6.1 偏導數與梯度#

導言#

現實世界的量依賴多個變數：氣溫依賴位置與時間、利潤依賴價格與產量、勢能依賴粒子座標。多變數函數 \(f(x, y)\) 的「變化率」是什麼？答案有兩層：偏導數（固定其他變數，沿座標方向的變化率）與梯度（把所有方向變化率打包成的向量，指向最陡上升方向）。本節建立多變數微分的基礎，它是優化、機器學習、流體力學、電磁學的共同起點。

從單變數到多變數：定義域的新幾何#

\(f(x, y)\) 的定義域是平面區域 \(D \subset \mathbb{R}^2\) ，圖像 \(\{(x, y, f(x,y))\} \subset \mathbb{R}^3\) 是曲面。新的基本工具：

等值線（水平線）： \(f(x, y) = c\) 的曲線族——地形圖的等高線。多變數函數的「一維切片表示」，避開三維作圖的困難。氣象圖的等壓線、經濟學的無異曲線、地理的等高線，都是等值線。
截線：固定 \(y = y_0\) ，函數 \(x \mapsto f(x, y_0)\) 是平面曲線——偏導數就定義在其上。
極限的新難度： \((x, y) \to (a, b)\) 可以沿任何路徑接近；若沿兩條路徑極限不同，則極限不存在。

例題 6.1.1：證明 \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}\) 不存在。

解：沿 \(x\) 軸（ \(y = 0\) ）：極限 \(= 0\) 。沿直線 \(y = kx\) ： \(\frac{kx^2}{(1+k^2)x^2} = \frac{k}{1+k^2}\) ——隨 \(k\) 變化（ \(k=1\) 時 \(\frac12\) ）。故極限不存在。 \(\blacksquare\)

對照：對 \(\frac{x^2 y}{x^4 + y^2}\) 型函數，沿 \(y = kx\) 恆為 0，沿 \(y = x^2\) 給 \(\frac12\) ——直線路徑檢查通過不代表極限存在，曲線路徑同樣是證明工具。多變數極限是「路徑無關」的強條件。

偏導數的定義#

定義 6.1.2： \(f(x, y)\) 在 \((a, b)\) 的偏導數：

\[ f_x(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h, b) - f(a, b)}{h}, \qquad f_y(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a, b+h) - f(a, b)}{h}. \]

記號： \(\frac{\partial f}{\partial x}\) 、 \(f_x\) 、 \(D_x f\) 。** \(\partial\) 的發明**：Legendre（1786）首次使用；Jacobi（1841）普及。Leibniz 的 \(d\) 升級為 \(\partial\) ，強調「偏」——只對一個變數微分，其餘視為常數。

計算法則：把其他變數當常數，用單變數法則（2.2 節）直接求導。

例題 6.1.3： \(f(x, y) = x^2 y^3 + e^{xy}\) 。求 \(f_x, f_y\) 。

解：

\[ f_x = 2xy^3 + y e^{xy}, \qquad f_y = 3x^2y^2 + x e^{xy}. \]

高階偏導數： \(f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy}\) 。Clairaut–Schwarz 定理（Clairaut 1740；Schwarz 1873 給精確條件）：若 \(f_{xy}\) 與 \(f_{yx}\) 都連續，則 \(f_{xy} = f_{yx}\) （混合偏導與求導次序無關）。反例： \(f(x,y) = \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\) （ \(f(0,0)=0\) ）在原點 \(f_{xy}(0,0) = -1 \neq 1 = f_{yx}(0,0)\) ——混合偏導不連續時次序真的有影響。此定理是「微分運算可交換」的基石：波動方程 \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) 、無旋場的位勢、曲率的對稱性都依賴它。

全微分與可微性：偏導數不夠！#

關鍵陷阱：偏導數存在 \(\not\Rightarrow\) 連續，更 \(\not\Rightarrow\) 可微。反例：

\[ f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0), \\ 0, & (0,0). \end{cases} \]

\(f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0\) （沿軸看是常數零），但 \(f\) 在原點甚至不連續（例題 6.1.1）。原因：偏導數只看兩條軸上的行為，對其他方向全然盲目。

正確的定義：

定義 6.1.4（可微性）： \(f\) 在 \((a,b)\) 可微，若存在常數 \(A, B\) 使

\[ f(a + \Delta x, b + \Delta y) - f(a, b) = A\,\Delta x + B\,\Delta y + o\!\left(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\right). \]

