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8.3 Green 定理#

導言#

一維的基本定理把「內部導數的積分」換成「邊界的函數值」。二維有沒有對應物？George Green（1793–1841） 1828 年自費出版的小冊子《電磁理論的數學分析》給出答案（Cauchy 1846、Riemann 1851 也獨立得到；俄語文獻稱 Ostrogradsky 定理）：區域內部「旋度」的積分 = 邊界上的環量。這是高維微積分基本定理的第一個完整形態，把 8.2 節的保守場理論與 9.2、9.3 節的兩大定理串成一族。

定理的敘述#

定理 8.3.1（Green 定理）：設 \(D\) 是平面上的閉有界區域，邊界 \(\partial D\) 為分段光滑的簡單閉曲線，取正向（逆時針，使 \(D\) 在左側）。若 \(P, Q\) 有連續偏導，則

\[ \oint_{\partial D} P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA. \]

兩種讀法：

  1. 切向形式： \(\oint \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint (\nabla\times\mathbf{F})\,dA\) ——環量 = 旋度的總和。內部每一小塊的「微渦旋」加起來，內部相鄰邊的貢獻互相抵消，只剩外邊界——這是定理的靈魂圖像。
  2. 法向形式（散度定理的二維版）：令 \((P, Q) = (-Q_1, P_1)\) ，得
\[ \oint_{\partial D} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds = \iint_D \left(\frac{\partial P_1}{\partial x} + \frac{\partial Q_1}{\partial y}\right) dA = \iint_D \nabla\cdot\mathbf{F}\,dA, \]

——通量 = 散度的總和：流出邊界的總量 = 內部產生（源匯）的總量。

例題一：用 Green 定理簡化環量#

例題 8.3.2：計算 \(\displaystyle\oint_C \left(x^2 y\,dx + y^3\,dy\right)\) ， \(C\) 為半徑 1 圓（逆時針）。

解： \(P = x^2 y\) 、 \(Q = y^3\) ：

\[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0 - x^2 = -x^2. \]
\[ \oint_C = \iint_D (-x^2)\,dA = -\int_0^{2\pi}\int_0^1 (r^2\cos^2\theta)\,r\,dr\,d\theta = -\pi\cdot\frac14 = -\frac{\pi}{4}. \qquad\blacksquare \]

直接參數化圓也能算（ \(\int \cos^2 t \sin t\,dt\) 等較繁）；Green 定理把線積分化為一次極座標積分。選型原則：被積函數簡單而邊界複雜 → 用 Green；反之（內部奇點、區域難描述）→ 直接參數化。

例題二：面積公式——Green 定理的優雅副產品#

定理 8.3.3（平面面積的線積分公式）：取 \(P = -y\) 、 \(Q = 0\) （或 \(P=0, Q=x\) ，或平均值 \(P = -\frac y2, Q = \frac x2\) ）：

\[ \operatorname{Area}(D) = \oint_{\partial D} x\,dy = -\oint_{\partial D} y\,dx = \frac12 \oint_{\partial D} (x\,dy - y\,dx). \]

例題 8.3.4：用上式求椭圓 \(x = a\cos t\) 、 \(y = b\sin t\) （ \(0 \le t \le 2\pi\) ）的面積。

解： \(dx = -a\sin t\,dt\) 、 \(dy = b\cos t\,dt\) ：

\[ A = \frac12\int_0^{2\pi} \big(a\cos t \cdot b\cos t - b\sin t\cdot(-a\sin t)\big)dt = \frac12 ab\int_0^{2\pi} 1\,dt = \pi ab. \qquad\blacksquare \]

實用之處：數字化輪廓的面積——掃描儀沿多邊形/曲線的頂點序列，用 shoelace（鞋帶）公式 \(\frac12\sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\) （正是線積分的離散化）即刻算出面積，GIS、CAD、電腦圖形學的標準操作。

