5.2 冪級數與 Taylor 定理#

導言#

若說 FTC 把幾何問題代數化，那麼 Taylor 定理就把任何光滑函數多項式化：用一次、二次、 \(\cdots\) 、 \(n\) 次多項式層層逼近。Brook Taylor（1685–1731） 1715 年發表此展開（Johann Bernoulli 與 Gregory 早有等價結果，Maclaurin 1742 使 \(a = 0\) 情形普及，故有 Maclaurin 級數之名）；冪級數則是它的無窮版——Euler 以之計算 \(\pi\) 、解微分方程，Weierstrass 以之重建解析函數論。本節建立 Taylor 定理、冪級數理論與常用展開。

Taylor 多項式：在 \(a\) 點的「最佳模仿」#

動機：在 \(x = a\) 附近模仿 \(f\) 。什麼是「最好」的 \(n\) 次多項式 \(p_n\) ？要求它與 \(f\) 在 \(a\) 處的函數值與前 \(n\) 階導數全部相等：

\[ p_n(a) = f(a),\quad p_n'(a) = f'(a),\quad \ldots,\quad p_n^{(n)}(a) = f^{(n)}(a). \]

逐階求導比對，唯一解是

\[ p_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k. \]

直觀：常數項釘住位置、一次項釘住斜率、二次項釘住彎曲、三次項釘住「彎曲的變化」……每一階都補上一層更細的形狀資訊。 \(k!\) 的出現源於 \((x-a)^k\) 求導 \(k\) 次產生 \(k!\) 。

Taylor 定理與餘項#

定理 5.2.1（Taylor 定理，Lagrange 餘項形式）：設 \(f\) 在含 \(a\) 的區間上 \(n+1\) 階可導，則對區間內任意 \(x\) ，存在 \(\xi\) 介於 \(a\) 與 \(x\) 之間：

\[ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n(x), \qquad R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}. \]

證明思路：固定 \(x\) ，對輔助函數（取自 Cauchy 的 MVT 推廣證明）

\[ g(t) = f(t) + f'(t)(x-t) + \frac{f''(t)}{2!}(x-t)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^n, \]

計算得 \(g'(t) = \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\) ，對 \(g\) 用 Cauchy 中值定理（與 \((x-t)^{n+1}\) 比較）即得 \(\xi\) 。其他餘項形式：積分餘項 \(R_n = \frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n dt\) （由分部積分逐步推得，4.3 節）；Peano 餘項 \(R_n = o\left((x-a)^n\right)\) （局部形式，5.3 節）。

歷史：Taylor 1715 年《正與反的增量方法》從 Newton 前向差分取極限得到展開；Maclaurin 1742《流數論》以幾何嚴謹性著稱並大量使用 \(a=0\) 情形；Lagrange 1797 把餘項明確化，並夢想以 Taylor 級數為微積分的全部基礎（見 1.1 節）；嚴格的餘項理論由 Cauchy（1823，積分餘項）完成。

例題： \(e^x\) 的展開與 \(e\) 的計算#

例題 5.2.2：展開 \(f(x) = e^x\) 於 \(a = 0\) ，證明對一切 \(x\) 收斂，並估計 \(e\) 。

解： \(f^{(k)}(x) = e^x\) ， \(f^{(k)}(0) = 1\) ，故

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + R_n. \]

餘項 \(|R_n| = \frac{e^{\xi}}{(n+1)!}|x|^{n+1}\) ，取 \(|x| \le r\) 時 \(|R_n| \le \frac{e^r r^{n+1}}{(n+1)!} \to 0\) （階乘壓倒指數）。取 \(x = 1\) ， \(n = 10\) ：

\[ e \approx 1 + 1 + \frac12 + \frac16 + \cdots + \frac{1}{10!} \approx 2.7182818, \]

誤差 \(< \frac{3}{11!} \approx 8.3\times10^{-8}\) 。歷史：Euler 1748 年算 \(e\) 到 18 位； \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) （由三個級數比較係數）與 \(e^{i\pi} + 1 = 0\) 皆從此級數讀出——這是歐拉 1748 年《無窮分析引論》最著名的成果。

