7.2 座標變換與 Jacobian 行列式#

導言#

圓域上的積分用直角座標會陷入 \(\sqrt{a^2 - x^2}\) 的泥沼；球體上的積分同樣。解法是換座標：極座標、柱座標、球座標——本質上是「用一組更貼合對稱性的座標描述區域」。但換座標時， \(dA\) 變成什麼？答案是 Jacobian 行列式：座標變換對微小面積/體積的縮放因子。本節建立這套機器，它是重積分計算的核心技術，也是廣義相對論中「彎曲時空中的測量」的數學先聲。

為什麼 \(dA\) 會變：極座標的示範#

極座標： \(x = r\cos\theta\) 、 \(y = r\sin\theta\) 。考慮「座標網格小片」： \(r\) 從 \(r\) 到 \(r + \Delta r\) 、 \(\theta\) 從 \(\theta\) 到 \(\theta + \Delta\theta\) 圍出的小扇環。它的兩邊長約為 \(\Delta r\) （徑向）與 \(r\Delta\theta\) （周向，**注意因子 \(r\) **），夾角近直角，故

\[ \Delta A \approx r\,\Delta r\,\Delta\theta \implies dA = r\,dr\,d\theta. \]

那個 \(r\) 不是魔術，是幾何：離原點越遠，同樣的角增量掃過的弧長越長。這個縮放因子就是 Jacobian 行列式 \(|\det J| = r\) 。

驗證範例：單位圓面積 \(\displaystyle\int_0^{2\pi}\int_0^1 r\,dr\,d\theta = 2\pi \cdot \frac12 = \pi\) 。✓

一般座標變換的 Jacobian#

設定：變換 \(T: (u, v) \mapsto (x, y)\) ， \(x = x(u,v)\) 、 \(y = y(u,v)\) ， \(C^1\) 且 \(\det J \neq 0\) （局部可逆，6.2 節反函數定理）。

定理 7.2.1（換元公式）： \(D = T(S)\) ， \(f\) 連續，則

\[ \iint_D f(x, y)\,dA = \iint_S f\big(x(u,v), y(u,v)\big)\,\left|\det J_T(u,v)\right|\,du\,dv, \]

其中

\[ J_T = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix}. \]

證明思想： \(u v\) 網格的小片在 \(T\) 下的像是平行四邊形，其邊向量正是 \(T_u\,\Delta u\) 與 \(T_v\,\Delta v\) （偏導數向量），面積 = \(|T_u \times T_v|\,\Delta u\,\Delta v\) 。而平面叉積的模：

\[ |T_u \times T_v| = \left|\det\begin{pmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{pmatrix}\right| = |\det J|. \]

Riemann 和逐項換元即得。三維版： \(\Delta V \approx |\det J|\,\Delta u\,\Delta v\,\Delta w\) ， \(J\) 是 \(3\times3\) 偏導矩陣的行列式——幾何上，平行六面體體積 = 三個邊向量的混合積 = 行列式。

一維對照： \(\int f(x)dx\) ， \(x = g(u)\) ： \(dx = g'(u)du\) —— \(|g'|\) 正是一維 Jacobian。「 \(\frac{dx}{du}\) 是縮放因子」這件事在所有維度成立，只是高維用行列式度量各方向的聯合縮放。

標準座標系統速查表#

座標系	變換	Jacobian	適用對稱
極座標	\(x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta\)	\(r\)	圓、環、扇形
柱座標	\(x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ z = z\)	\(r\)	圓柱、旋轉體
球座標	\(x = \rho\sin\phi\cos\theta,\ y = \rho\sin\phi\sin\theta,\ z = \rho\cos\phi\)	\(\rho^2\sin\phi\)	球、圓錐

（ \(\phi\) 為自 \(z\) 軸的極角； \(\rho^2 \sin\phi\) 的驗證見例題 7.2.4。）

座標系選擇原則：讓區域邊界變簡單 + 讓被積函數變簡單。含 \(x^2 + y^2\) 的被積函數與圓形邊界 → 極座標；含 \(x^2 + y^2 + z^2\) → 球座標；「繞軸旋轉」的區域 → 柱座標。

例題一：Gauss 積分的極座標妙解#

例題 7.2.2：計算 \(\displaystyle I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx\) 。

解：考慮平方：

\[ I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx \cdot \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}dy = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dA. \]

換極座標： \(dA = r\,dr\,d\theta\) ， \(x^2 + y^2 = r^2\) ：

\[ I^2 = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}\,r\,dr\,d\theta = 2\pi \left[-\frac{e^{-r^2}}{2}\right]_0^\infty = \pi. \]