多重邊界與「洞」的處理#

若 \(D\) 有洞（如圓環），正向邊界 = 外邊界逆時針 + 內洞順時針（區域總在左手邊）。挖洞法：函數在洞上有奇點時，用內外邊界之間的「甜甜圈」區域套 Green：

\[ \oint_{\text{外}} = \oint_{\text{內}} + \iint_{\text{環}}(\text{旋度})\,dA. \]

範例：8.2 節的渦旋角場 \(\mathbf{F} = \frac{(-y, x)}{x^2 + y^2}\) ：在去掉原點的環形域上旋度為零，故

\[ \oint_{\text{外圓}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \oint_{\text{內圓}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 2\pi \]

——環量與半徑無關，全部來自中心的奇點。這定量展示了 8.2 節「單連通性失效」的後果：環量的「量子」 \(2\pi\) 被中心奇點持有。拓撲荷、量子化磁通（超導）、螺線管外磁場的 Aharonov–Bohm 效應，都是這個數學結構的物理化身。

Green 定理的證明骨架（一塊積木式）#

證明（簡單情形， \(x\) -簡單域 \(D\) ）：證兩半：

\[ \oint_{\partial D} P\,dx = -\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,dA, \qquad \oint_{\partial D} Q\,dy = \iint_D \frac{\partial Q}{\partial x}\,dA. \]

第一半： \(D = \{(x,y): \phi_1(x) \le y \le \phi_2(x)\}\) ，直接計算右邊：

\[ \iint_D \frac{\partial P}{\partial y} dA = \int_a^b \big[P(x, \phi_2(x)) - P(x, \phi_1(x))\big] dx. \]

左邊：邊界分下曲線（右行）、上曲線（左行）兩段， \(\oint P\,dx = \int_a^b P(x,\phi_1)\,dx - \int_a^b P(x,\phi_2)\,dx\) ——兩式相等。 \(\blacksquare\)

一般區域：切成 \(x\) -簡單與 \(y\) -簡單塊之和，公共邊貢獻相消（可加性 + 定向）。歷史：Green 1828 年的自費小冊子以勢論（用於電學）為主題，幾乎無人問津，直到 Kelvin 1845 年發現並推廣它（Green 函數、Green 定理之名由此）；Green 是磨坊主人自學成才（只受過一年正式教育），他的「位勢函數」思想領先物理學數十年。

保守場理論的完成#

Green 定理補上 8.2 節定理的關鍵一環 (3)⇒(4)⇒(1)：

  • (3)⇒(4)：若所有閉路積分為零，任取點 \(\mathbf{a}\) 與微小矩形， \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\) 若在某點非零，則其小鄰域上的積分（Green）非零，可縮成小閉路——矛盾；
  • (4)⇒(1)（單連通）：對任意閉路 \(C\) ，因 \(D\) 單連通， \(C\) 所圍區域 \(S \subset D\) ，Green 定理給 \(\oint_C = \iint_S \nabla\times\mathbf{F} = 0\) 。

位勢理論與 Laplace 方程：由 Green 定理導出分部積分的二維版（Green 恆等式）：

\[ \iint_D (u\nabla^2 v - v \nabla^2 u)\,dA = \oint_{\partial D} \left(u\frac{\partial v}{\partial n} - v\frac{\partial u}{\partial n}\right) ds. \]

這是位勢論（Laplace 方程 \(\nabla^2 u = 0\) 的邊值問題）、Green 函數法（點源響應函數，PDE 理論的核心工具，量子場論的傳播子）的起點——Green 1828 年小冊子的主題正是這個。

