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7.1 二重與三重積分#

導言#

一維積分算的是「曲線下方面積」；二重積分算「曲面下方體積」；三重積分算「密度分布的總質量」。幾何直覺延伸自然，但新問題隨之而來：高維的「分割—取樣—求和」如何組織？積分次序能否交換？本節建立重積分的定義、Fubini 定理與基本計算方法，為 7.2 的座標變換與 7.3 的物理應用鋪路。

二重積分的定義#

設定： \(f\) 定義於矩形 \(R = [a, b] \times [c, d]\) 。

定義 7.1.1：分割 \(R\) 為小矩形網格 \(\Delta R_{ij}\) （面積 \(\Delta A_{ij} = \Delta x_i \Delta y_j\) ），取樣點 \((\xi_{ij}, \eta_{ij})\) ，形成二重 Riemann 和：

\[ S = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} f(\xi_{ij}, \eta_{ij})\,\Delta A_{ij}. \]

若網格加細（ \(\max \Delta x_i, \max \Delta y_j \to 0\) ）時 \(S\) 收斂於 \(I\) （與取樣無關），則 \(f\) 在 \(R\) 上二重可積，記

\[ I = \iint_R f(x, y)\,dA. \]

幾何與物理解讀：

  • \(f \ge 0\) ：以 \(R\) 為底、 \(z = f(x,y)\) 為頂的曲頂柱體體積；
  • \(f\) 為面密度：總質量；
  • 一般情形：帶符號體積（ \(f < 0\) 處扣除）。

可積性：與一維完全平行——連續函數、有限不連續點（曲線）者可積；Darboux 上和下和理論照搬；Lebesgue 判準的推廣（不連續點集面積測度為零）。一般區域 \(D\) （非矩形）上：定義擴張函數 \(\tilde f\) （域外為 0）， \(\iint_D f = \iint_R \tilde f\) 。

Fubini 定理：把重積分拆成套疊的單變數積分#

定理 7.1.2（Fubini，1907；矩形上 Cauchy 1823 已有連續情形）：設 \(f\) 在矩形 \(R\) 上連續（一般地：可積且兩個單積分存在），則

\[ \iint_R f\,dA = \int_c^d \left[\int_a^b f(x, y)\,dx\right] dy = \int_a^b \left[\int_c^d f(x, y)\,dy\right] dx. \]

意義：積分次序可交換；重積分化為「先積一個方向，再積另一個」的兩步單變數積分。證明思想：Riemann 和中先對 \(i\) 求和（這正是內層積分的和），再對 \(j\) ；極限的 Fubini 換序。歷史：Cauchy 對連續函數已有交換結果；十九世紀末的病態例子（可積但兩個累次積分存在且不等）迫使 Guido Fubini（1879–1943） 1907 年給出精確條件——Lebesgue 積分下最終形式： \(f\) 可積（ \(\int|f| < \infty\) ） \(\Rightarrow\) 換序合法。條件的教訓： \(\int\left(\int f\right) \neq \int\left(\int f\right)\) 的反例（如 \(\frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}\) 在單位方塊上，兩序積分為 \(\pm\frac{\pi}{4}\) ）正是絕對可積性缺失的症狀——與 5.1 節條件收斂級數的重排問題同一靈魂。

一般區域上的累次積分#

Type I（ \(x\) -簡單域）： \(D = \{(x, y) : a \le x \le b,\ \phi_1(x) \le y \le \phi_2(x)\}\) ：

\[ \iint_D f\,dA = \int_a^b \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x, y)\,dy\,dx. \]

Type II（ \(y\) -簡單域）：對稱地。複雜區域：切成簡單域之和。

例題 7.1.3：計算 \(\displaystyle\iint_D (x + 2y)\,dA\) ， \(D\) 由 \(y = x^2\) 與 \(y = x\) 圍成（ \(0 \le x \le 1\) ）。