常用 Maclaurin 級數表#

\[ \begin{aligned} e^x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}, && x \in \mathbb{R}, \\ \sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}, && x \in \mathbb{R}, \\ \cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}, && x \in \mathbb{R}, \\ \frac{1}{1-x} &= \sum_{n=0}^\infty x^n, && |x| < 1, \\ \ln(1+x) &= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}, && -1 < x \le 1, \\ \arctan x &= x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}, && |x| \le 1, \\ (1+x)^\alpha &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots\ \text{（二項級數）}, && |x| < 1. \end{aligned} \]

歷史註：牛頓 1665 年的二項級數（推廣到分數指數）是他自述的數學起點； \(\arctan\) 級數即 Madhava 級數（14 世紀）； \(\ln(1+x)\) 級數由 Mercator 1668 發表。這些級數是十七世紀「無窮小分析」的核心戰利品。

冪級數理論：收斂半徑#

定理 5.2.3（收斂半徑，Cauchy–Hadamard）：冪級數 \(\sum c_n (x-a)^n\) 的收斂集合必為區間 \((a - R, a + R)\) 加上端點的選擇性收斂，其中

\[ \frac1R = \limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n}. \]

證明核心：對固定 \(x\) 用根值判別法（5.1 節）： \(|c_n(x-a)^n|^{1/n} \to \frac{|x-a|}{R}\) ， \(< 1\) 絕對收斂、 \(> 1\) 發散（一般項不趨零）。

冪級數的三大優良性格（在收斂區間內部）：

逐項求導/積分合法： \(\sum n c_n (x-a)^{n-1}\) 、 \(\sum \frac{c_n}{n+1}(x-a)^{n+1}\) 有相同收斂半徑（證明用一致收斂，5.3 節）；
和函數無窮可導，且 \(c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\) ——冪級數就是其和函數的 Taylor 級數（唯一性！）；
兩冪級數若在 \(a\) 附近處處相等則係數全等——這是「比較係數法」的合法性來源（Euler 解 Basel 問題的關鍵操作）。

例題 5.2.4：由 \(\frac{1}{1-x} = \sum x^n\) 出發求 \(\arctan x\) 的級數與 \(\pi\) 的計算。

解： \(\frac{1}{1+t^2} = \sum (-t^2)^n\) （ \(|t|<1\) ）。逐項積分：

\[ \arctan x = \int_0^x \frac{dt}{1+t^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}, \qquad |x| \le 1. \]

代 \(x = 1\) 得 Leibniz 級數（5.1 節）；用 Machin 公式算 \(\pi\) 快速收斂。逐項積分的合法性正是冪級數理論的精華：一次積分、半徑不變、係數除以 \(n+1\) 。

函數展開的實戰策略#

策略	操作	例
直接求導	\(f^{(n)}(a)/n!\)	\(e^x, \sin x\)
幾何級數代換	換變數	\(\frac{1}{2+x} = \frac12\sum(-\frac x2)^n\)
逐項微積分	求導或積分已知級數	\(\arctan, \ln(1+x)\)
運算	乘、除、平方	\(\frac{x}{1-x^2} = x\sum x^{2n}\)
待定係數	用恆等式解 ODE	\(y' = y \Rightarrow \sum (n+1)c_{n+1} = c_n\)

例題 5.2.5：用冪級數解初值問題 \(y' = y\) ， \(y(0) = 1\) 。

解：設 \(y = \sum c_n x^n\) ，則 \(\sum_{n\ge1} n c_n x^{n-1} = \sum c_n x^n\) 。比較係數： \((n+1)c_{n+1} = c_n\) ，即 \(c_n = \frac{c_0}{n!}\) 。 \(c_0 = y(0) = 1\) ，故 \(y = \sum \frac{x^n}{n!} = e^x\) 。指數函數「重新發明」了自己——冪級數解 ODE 是 Frobenius 方法（Bessel 函數、Legendre 多項式）的起點，特殊函數論的大門。

Taylor 定理的應用速覽#

數值計算： \(\sin x\) 、 \(\exp\) 的庫函數用（變換後的）多項式逼近； \(f(x+h) \approx f(x) + h f'(x) + \frac{h^2}{2}f''(x)\) 是有限差分法的公式源頭。
極限計算： \(x - \sin x \approx \frac{x^3}{6}\) （洛必達的高效替代，2.3 節例題的另一解法）。
物理近似：單擺 \(\sin\theta = \theta - \frac{\theta^3}{6} + \cdots\) 的線性化；相對論動能 \(mc^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - 1\right) = \frac12 mv^2 + \frac38 m\frac{v^4}{c^2} + \cdots\) ——牛頓力學是相對論的 Taylor 展開首項！
優化：牛頓法（2.3 節）就是「二階 Taylor 模型的極小點」；擬牛頓法、信賴域方法皆為 Taylor 框架的工程化。