應用：平面流體與電磁學速寫#

  • 不可壓縮流： \(\nabla\cdot\mathbf{v} = 0\) \(\Rightarrow\) 任意閉曲線的淨通量為零（法向形式）——流入 = 流出；
  • 無旋流： \(\nabla\times\mathbf{v} = 0\) 且單連通 \(\Rightarrow\) 速度有位勢 \(\mathbf{v} = \nabla\phi\) ，且 \(\phi\) 調和（ \(\nabla^2\phi = 0\) ）——機翼繞流理論（Kutta–Joukowski 升力定理用環量 \(\Gamma = \oint \mathbf{v}\cdot d\mathbf{r}\) 表示升力 \(L = \rho v \Gamma\) ）；
  • 靜電 Gauss 定律二維版： \(\oint \mathbf{E}\cdot\mathbf{n}\,ds = \frac{Q_{\text{內}}}{\varepsilon_0}\) ——線電荷的電場 \(\propto \frac{1}{r}\) （二維放射），與三維 \(\frac{1}{r^2}\) （9.2 節）形成維度對照；
  • 平面區域的形心： \(A\bar x = \iint_D x\,dA = \frac12\oint (x^2\,dy)\) 型公式（由 Green 翻轉），是 7.3 節形心計算的線積分速算法。

歷史前因後果#

  • 前因：Cauchy 1825 複積分定理（解析函數閉路積分為零）與 Green 定理同構；Ampère 1826 的電磁環量定律是物理前身。
  • 提出：Green 1828；Cauchy 1846（平面形式）；Riemann 1851（複分析框架）；Ostrogradsky 1831（俄文傳統）。
  • 解決了什麼：二維場論的積分—微分橋樑；位勢邊值問題的系統方法（Green 函數）；複分析與實分析的深度連接。
  • 引發新問題：高維推廣（9.2 Gauss、9.3 Stokes）；帶洞區域的拓撲不變量（環量守恆 → de Rham 上同調，數學家 Cartan、Whitney 1930s 完成）；奇點的「荷」（指數定理、Poincaré–Hopf）。

與其他章節及領域的關聯#

  • 4.2 節：Green 定理是 FTC 的高維近親——「內部微分 ↔ 邊界積分」哲學的第二站。
  • 8.2 節：保守場等價條件的證明引擎；渦旋角場的定量解剖。
  • 9.2 節：Gauss 定理（散度定理）是法向形式的立體推廣；9.3 節 Stokes 定理是切向形式的立體推廣。
  • 10.3 節：Maxwell 方程組的積分形式（Ampère、Faraday）在微分形式下由 Green/Stokes 一族定理統一。
  • 複分析：Cauchy 積分定理 = Green 定理 + Cauchy–Riemann 方程；留數定理是「洞中的奇點荷」理論。
  • 微分幾何： \(\oint P\,dx + Q\,dy = \iint d(P\,dx + Q\,dy)\) （外微分 \(d\omega\) ）——廣義 Stokes 定理 \(\int_{\partial M}\omega = \int_M d\omega\) 的二維特例。
  • 計算機科學：shoelace 面積公式、掃描線演算法、路徑積分的離散化；機器學習中的 normalizing flow 對數 Jacobian 與「面積守恆」變換。

練習#

  1. 用 Green 定理計算 \(\displaystyle\oint_C (3y\,dx + 2x\,dy)\) ， \(C\) 為頂點 \((0,0), (2,0), (0,4)\) 的三角形（正向）。
  2. 用面積公式計算心臟線 \(r = 1 + \cos\theta\) 圍成的面積（參數化 \(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta\) 代入線積分）。
  3. 驗證 Green 定理對 \(\mathbf{F} = (x^2, xy)\) 與正方形 \([0,1]^2\) 成立（兩邊都直接算）。
  4. 計算 \(\displaystyle\oint_C \frac{-y\,dx + x\,dy}{x^2 + y^2}\) ， \(C\) 為不繞原點的任意閉曲線，並解釋與繞原點情形的差別。
  5. 用 Green 定理（切向形式）證明：若 \(\mathbf{F}\) 在單連通域無旋，則任何閉路積分為零——補完 8.2 節的等價鏈。
  6. 思考題：Galperin 檯球法用完全彈性碰撞「計算」 \(\pi\) （碰撞次數給出 \(\pi\) 的各位數字）。查閱其幾何：質點在「楔形相空間」的反彈軌跡，面積展開係數是 \(\sin\theta\) 的小角度展開。用 Green 定理/面積公式寫出相空間三角形的面積，解釋 \(\pi\) 從何而來。

（本節完）