解：Type I 域，內層 \(y\) 從 \(x^2\) 到 \(x\) ：

\[ \int_0^1 \left[\int_{x^2}^{x} (x + 2y)\,dy\right] dx = \int_0^1 \left[xy + y^2\right]_{y=x^2}^{y=x} dx = \int_0^1 \left(2x - x^3 - x^4\right) dx = 1 - \frac14 - \frac15 = \frac{11}{20}. \]

積分限的確定法：先畫區域，再問「固定 \(x\) ， \(y\) 從哪條曲線走到哪條」——內層積分限可以是外層變數的函數，外層必須是常數。這是初學者最常見的錯誤點。

交換積分次序：技術與必要#

例題 7.1.4：交換 \(\displaystyle\int_0^1 \int_{\sqrt x}^{1} e^{y^3}\,dy\,dx\) 的次序並計算。

解： \(e^{y^3}\) 沒有初等原函數——按原序死路。重讀區域： \(0 \le x \le 1\) 、 \(\sqrt x \le y \le 1\) 等價於 \(0 \le y \le 1\) 、 \(0 \le x \le y^2\) ：

\[ \int_0^1 \int_0^{y^2} e^{y^3}\,dx\,dy = \int_0^1 y^2 e^{y^3} dy = \left[\frac{e^{y^3}}{3}\right]_0^1 = \frac{e - 1}{3}. \]

教訓：交換次序不只是技巧，有時是唯一生路。方法：由積分限畫出區域（這是反向工程），再按新序重述積分限。這個「區域描述 ⇄ 積分限」的翻譯能力，是重積分計算的核心技能。

三重積分#

定義： \(f(x, y, z)\) 在立體 \(E\) 上，分割為小盒、求和、取極限：

\[ \iiint_E f\,dV = \lim \sum f(\xi_{ijk})\,\Delta x_i \Delta y_j \Delta z_k. \]

Fubini 三步版： \(\displaystyle\iiint_E f\,dV = \iint_D \left[\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f\,dz\right] dA\) ——「先積 \(z\) （上下由曲面圍），再對投影區域 \(D\) 二重積分」。三種次序（ \(dz\,dy\,dx\) 、 \(dy\,dz\,dx\) 、…）共六種排列，選擇標準仍是「哪個方向描述區域最簡單、被積函數最可積」。

例題 7.1.5：計算 \(\displaystyle\iiint_E z\,dV\) ， \(E\) 是由 \(z = x^2 + y^2\) 與 \(z = 4\) 圍成的拋物面碗。

解：投影 \(D\) ： \(x^2 + y^2 \le 4\) （半徑 2 圓盤）。 \(z\) 從拋物面到平面：

\[ \iint_D \left[\int_{x^2+y^2}^{4} z\,dz\right] dA = \iint_D \frac{16 - (x^2+y^2)^2}{2}\,dA. \]

此時用極座標（7.2 節正式推導，此處先用結果 \(dA = r\,dr\,d\theta\) ）：

\[ \int_0^{2\pi}\int_0^2 \frac{16 - r^4}{2}\,r\,dr\,d\theta = 2\pi \left[4r^2 - \frac{r^6}{12}\right]_0^2 = 2\pi\left(16 - \frac{16}{3}\right) = \frac{64\pi}{3}. \]

重積分的性質速表#

性質 敘述 備註
線性 \(\iint(\alpha f + \beta g) = \alpha\iint f + \beta\iint g\) 同一維
可加性 域分塊，積分相加 分段處理複雜域
單調性 \(f \le g \Rightarrow \iint f \le \iint g\) 估計用
面積/體積公式 $\iint_D 1\,dA = D
中值定理 \(f\) 連續： $\iint_D f = f(\xi, \eta)\, D

平均值： \(\bar f = \dfrac{1}{|D|}\iint_D f\,dA\) ——區域上的平均溫度、平均密度。氣候學（全球均溫）、人口學（平均密度）都是這個數。

