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9.2 散度與 Gauss 定理#

導言#

一個區域內「生產」了多少流量，應該恰好等於從邊界「流出」了多少——這是守恆的幾何表述。Gauss 散度定理（Ostrogradsky–Gauss 定理）把這個直覺鑄成等式：向量場穿過閉曲面的通量 = 散度在體內的積分。它是 8.3 節 Green 定理法向形式的立體版，是流體力學、電磁學、熱傳導的守恆律基石。

散度：逐點的「源強度」#

定義 9.2.1： \(\mathbf{F} = (P, Q, R)\) 的散度：

\[ \nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}. \]

極限定義（更根本）：取包含點 \(\mathbf{x}\) 的小球 \(B_\varepsilon\) ：

\[ \nabla\cdot\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\operatorname{Vol}(B_\varepsilon)} \oiint_{\partial B_\varepsilon} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS. \]

散度 = 單位體積的淨流出通量——它不依賴座標（儘管公式看起來依賴），因為通量是幾何量。這也解釋了為什麼 \(\nabla\cdot\) 算子「形如內積」： \(\nabla = (\partial_x, \partial_y, \partial_z)\) 與 \(\mathbf{F}\) 的點積，只是形式巧合（卻是有用的記憶法與代數操作法）。

例子：

場 散度 流動圖景
\(\mathbf{F} = (x, y, z)\) \(3\) 均勻膨脹（源處處等強）
\(\mathbf{F} = (-y, x, 0)\) \(0\) 剛體旋轉，不可壓縮
\(\mathbf{F} = \dfrac{\mathbf{r}}{r^3}\) \(0\) （ \(r\ne0\) ） 點源場——源集中在原點
\(\mathbf{F} = \nabla f\) \(\nabla^2 f\) （Laplacian） 位勢流的源 = 調和算子

最後一行深刻：散度作用在梯度場上就是 Laplacian \(\nabla^2 f = f_{xx} + f_{yy} + f_{zz}\) ——熱方程 \(u_t = k\nabla^2 u\) 、波動的位勢、薛丁格方程的動能項，都是這個組合。

Gauss 定理#

定理 9.2.2（散度定理）：設 \(E\) 是由分段光滑閉曲面 \(\partial E\) 圍成的立體（外法向）， \(\mathbf{F}\) 有連續偏導，則

\[ \oiint_{\partial E} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV. \]

證明骨架（與 Green 定理同一哲學）：

  1. 基本方塊：對長方體 \([a,a+h]\times[b,b+k]\times[c,c+l]\) ，直接計算六面通量。 \(x\) 方向兩面： \(\int_{[b,b+k]\times[c,c+l]}\big(P(a+h, y, z) - P(a, y, z)\big)dy\,dz \approx \int\int \frac{\partial P}{\partial x}\,h\,dy\,dz\) （MVT），三方向相加恰為 \(\iiint \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV\) 的首階近似，誤差 \(o(h)\) 。
  2. 拼塊：一般區域切成小方塊，相鄰面的通量往返相消（內部面兩側法向相反、場相同），只剩外邊界。令方塊趨細即得。

相消的圖像：

歷史：Mikhail Ostrogradsky（1801–1862） 1826 年提交、1831 年發表的熱傳導論文中證明此定理（三維一般形式）；Gauss 在 1813 年（二次型研究）與 1839–40 年（電磁）的著作中出現特例與應用；Green 1828 的二維形式是先聲。命名在文獻中分流：俄語傳統稱 Ostrogradsky 定理，西方多稱 Gauss 定理。

例題一：用 Gauss 定理算通量#

例題 9.2.3：計算 \(\mathbf{F} = (x^3, y^3, z^3)\) 穿過單位球面的通量（外法向）。

解： \(\nabla\cdot\mathbf{F} = 3(x^2 + y^2 + z^2)\) ：

\[ \oiint_{\text{球}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_{r\le1} 3r^2\,dV = 3\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^1 r^2\cdot r^2\sin\phi\,dr\,d\phi\,d\theta = 3\cdot 4\pi\cdot\frac15 = \frac{12\pi}{5}. \qquad\blacksquare \]

直接在球面上積 \(\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}} = x^3\cos\theta\sin^2\phi + \cdots\) 需要艱苦的三角積分；散度定理把它換成一次徑向積分。選型原則：閉曲面 + 散度簡單 → Gauss；場在內部有奇點 → 挖洞（見下）。

例題二：點源場與 Gauss 電學定律#

例題 9.2.4： \(\mathbf{F} = \dfrac{\mathbf{r}}{r^3}\) （點源場）， \(E\) 為包含原點的區域。計算通量。

解：奇點在原點——不能直接用定理。挖洞：去除半徑 \(\delta\) 小球 \(B_\delta\) ，在環形域 \(E \setminus B_\delta\) 上（ \(\nabla\cdot\mathbf{F} = 0\) ）：

\[ \oiint_{\partial E} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} + \underbrace{\oiint_{\text{小球的內法向}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}}_{-\,4\pi} = \iiint 0\,dV = 0. \]

