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9.1 曲面積分#

導言#

風吹過一面帆，每秒通過多少空氣？雨落在半球形屋頂，總水量多少？這些是曲面積分（surface integral）：沿二維曲面（而非一維曲線）對向量場或純量函數求和。本節建立曲面參數化、面積微元與兩類曲面積分——它們是 9.2 節 Gauss 定理與 9.3 節 Stokes 定理的語言基礎。

參數化曲面#

定義 9.1.1：曲面 \(S\) 由參數域 \(R \subset \mathbb{R}^2\) 上的映射給出：

\[ \mathbf{r}(u, v) = \big(x(u,v),\ y(u,v),\ z(u,v)\big), \qquad (u, v) \in R. \]

標準例子：

曲面 參數化 參數域
平面片 \(z = g(x, y)\) \(\mathbf{r}(x, y) = (x, y, g(x, y))\) 投影域
球面半徑 \(a\) \(\mathbf{r} = (a\sin\phi\cos\theta, a\sin\phi\sin\theta, a\cos\phi)\) \(\phi \in [0,\pi],\ \theta \in [0, 2\pi]\)
圓柱面半徑 \(a\) \(\mathbf{r} = (a\cos\theta, a\sin\theta, z)\) \(\theta \in [0, 2\pi],\ z \in [h_1, h_2]\)
螺旋面 \(\mathbf{r} = (v\cos u, v\sin u, cu)\) 梯域

切向量： \(\mathbf{r}_u = \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\) 、 \(\mathbf{r}_v = \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\) 張成切平面（6.2 節 Jacobian 的兩列）。當 \(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \neq \mathbf{0}\) ，參數化正則，曲面光滑。

面積微元與曲面面積#

面積微元： \(\mathbf{r}_u\,du\) 與 \(\mathbf{r}_v\,dv\) 張出的平行四邊形面積 \(= |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\,du\,dv\) ，故

\[ dS = |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\,du\,dv, \qquad \operatorname{Area}(S) = \iint_R |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\,du\,dv. \]

圖形投影公式：對 \(z = g(x, y)\) ：

\[ \mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_y = (-g_x, -g_y, 1) \implies dS = \sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2}\,dx\,dy. \]

幾何解讀： \(\sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2} = \dfrac{1}{|\cos\gamma|}\) （ \(\gamma\) 為法向與 \(z\) 軸夾角）——曲面越傾斜，同樣投影面積對應越大曲面面積。歷史：曲面的「最短線」（測地線）與面積問題由 Euler（1760 年曲面論）與 Meusnier（1776，曲率定理）開創；Gauss 1827 年《關於曲面的一般研究》確立參數化、第一基本形式（ \(E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2\) ，面積 \(\sqrt{EG - F^2}\,du\,dv\) 與 \(|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|\) 相等）——微積分基本形式是微分幾何的出生證明。

球面面積驗證：球座標下 \(|\mathbf{r}_\phi \times \mathbf{r}_\theta| = a^2\sin\phi\) （7.2 節 Jacobian 固定 \(\rho = a\) ）：

\[ \operatorname{Area} = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi a^2 \sin\phi\,d\phi\,d\theta = 4\pi a^2. \qquad\text{（Archimedes：球面積 = 大圓面積的 4 倍）} \]

法向量與曲面的定向#

曲面積分的關鍵裝備是法向量：

\[ \hat{\mathbf{n}} = \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v}{|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|}. \]

定向（orientation）：可定向曲面（球、環面）可以連續地選定法向場；交換 \(u, v\) 使法向翻轉。選擇慣例：

  • 閉曲面：外法向（「向外」）；
  • 圖形 \(z = g(x,y)\) ：上法向（ \(\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_y = (-g_x, -g_y, 1)\) ， \(z\) 分量為正）；
  • 不可定向曲面：Möbius 帶（1858 年 Listing 與 Möbius 獨立發現）——法向繞一圈翻轉，沒有一致的「外側」，通量積分對它沒有意義。這是拓撲學入侵分析的第一個警鐘。

第一類曲面積分（對面積）#

\[ \iint_S f\,dS = \iint_R f\big(\mathbf{r}(u,v)\big)\,|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\,du\,dv. \]

應用：曲面總質量（面密度 \(\rho\) ）、曲面電荷、曲面的質心與轉動慣量（7.3 節微元法的曲面版）。

例題 9.1.2：求半球面 \(z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}\) 的形心（均勻密度）。

解：對稱性 \(\bar x = \bar y = 0\) 。用圖形投影公式： \(g_x = -\frac{x}{z}\) ， \(g_y = -\frac{y}{z}\) ，

\[ dS = \sqrt{1 + \frac{x^2 + y^2}{z^2}}\,dx\,dy = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}\,dx\,dy = \frac{a}{z}\,dx\,dy. \]