不等式與估計的重積分版#

例題 7.1.6：估計 \(\displaystyle\iint_D e^{-x^2 - y^2} dA\) （ \(D\) 為半徑 1 圓盤）的範圍。

解： \(D\) 上 \(e^{-1} \le e^{-x^2-y^2} \le 1\) ，故 \(e^{-1}\pi \le \iint \le \pi\) 。更精細：以 \(e^{-x^2-y^2} \le 1 - x^2 - y^2 + \frac{(x^2+y^2)^2}{2}\) （Taylor）：

\[ \iint_D \le \int_0^{2\pi}\int_0^1 \left(1 - r^2 + \frac{r^4}{2}\right) r\,dr\,d\theta = 2\pi\left(\frac12 - \frac14 + \frac{1}{12}\right) = \frac{5\pi}{6}. \]

真值 \(\pi(1 - e^{-1}) \approx 1.986\) （7.2 節將精確計算），上界 \(\frac{5\pi}{6} \approx 2.618\) ，下界 \(e^{-1}\pi \approx 1.156\) ——階梯式收緊，技術與 3.3、4.3 節一致。

歷史前因後果#

  • 前因：Kepler 1615 酒桶體積（用無窮薄片）；Cavalieri 原理（截面比較）；Newton《原理》中的旋轉體；十八世紀 Euler、Lagrange 大量操作重積分（流體、天體力學）。
  • 提出：Cauchy 1823 定義累次積分；Riemann 1854 的定義直接推廣到多變數；Fubini 1907 與 Tonelli 1909（非負函數不需先驗可積即可換序）完成嚴格理論；Lebesgue 1902 的測度論使「區域面積」本身獲得嚴格定義。
  • 解決了什麼：體積、質量、慣量、機率的計算體系；偏微分方程（分離變數後的係數積分）的計算基礎。
  • 引發新問題：任意區域的「面積」如何定義（測度論）、換序條件、曲線座標下的換元（7.2 節）、高維廣義積分（ \(\mathbb{R}^n\) 上的 Gauss 積分 \(\int_{\mathbb{R}^n} e^{-|x|^2} = \pi^{n/2}\) ，統計力學的配分函數）。

與其他章節及領域的關聯#

  • 7.2 節：極座標、球座標換元與 Jacobian 行列式——重積分計算的主力技術。
  • 7.3 節：質心、轉動慣量——重積分的物理使命。
  • 8.3 節：Green 定理把二重積分與線積分聯繫；Fubini 思想在證明中出現。
  • 9.1 節：曲面積分中的投影法（ \(dS = \frac{dA}{|\cos\gamma|}\) ）本質是把曲面積分化為平面二重積分。
  • 10.2 節：Fubini–Tonelli 定理的測度論形式； \(L^p\) 空間的乘積測度。
  • 機率論：聯合分布 \(P((X,Y) \in D) = \iint_D p\,dA\) ；邊際分布 = 對另一變數積分（Fubini）；獨立性 = 密度可分解。
  • 計算機圖形學：體渲染、光線積分（Monte Carlo 重積分）；PDE 有限元素法的單元積分。

練習#

  1. 計算 \(\displaystyle\iint_D xy\,dA\) ， \(D\) 是頂點 \((0,0), (1,0), (0,2)\) 的三角形。
  2. 交換次序並計算 \(\displaystyle\int_0^1 \int_y^1 \sin(x^2)\,dx\,dy\) 。
  3. 計算椭圓 \(x = 2\cos t\) 、 \(y = 3\sin t\) 所圍面積（用 \(\iint 1\,dA\) 與廣義極座標，或先積 \(y\) ： \(\int_{-2}^{2} 2\cdot 3\sqrt{1 - x^2/4}\,dx\) ）。
  4. 求 \(z = xy\) 平面在 \([0,1]^2\) 上方、 \(z = 0\) 下方圍成的立體體積（注意 \(xy \ge 0\) 於此域）。
  5. 計算 \(\displaystyle\iiint_E (x + y + z)\,dV\) ， \(E\) 為由座標平面與 \(x + y + z = 1\) 圍成的四面體。
  6. 思考題：構造 \([0,1]^2\) 上的函數使兩個累次積分存在但不相等（參考 \(\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\) 並檢驗原點的奇性）。這個現象在 Lebesgue 積分下為何消失？聯繫 Tonelli 定理（非負則可換序）。

（本節完）