故 \(\displaystyle\oiint_{\partial E}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS = 4\pi\) ——與 \(E\) 的形狀無關（只要包住原點）。

物理：點電荷 \(\mathbf{E} = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\mathbf{r}}{r^3}\) ，通量 \(= \dfrac{q}{\varepsilon_0}\) ：

\[ \oiint_{\partial E} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{\text{內}}}{\varepsilon_0} \qquad (\textbf{Gauss 電學定律，積分形式}). \]

由散度定理，微分形式： \(\nabla\cdot\mathbf{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\) （ \(\rho\) 電荷密度）。積分形式 \(\leftrightarrow\) 微分形式由本定理互譯——Maxwell 方程組的每一條都有這兩種面孔：

Maxwell 方程 積分形式 微分形式
Gauss（電） \(\oiint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = Q/\varepsilon_0\) \(\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\)
Gauss（磁） \(\oiint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = 0\) \(\nabla\cdot\mathbf{B} = 0\)
Faraday \(\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{r} = -\frac{d\Phi_B}{dt}\) \(\nabla\times\mathbf{E} = -\partial_t\mathbf{B}\)
Ampère–Maxwell \(\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{r} = \mu_0(I + \varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt})\) \(\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\partial_t\mathbf{E}\)

Maxwell 1861 年的發現：Ampère 定律用於充電電容時矛盾（平板間無電流但磁場存在），他補上位移電流 \(\varepsilon_0\partial_t\mathbf{E}\) ——散度定理對「電流通量」的一致性要求逼出了這一項，進而推出電磁波方程 \(c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}\) （恰好是光速）——一個數學一致性修正預言了光就是電磁波。這是散度/環量定理在科學史上最輝煌的時刻。

例題三：靜電屏蔽與均勻球體的引力#

例題 9.2.5：用 Gauss 定理證明球殼定理（7.3 節的積分版證明升級）。

解：均勻球殼（面密度 \(\sigma\) ）產生的場 \(\mathbf{g}\) ，由球對稱性必有 \(\mathbf{g} = g(r)\hat{\mathbf{r}}\) 。取半徑 \(r\) 的同心球面：

\[ \oiint \mathbf{g}\cdot d\mathbf{S} = g(r)\cdot 4\pi r^2 = -4\pi G M_{\text{內}}(r), \]

其中 \(M_{\text{內}}(r) = 0\) （ \(r < R\) ，殼內）或 \(4\pi R^2\sigma\) （ \(r > R\) ）。故

\[ \mathbf{g} = \begin{cases} \mathbf{0}, & r < R \quad (\text{殼內無引力！}), \\ -\dfrac{GM}{r^2}\hat{\mathbf{r}}, & r > R \quad (\text{等價於點質量}). \end{cases} \]

對稱性 + 通量守恆，免積分直接讀出答案。要點：Gauss 定理只對「對稱性夠高」的問題直接給解（球、柱、平面），一般情況它提供的是等式而非解——但等式本身（守恆律）已是理論的一半。地球內部的重力分布（ \(g(r) \propto r\) 對均勻地球）、行星探測器的引力輔助計算，都以這條定理為日常工具。

散度定理的推論與延伸#

推論 1（開曲面通量的蓋子無關性）： \(S_1, S_2\) 有相同邊界曲線、同定向，則

\[ \iint_{S_1} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS - \iint_{S_2}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS = \iiint_{\text{夾層}} \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV, \]

故當 \(\nabla\cdot\mathbf{F} = 0\) 時通量只依賴於邊界線（磁場通量正是如此： \(\nabla\cdot\mathbf{B} = 0\) ，磁力線不終結於點，只能成閉環或伸向無窮——磁單極子不存在，Dirac 1931 年論證若有磁單極則電荷量子化）。

推論 2（Green 恆等式）：對兩純量場 \(u, v\) 逐次用散度定理於 \(\mathbf{F} = u\nabla v\) ：

\[ \iiint_E (u\nabla^2 v + \nabla u\cdot\nabla v)\,dV = \oiint_{\partial E} u\frac{\partial v}{\partial n}\,dS \quad (\textbf{Green 第一恆等式}). \]

應用——調和函數的最大值原理：若 \(\nabla^2 u = 0\) ，取 \(v = u\) ： \(\iiint |\nabla u|^2\,dV = \oiint u\,\partial_n u\,dS\) ；由此可證調和函數無內部極值、且邊值唯一決定內部（Dirichlet 問題解的唯一性）——PDE 理論的入門定理由散度定理免費奉送。

