{-\infty}^x p\) ，是 FTC1 的直接應用；「 \(F\) 可微處 \(F' = p\) 」的幾乎處處版本屬於 Lebesgue 理論。

練習#

求 \(\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{\sqrt x}^{x^2} e^{-t^2}\,dt\) 。
用 FTC2 計算 \(\displaystyle\int_0^2 |x - 1|\,dx\) （分段處理）。
設 \(f\) 連續且 \(\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt = x e^{-x}\) ，求 \(f(x)\) 與 \(f(0)\) 。
證明：若 \(f\) 在 \([a,b]\) 連續且 \(\int_a^b f = 0\) ，則存在 \(\xi\) 使 \(f(\xi) = 0\) （提示：FTC1 + Rolle）。
求曲線 \(y = x^3 - 3x\) 與 \(x\) 軸圍成的全部面積。
思考題：構造函數 \(F\) 連續、 \(F' = 0\) 幾乎處處（在測度零的集合外），但 \(F\) 非常數。（查閱 Cantor 函數的構造，用三進位表述。）解釋為何它不違反 MVT——它可導嗎？

（本節完）