收斂性警示：Taylor 級數不等於函數#

危險區： \(f\) 光滑（ \(C^\infty\) ）不保證 Taylor 級數收斂到 \(f\) 。經典反例：

\[ f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{cases} \qquad f^{(n)}(0) = 0\ \text{對一切}\ n. \]

其 Maclaurin 級數恆為 \(0\) ，在 \(x \neq 0\) 處完全不代表 \(f\) ！原因： \(f\) 在 \(0\) 處「平坦得可怕」（所有導數為零），但 \(e^{-1/x^2}\) 本身非零。結論：級數收斂到 \(f\) 需要 \(|R_n(x)| \to 0\) （餘項控制），不是自動成立。滿足此條件的函數稱為解析（ \(C^\omega\) ）——實解析函數是 \(C^\infty\) 的真子集（複變函數論中「解析」的實部原型）。feynman 路徑積分、微擾論中「級數發散但仍有用」（漸近級數）的現象正源於此：展開的前幾項可能極準，級數整體卻不收斂。

歷史前因後果#

前因：Wallis 插值、牛頓二項級數、Gregory 與 Mercator 的對數/反正切級數。
提出：Taylor 1715；Maclaurin 1742；Lagrange 1797（餘項與「級數為基」的雄心）；Cauchy 1823（積分餘項、收斂概念注入）。
解決了什麼：函數的局部多項式逼近有了系統方法；特殊值計算、極限、近似、微分方程求解獲得統一工具。
引發新問題：收斂域與端點行為（Abel 定理：冪級數在一端收斂則和函數在該端連續）、光滑非解析函數、一致收斂（5.3 節）、複解析與實解析的分野（Cauchy–Riemann）——複分析的誕生很大程度上是冪級數問題的驅動。

與其他章節及領域的關聯#

5.3 節：一致收斂是「逐項操作」的嚴格基礎；Taylor 級數是「局部觀點」的化身。
2.3 節：線性近似與牛頓法是 Taylor 定理的 \(n=1, 2\) 情形。
4.3 節：積分餘項由分部積分導出；「積不出來」的函數用冪級數積分。
6.3 節：多變數 Taylor 展開（Hessian 矩陣出現在二次項）是極值二階條件的根源。
7.2 節： \(\Gamma\) 函數的展開與 Stirling 公式（ \(n! \sim \sqrt{2\pi n}(n/e)^n\) ）由 Taylor/Laplace 方法導出。
傅立葉分析：冪級數在複平面收斂圓盤內展開；傅立葉級數是「週期函數的 Taylor 替代」，兩者的收斂理論共享歷史（10.2 節）。
微分幾何／廣義相對論：度規的 Taylor 展開（測地線、曲率張量）；指數映射 \(\exp_p: T_pM \to M\) 是矩陣指數 \(e^A = \sum \frac{A^n}{n!}\) 的流形版。

練習#

求 \(f(x) = \ln x\) 在 \(a = 1\) 的 Taylor 級數及收斂範圍，並用前三項估計 \(\ln 1.2\) 。
用 \(\arctan\) 級數與 Machin 公式計算 \(\pi\) 到小數第 5 位（列出前幾項）。
用 Taylor 展開求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x^3}\) 。
求 \(\sqrt{1+x}\) 的二項級數前三項，估計 \(\sqrt{4.2}\) ，與 2.3 節線性近似比較精度。
用冪級數解 \(y'' + y = 0\) ， \(y(0) = 0\) 、 \(y'(0) = 1\) ，辨認出解為 \(\sin x\) 。
思考題：證明 \(f(x) = e^{-1/x^2}\) （ \(f(0)=0\) ）的一切導數在 \(0\) 處為零（用數學歸納與 \(P(x)e^{-1/x^2}\) 型上界），並討論：這個函數對「Taylor 展開唯一決定函數」的信念意味著什麼？

（本節完）