故 \(I = \sqrt\pi\) 。歷史：此積分由 Laplace（1774，1778 發表）與 Gauss 完整解決，是機率論的基石——常態分布 \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\) 的歸一化常數 \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\) 正來自 \(\int e^{-x^2} = \sqrt\pi\) 。方法論亮點：一維積不出來的積分，平方後成為二維、極座標下一行解決——升維而後解是重積分理論的哲學瑰寶。

例題二：球座標與球體積#

例題 7.2.3：用球座標計算半徑 \(R\) 球的體積。

解： \(\rho\) 從 0 到 \(R\) 、 \(\phi\) 從 0 到 \(\pi\) 、 \(\theta\) 從 0 到 \(2\pi\) ：

\[ V = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^{R} \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta = 2\pi \cdot \left[\frac{\rho^3}{3}\right]_0^R \cdot \big[-\cos\phi\big]_0^\pi = 2\pi \cdot \frac{R^3}{3} \cdot 2 = \frac43 \pi R^3. \qquad\blacksquare \]

這是 Archimedes 以窮竭法辛苦建立、Cavalieri 用不可分量巧妙論證的結果——球座標下一行完成。Jacobian 的幾何： \(\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\) 中， \(d\rho\) （徑向）、 \(\rho\,d\phi\) （經向弧長）、 \(\rho\sin\phi\,d\theta\) （緯向弧長，注意**緯度因子 \(\sin\phi\) **）——高緯度處同樣經度差掃過的距離更短，這正是地球上經線在高緯聚攏的原因，也是 9.1 節球面面積元 \(R^2\sin\phi\,d\phi\,d\theta\) 的來源。

例題三：Jacobian 行列式的直接計算#

例題 7.2.4：驗證球座標的 Jacobian 為 \(\rho^2\sin\phi\) 。

解：

\[ J = \det\begin{pmatrix} \sin\phi\cos\theta & \rho\cos\phi\cos\theta & -\rho\sin\phi\sin\theta \\ \sin\phi\sin\theta & \rho\cos\phi\sin\theta & \rho\sin\phi\cos\theta \\ \cos\phi & -\rho\sin\phi & 0 \end{pmatrix}. \]

按第三列展開（兩個 \(2\times2\) 子式），計算得

\[ J = \rho^2 \sin^3\phi\cos^2\theta + \rho^2 \sin^3\phi \sin^2\theta = \rho^2\sin\phi. \qquad\blacksquare \]

一般檢查法：變換正交時（ \(\rho, \phi, \theta\) 的單位坐標向量兩兩垂直）， \(|\det J| = |h_1 h_2 h_3|\) （尺度因子之積）——球座標尺度因子為 \(h_\rho = 1\) 、 \(h_\phi = \rho\) 、 \(h_\theta = \rho\sin\phi\) 。這一觀點推廣為正交曲線座標的一般理論（Lamé 係數），電磁學與彈性力學的球/柱座標計算全賴於此。

非標準變換：策略性換元#

例題 7.2.5：計算 \(\displaystyle\iint_D (x + y)^2 e^{(x-y)^2}\,dA\) ， \(D\) 是頂點 \((0,0), (1,1), (2,0), (1,-1)\) 的菱形。

解：被積函數只含 \(x + y\) 與 \(x - y\) ——順應它！令

\[ u = x + y, \qquad v = x - y \quad\Longleftrightarrow\quad x = \frac{u+v}{2},\ y = \frac{u - v}{2}. \]

Jacobian：

\[ \det J = \det\begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix} = -\frac12, \qquad |\det J| = \frac12. \]

區域： \(D\) 的四頂點對應 \(u = x+y \in \{0, 2\}\) 、 \(v = x - y \in \{-1, 1\}\) ：變為矩形 \([0,2] \times [-1, 1]\) 。又 \(x+y = u\) 、 \(x - y = v\) ：

\[ \iint_D = \int_{-1}^{1}\int_0^2 u^2 e^{v^2}\cdot\frac12\,du\,dv = \frac12 \cdot \frac83 \cdot \int_{-1}^1 e^{v^2}dv. \]

（ \(\int e^{v^2}\) 無初等原函數——本題若要求數值，用 Gauss 求積即可；換元至少把「二維複雜域」化為「矩形域上的可分離積分」。）

策略總結：讀被積函數的「變數組合」（ \(x+y\) 、 \(x^2+y^2\) 、 \(xy\) ），選對應新座標；Jacobian 的計算是固定開銷，收益是區域與函數的雙重簡化。