此時 \(A = f_x(a,b)\) 、 \(B = f_y(a,b)\) ，全微分為

\[ df = f_x\,dx + f_y\,dy. \]

定理 6.1.5：偏導數連續 \(\Rightarrow\) 可微 \(\Rightarrow\) 連續且各方向導數存在。

方向導數：沿單位向量 \(\mathbf{u} = (\cos\theta, \sin\theta)\) ：

\[ D_{\mathbf{u}} f(a,b) = \lim_{h\to0} \frac{f(a + h\cos\theta, b + h\sin\theta) - f(a,b)}{h} \overset{f\text{可微}}{=} f_x \cos\theta + f_y \sin\theta. \]

可微性是「所有方向一次到位」的線性近似——這正是 2.3 節「線性主部 + 高階誤差」的多維版，也是 6.2 節 Jacobian 矩陣的定義基礎。層級表：

性質	蘊含	反向
偏導連續（ \(C^1\) ）	可微	不成立
可微	偏導存在、連續、方向導數公式	不成立
偏導存在	（幾乎什麼都不蘊含）	—

梯度：變化率合成的向量#

定義 6.1.6：可微函數 \(f\) 的梯度：

\[ \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right) \quad\text{（一般 } \nabla f = (f_{x_1}, \ldots, f_{x_n})\text{）}. \]

** \(\nabla\) （nabla/del）記號**：Hamilton（1837）引入倒三角；Maxwell 1870s 在電磁學中普及 \(\nabla \cdot\) （散度）、 \(\nabla \times\) （旋度）——見 9.2、9.3 節。

梯度三大性質：

方向導數 = 內積： \(D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}\) （ \(\mathbf{u}\) 為單位向量）。
最陡方向：由 Cauchy–Schwarz， \(|D_{\mathbf u} f| \le |\nabla f|\) ，等號當 \(\mathbf{u} \parallel \nabla f\) 。故 \(\nabla f\) 指向最陡上升方向， \(-\nabla f\) 指向最陡下降方向，模長即最大變化率。
垂直等值線： \(\nabla f \perp\) 等值線 \(f = c\) （沿等值線 \(f\) 不變，方向導數為零）。例：地形圖上等高線密集處（ \(|\nabla f|\) 大）是陡坡。

例題 6.1.7： \(f(x,y) = x^2 + y^2\) （碗形）。在點 \((1, 2)\) ： \(\nabla f = (2, 4)\) ， \(|\nabla f| = 2\sqrt5 \approx 4.47\) 。最陡上升方向 \((1,2)/\sqrt5\) ；沿 \(\mathbf{u} = (0,-1)\) （向原點下降）的方向導數 \(D_{\mathbf u} f = -4\) ——下降速率 4，但真正最陡下降是 \(-4.47\) （直指原點方向 \((-1,-2)/\sqrt5\) ）。教訓：直覺的「向下」未必是最陡下降；梯度告訴你正確答案。梯度下降法 \(\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{x}_n - \eta \nabla f(\mathbf{x}_n)\) 正是反覆「朝最陡方向下山」，是現代機器學習的訓練引擎。

梯度場與物理#

若 \(\mathbf{F} = \nabla f\) （ \(\mathbf{F}\) 是某純量場的梯度），稱 \(\mathbf{F}\) 為保守場、 \(f\) 為位勢：

重力場 \(\mathbf{F} = -mg\,\hat{z} = -\nabla(mgz)\) （位勢 \(U = mgz\) ）；
靜電場 \(\mathbf{E} = -\nabla V\) （電位 \(V\) ）；
保守場沿閉路做功為零（8.2 節線積分），能量守恆的數學表述。

熱傳導：熱流方向 = 溫度下降最快方向 = \(-\nabla T\) （Fourier 定律 1822）；擴散（Fick 定律）、化學勢驅動的流動——「流動沿負梯度」是自然界的普遍原則（見 10.3 節）。

梯度、等值線與切平面的幾何#

例題 6.1.8：求曲面 \(z = x^2 + y^2\) 在點 \((1, 2, 5)\) 的切平面。

解：把曲面寫成等值面 \(F(x, y, z) = x^2 + y^2 - z = 5\) 。 \(\nabla F = (2x, 2y, -1)\) ，在該點 \((2, 4, -1)\) 是法向量。切平面：

\[ 2(x - 1) + 4(y - 2) - (z - 5) = 0 \implies z = 2x + 4y - 5. \]