推論 3（平均性質）：調和函數在一點的值 = 任何包圍球面上的平均值——「場的無旋無源世界是平均主義的世界」。

流體的質量守恆（9.1 節連續性方程）在散度定理加持下的兩種視角：

  • Euler 觀點（場）： \(\partial_t\rho + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) = 0\) ；
  • 不可壓縮（ \(\rho\) 常數）： \(\nabla\cdot\mathbf{v} = 0\) ——速度場無源，通量對任何閉面為零。

Navier–Stokes 方程（1822 Navier、1845 Stokes）：

\[ \rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu\nabla^2\mathbf{v} + \rho\mathbf{g}, \]

其中 \(\mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v}\) （對流項）是高度非線性的根源——湍流的來源，也是 Clay 千禧年問題（Navier–Stokes 解的存在性與光滑性）的對象。散度定理在此是能量估計（乘 \(\mathbf{v}\) 積分）的第一工具——PDE 理論中「積分恆等式」方法的母型。

歷史前因後果#

  • 前因：Green 1828（二維）、Ostrogradsky 的熱學研究、Gauss 的位勢理論（1839–40，地磁測量的數學化）。
  • 提出：Ostrogradsky 1831 完整證明；二十世紀以微分形式語言統一（Cartan、1920s；廣義 Stokes 定理把 Green/Gauss/Stokes 收入一式）。
  • 解決了什麼：守恆律的局部化；靜電學與引力學的通量計算；PDE（調和函數）的積分方法。
  • 引發新問題：奇點與分布（ \(\delta\) 函數，10.2 節——把「點源散度為零卻有通量 \(4\pi\) 」的矛盾正式化為 \(\nabla\cdot\frac{\mathbf{r}}{r^3} = 4\pi\delta(\mathbf{r})\) ）；磁單極與電荷量子化；流形上的散度定理（微分幾何與廣義相對論的語言）。

與其他章節及領域的關聯#

  • 9.1 節：通量積分的定義與計算是本節的語言基礎。
  • 8.3 節：法向形式的 Green 定理是本定理的二維版。
  • 9.3 節：Stokes 定理是「另一面」——旋度通量與環量；兩者與 FTC、Green 統一於廣義 Stokes 定理。
  • 7.3 節：球殼定理的兩種證明（直接積分 vs. Gauss）對照——通量方法完勝。
  • 10.2 節： \(\delta\) 分布正式化「點源」；Sobolev 空間與弱導數是散度定理（分部積分）在弱意義下的家。
  • 物理：電磁學（Gauss、位移電流）、流體（不可壓縮條件）、熱學（熱流散度 = 溫度變化）、核物理（中子通量擴散方程）。
  • 工程：有限體積法（FVM）——CFD 把散度定理離散化，每個網格單元做通量平衡，是工程流體模擬（飛機、天氣預報）的骨幹演算法。
  • 微分幾何： \(\operatorname{div}\) 是餘微分 \(\delta\) 的黎曼幾何化身；Hodge 理論把「無旋無源」場的分類變成調和形式的拓撲。

練習#

  1. 用散度定理計算 \(\mathbf{F} = (xy, yz, zx)\) 穿過由 \(x + y + z = 1\) 與座標平面圍成的四面體的通量。
  2. 計算 \(\mathbf{F} = (x^2, -y, z^2)\) 穿過半徑 2 球面的通量，再直接在球面參數化下驗證（至少驗證對稱性簡化）。
  3. 用 Gauss 定理證明：若 \(\nabla\cdot\mathbf{F} = 0\) 且 \(\mathbf{F}\) 處處光滑（全域），則 \(\mathbf{F}\) 穿過任何閉曲面通量為零；並解釋 \(\frac{\mathbf{r}}{r^3}\) 為何不違反此結論。
  4. 用 Gauss 定律求無限長均勻帶電直線（線密度 \(\lambda\) ）的電場（提示：柱對稱 + 圓柱面 + 側面通量 \(E\cdot 2\pi r L\) ）。
  5. 由 Green 第一恆等式證明 Dirichlet 問題解的唯一性：若 \(\nabla^2 u = 0\) 、 \(u|_{\partial E} = 0\) ，則 \(u \equiv 0\) 。
  6. 思考題：把點源場寫成 \(\nabla\cdot\frac{\mathbf{r}}{r^3} = 4\pi\delta(\mathbf{r})\) 。查閱 Dirac \(\delta\) 分布的定義（對試探函數取值），驗證此式對任意以原點為中心的球面積分自洽。這個「分布意義下的散度」如何讓 9.1 節例題 9.1.5 的悖論（處處散度為零卻有通量）獲得嚴格解答？

（本節完）