於是

\[ \iint_S z\,dS = \iint_{x^2+y^2 \le a^2} z \cdot \frac{a}{z}\,dx\,dy = a\cdot\pi a^2 = \pi a^3. \]

總面積 \(2\pi a^2\) ，故 \(\bar z = \dfrac{\pi a^3}{2\pi a^2} = \dfrac{a}{2}\) ——半球形心在半高處。優雅之處： \(z\,dS\) 的 \(z\) 與 \(dS\) 的分母 \(z\) 相消，化為平面積分（這是 \(z\) -對稱量的通用技巧）。

第二類曲面積分（通量）#

定義 9.1.3：向量場 \(\mathbf{F}\) 穿過定向曲面 \(S\) 的通量：

\[ \Phi = \iint_S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS = \iint_R \mathbf{F}\big(\mathbf{r}(u,v)\big)\cdot\big(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\big)\,du\,dv. \]

物理意義：每秒穿過曲面的「流量」——微元上只有場的法向分量真正穿越（切向分量沿面滑動），所以取內積。具體場景：

  • 流體：體積流量 \(= \iint \mathbf{v}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS\) ；
  • 電場：電通量 \(\Phi_E = \iint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}\) （Gauss 定律的主角）；
  • 磁場：磁通量 \(\Phi_B\) （Faraday 感應 \(\varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt}\) 的主角）；
  • 淨流量（閉曲面外法向）： \(\oint\!\!\oint \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS\) ，正 = 內部有源。

計算策略表：

曲面類型 做法
圖形 \(z = g(x,y)\) \(\iint \left(-P g_x - Q g_y + R\right) dx\,dy\) （代入 \(\mathbf{F}\cdot(-g_x, -g_y, 1)\) ）
球面 球座標參數化；若 \(\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\) 簡化（放射場 \(= F_r\) ）直接積
閉曲面 + 9.2 節可用 換成散度的體積分
平面片 \(\hat{\mathbf{n}}\) 常向量，通量 = 法向分量 × 面積

例題 9.1.4：計算 \(\mathbf{F} = (x, y, z)\) 穿過半徑 \(a\) 球面的通量（外法向）。

解一（直接）： \(\hat{\mathbf{n}} = \dfrac{\mathbf{r}}{a}\) ， \(\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}} = \dfrac{x^2+y^2+z^2}{a} = a\) （球面上！）：

\[ \Phi = a \cdot \operatorname{Area} = a\cdot 4\pi a^2 = 4\pi a^3. \]

解二（體積元直覺）： \(\nabla\cdot\mathbf{F} = 3\) （常數）， \(3 \times \frac43\pi a^3 = 4\pi a^3\) ✓——這就是 Gauss 定理（9.2 節）的預演：通量 = 散度 × 體積。

例題 9.1.5（放射場的通量）： \(\mathbf{F} = \dfrac{\mathbf{r}}{r^3}\) 穿過半徑 \(a\) 球面：

\[ \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}} = \frac{1}{r^2} = \frac{1}{a^2} \implies \Phi = \frac{1}{a^2}\cdot 4\pi a^2 = 4\pi. \]

與半徑無關！任意包含原點的閉曲面通量都是 \(4\pi\) （Gauss 定理 + 除去奇點的環殼計算）。物理翻譯：點電荷電場通量 \(= \frac{q}{\varepsilon_0}\) ——Gauss 電學定律（8.1 節悖論的解答：源集中在原點，通量守恆地傳遞到任何包圍曲面）。

通量的守恆直覺與連續性方程#

考慮流體密度 \(\rho\) 、速度 \(\mathbf{v}\) 。任意區域的質量平衡：

\[ \underbrace{\frac{d}{dt}\iiint_D \rho\,dV}_{\text{內部質量變化}} = -\underbrace{\oiint_{\partial D} \rho\mathbf{v}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS}_{\text{流出的淨通量}}. \]

對固定區域用 9.2 節散度定理翻轉右邊，得連續性方程：

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho \mathbf{v}) = 0. \]

「局部守恆律 = 通量 + 散度」是現代物理寫守恆律的標準格式：電荷守恆（ \(\partial_t \rho + \nabla\cdot\mathbf{J} = 0\) ）、能量守恆、量子力學的機率守恆（Schrödinger 方程的推論）。積分觀點（通量）與微分觀點（散度）由面積分—體積分定理連接——這是 Gauss 定理最深刻的使用方式。

例題：通量積分的完整計算#

例題 9.1.6：計算 \(\mathbf{F} = (0, 0, z)\) 穿過圓柱面 \(x^2 + y^2 = 1\) （ \(0 \le z \le 1\) ）側面的通量，法向朝外。