換元的三個理論要點#

單射性：變換在區域內部須為一對一（否則會重複計數）。極座標在原點 \(\det J = r = 0\) 退化為一點——但單點面積為零，不影響積分（可積性理論保證「零測集上的病態無關緊要」）。
** \(\det J\) 可以變號嗎：換元公式取 \(|\det J|\) ；若變換保持定向（ \(\det J > 0\) 處處），可去掉絕對值。定向概念在 8.2、9.1 節（線積分、曲面積分的方向性）成為主角——Jacobi 1841 年引入的符號正是「定向」的代數刻畫**。
局部性：換元只需局部可逆（ \(\det J \neq 0\) ）；全域可逆非必需——分塊覆蓋即可（流形理論「圖卡」的思想）。

歷史前因後果#

前因：Euler 與 Lagrange 在力學（廣義座標）與天體力學中變換座標；Legendre 與 Gauss 對行列式的系統研究（「行列式」一名 Cauchy 1812 首用，Gauss 1801 對二次型的判別式）。
提出：Carl Gustav Jacob Jacobi（1804–1851） 1841 年《論行列式的形成與性質》系統建立 Jacobian 行列式理論，將座標變換、隱函數、積分換元織成一體。
解決了什麼：圓/球對稱問題的計算（Gauss 積分、球體積、質心與慣量）；偏微分方程分離變數的座標準備。
引發新問題：什麼樣的變換「保持物理」？→ 張量分析（Ricci、Levi-Civita 1900）、廣義協變性（Einstein 1915）：物理定律在任意光滑座標變換下形式不變——Jacobian 是這條思想的代數起點。

與其他章節及領域的關聯#

6.2 節：Jacobian 矩陣（線性近似）與本節行列式（體積縮放）是同一物件的兩種讀法；鏈鎖律 \(\det(AB) = \det A \det B\) 對應變換的複合。
7.3 節：質心與轉動慣量的計算全部依賴座標選擇——好的座標讓對稱性直接給出答案。
9.1 節：球面面積元 \(R^2\sin\phi\,d\phi\,d\theta\) 是球座標 Jacobian 在 \(\rho = R\) 固定時的剩餘部分。
10.2 節：Lebesgue 積分下的換元定理（Radon–Nikodym 導數觀點：新測度 = \(|\det J|\times\) 舊測度）。
機率論：隨機變數變換的密度公式 \(p_Y(y) = p_X(g^{-1}(y))\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|\) ；多維 Normalizing Flow；Gauss 積分給出常態分布。
統計力學：相空間積分 \(\int e^{-\beta H(q,p)}\,dq\,dp\) ，配分函數；球座標處理位勢問題。
廣義相對論：體積元 \(\sqrt{|g|}\,d^4x\) （ \(g\) 為度規行列式）——Jacobian 思想的終極推廣：在彎曲時空中，座標網格的縮放由度規決定。

練習#

用極座標計算 \(\displaystyle\iint_D e^{x^2+y^2}\,dA\) ， \(D\) 為半徑 1 與 2 之間的圓環。
計算 \(\displaystyle\iiint_E z\,dV\) ， \(E\) 為柱座標下 \(0 \le r \le 2\) 、 \(0 \le z \le 9 - r^2\) 的區域。
用球座標計算 \(\displaystyle\iiint_E (x^2 + y^2 + z^2)\,dV\) ， \(E\) 為半徑 \(a\) 的球。
求變換 \(u = x^2 - y^2\) 、 \(v = 2xy\) 的 Jacobian，並說明它與複變函數 \(w = z^2\) 的關係（ \(|\det J| = 4|z|^2\) ，解析函數的共形性質預告複分析的世界）。
用換元 \(x = \frac{u}{u+v}\) 、 \(y = \frac{v}{u+v}\) 計算 \(\displaystyle\int_0^1\int_0^{1-x} \frac{dx\,dy}{(x+y)^3}\) （提示：先寫出逆變換與 Jacobian）。
思考題：證明 \(n\) 維球 \(|x| \le R\) 的體積 \(V_n = \frac{\pi^{n/2}R^n}{\Gamma(\frac n2 + 1)}\) （提示：Gauss 積分 \(\int_{\mathbb{R}^n} e^{-|x|^2}dx = \pi^{n/2}\) 拆成球座標半徑積分 + \(V_n\) ；再對 \(\beta\) 參數微分技巧或直接遞推）。討論 \(n \to \infty\) 時 \(V_n\) 的行為與「維度災難」的直觀聯繫。

（本節完）