原理：等值面 \(F = c\) 的法向量是 \(\nabla F\) ——「梯度垂直等值面」從曲線（2D）推廣到曲面（3D）。這是 9.1 節曲面積分中「法向量」計算的標準方法，也是 6.3 節 Lagrange 乘數法「約束曲面與目標等值面相切」的幾何基礎。

多變數 Taylor 展開的骨架#

二階展開（在 \((a,b)\) 附近）：

\[ f(a + \Delta x, b + \Delta y) \approx f + f_x \Delta x + f_y \Delta y + \frac12\left(f_{xx}\Delta x^2 + 2f_{xy}\Delta x \Delta y + f_{yy} \Delta y^2\right). \]

二次項係數構成 Hessian 矩陣 \(H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy}\end{pmatrix}\) （對稱性由 Clairaut–Schwarz 保證），決定函數的「碗形/鞍形」（6.3 節極值判別）。牛頓法多維版： \(\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{x}_n - H^{-1}\nabla f\) 。

歷史前因後果#

前因：Euler 與 Lagrange 在力學（最小作用量原理）與天文（三體問題）中大量使用多變數函數；Clairaut 1739–40 研究混合導數。
提出：Euler 1734 年已有偏導數運算；Lagrange 1780s 系統化；Jacobi 1841《論行列式的形成與性質》把偏導數與行列式（Jacobian）織成一體。
解決了什麼：力學、天文、工程中「多因素變化」的定量描述；偏微分方程（波動、熱傳導、位勢方程）的記號基礎。
引發新問題：可微性與偏導存在的分離（十九世紀後半的病態函數研究）、多變數積分（第 7 章）、向量分析的誕生（第 8–9 章，Gibbs 與 Heaviside 1880s 把 Hamilton 四元數改造為向量分析）。

與其他章節及領域的關聯#

6.2 節：Jacobian 矩陣把 \(\nabla f\) 推廣為向量值/多變數映射的完整微分；鏈鎖律的矩陣形式。
6.3 節：極值條件 \(\nabla f = 0\) 與 Hessian 判別；Lagrange 乘數法。
7.2 節：Jacobian 行列式在重積分換元中的角色。
8.1–8.2 節：梯度場是最重要的向量場；保守場判據。
9.1–9.3 節： \(\nabla\) 算子的三重身份：梯度（純量場→向量場）、散度（向量場→純量場）、旋度（向量場→向量場）；Maxwell 方程組以 \(\nabla\) 記號寫成四行——向量分析與電磁學的共同語言。
機器學習：損失函數 \(L(\mathbf{w})\) 的梯度下降、反向傳播（6.2 節）、Adam 等自適應梯度方法——「梯度」是 AI 時代被呼叫最頻繁的數學物件。
微分幾何： \(\nabla f\) 是餘向量（1-形式 \(df\) ）的向量化身；流形上的梯度需要度規（Riemannian metric）才能定義——「梯度依賴於測量長度的方式」是廣義相對論的入口。

練習#

求 \(f(x,y) = x^y\) （ \(x > 0\) ）的 \(f_x, f_y\) ，並在 \((1, 2)\) 處寫出全微分 \(df\) 。
用兩條路徑證明 \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}\) 不存在。
求 \(f(x,y) = xy e^{-x-y}\) 的所有臨界點並分類（結合 6.3 節 Hessian 檢驗）。
證明： \(f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}\) 在原點不可微，但沿任何單位向量 \(\mathbf{u}\) 的方向導數存在（值為 1）；討論方向導數「存在」與可微性的斷裂。
求椭球面 \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} + z^2 = 1\) 在點 \((1, 2, \frac{1}{3})\) 的切平面。
思考題：驗證 \(f(x,y) = \ln(x^2 + y^2)\) 滿足二維 Laplace 方程 \(f_{xx} + f_{yy} = 0\) （除原點）。這類「調和函數」是位勢理論的核心（9.2 節）；查閱「最大值原理」，思考調和函數為何不能有內部極值——用梯度與 Hessian 的語言給出直觀解釋。

（本節完）