解：圓柱參數化 \(\mathbf{r}(\theta, z) = (\cos\theta, \sin\theta, z)\) 。

\[ \mathbf{r}_\theta = (-\sin\theta, \cos\theta, 0), \qquad \mathbf{r}_z = (0, 0, 1), $$ $$ \mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_z = (\cos\theta, \sin\theta, 0) \quad (\text{指向外，正確定向}). \]
\[ \mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_z) = (0, 0, z)\cdot(\cos\theta, \sin\theta, 0) = 0. \]

側面通量 = 0（場垂直於法向—— \(z\) 向的場沿側面滑動）。核對（含上下蓋的閉柱面）：上蓋（ \(z=1\) ， \(\hat n = (0,0,1)\) ）通量 \(\iint z\,dA = \pi\) ；下蓋 \(z=0\) 通量 0；總通量 \(= \pi = \iiint \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV = 1 \times \pi\) ✓。閉曲面上的通量才守恆地反映源；開曲面的通量依賴於「蓋子」的選擇，除非散度為零（屆時通量只依賴邊界曲線——與 Stokes 定理呼應，9.3 節）。

歷史前因後果#

  • 前因：Euler 1760 曲面論；Gauss 1827《曲面的一般研究》（內蘊幾何的誕生）；流體力學的通量概念（Euler 方程 1757）。
  • 提出：Ostrogradsky（1826/1831 論文中的散度定理與通量語言）；Maxwell 1861–1873 以電通量、磁通量統一電磁學；Gibbs/Heaviside 1880s 的向量記號定型。
  • 解決了什麼：流體、電磁的「總量穿越」計算；守恆律的局部化（連續性方程）；Maxwell 方程組的積分形式（通量與環量的語言）。
  • 引發新問題：不可定向曲面（Möbius 1858）、「面積」的本體（參數化依賴？最小曲面的 Plateau 問題，Douglas–Radó 1930–31 解決）、曲面的內蘊幾何（Gauss 曲率只依賴第一基本形式——Theorema Egregium 1827，里奇曲率與廣義相對論的種子）。

與其他章節及領域的關聯#

  • 7.2 節：球座標 Jacobian \(\rho^2\sin\phi\) 固定 \(\rho\) 後給出面積元 \(a^2\sin\phi\,d\phi\,d\theta\) ——同一機器的兩種用途（體積 vs. 面積）。
  • 8.2 節：通量的「法向投影」思想與通量型線積分一脈相承；開曲面通量與邊界環量由 Stokes（9.3）連接。
  • 9.2 節：Gauss 散度定理把閉曲面通量換為體積分——本節大量例題的正式化。
  • 9.3 節：Stokes 定理連接曲面通量（旋度的通量）與邊界環量。
  • 7.3 節：曲面質心、慣量（殼體： \(I = \frac23 MR^2\) 的計算用本節工具）。
  • 微分幾何：第一基本形式、法叢、Gauss–Weingarten 方程；通量積分在黎曼流形上推廣為「微分形式的積分」。
  • 物理：Gauss 電/引力定律、Poynting 能流通量、輻射壓；天文：星等與光度 \(L = 4\pi r^2 F\) （球面通量守恆——為什麼光度可以用距離反推）。
  • 計算機圖形學：輻射度法與 PBR 渲染的通量/立體角積分；法向量插值（Gouraud/Phong）。

練習#

  1. 計算抛物面 \(z = x^2 + y^2\) （ \(z \le 4\) ）的面積。
  2. 求 \(\mathbf{F} = (y, -x, z)\) 穿過上半球面 \(z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}\) （上法向）的通量，並用「加底蓋成閉曲面」+ 散度定理核對。
  3. 計算 \(\mathbf{F} = \dfrac{\mathbf{r}}{r^3}\) 穿過不包含原點的閉曲面（如中心在 \((2,0,0)\) 半徑 1 的球）的通量，並解釋結果。
  4. 求圓柱側面（半徑 \(a\) 、高 \(h\) ）上均勻電荷的電場（利用對稱性 + Gauss 通量定律 \(\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = q/\varepsilon_0\) 的圓柱版）。
  5. 用參數化直接計算例題 9.1.4（ \(\mathbf{F} = (x,y,z)\) 球面通量）的完整球座標積分，與快捷法核對。
  6. 思考題：Möbius 帶上無法定義一致的通量。構造一個「穿過 Möbius 帶的通量」明顯依賴於走法（覆蓋次數）的例子（提示：放射場與帶的交疊），並討論這對「物理通量需要可定向曲面」的必要性意味著什麼。

（本節完）