1.1 從方程求根到群論：對稱性的數學語言（1832）#

前因：一個困擾數學家三百年的問題#

16 世紀，義大利代數學家解開了三次與四次方程（Cardano、Ferrari）。此後近三百年，數學家嘗試尋找五次方程的根式解，全部失敗。Abel（1824）證明五次一般方程沒有根式解，但「為什麼」仍是謎。

Galois（1832，死於決鬥前夜）給出了決定性的洞察：

方程能否根式求解，取決於其根之間的置換結構——而不是係數或次数本身。

定義（群）。 集合 \(G\) 配備二元運算 \(\cdot: G\times G \to G\) ，滿足：

Galois 給每個多項式 \(f\) 配上一個群：根的置換群（後稱 Galois 群 \(G_f\) ）。例如 \(x^2-2\) 的兩根 \(\pm\sqrt2\) 可互換， \(G_f \cong \mathbb{Z}/2\) 。

核心定理（Galois）。 \(f\) 可根式求解 \(\iff\) \(G_f\) 具有「可解群」的鏈狀結構。

\[\{e\} \triangleleft G_1 \triangleleft G_2 \triangleleft \cdots \triangleleft G_n = G_f,\quad G_i/G_{i-1}\ \text{皆為交換群}\]

五次一般方程的 Galois 群是 \(S_5\) ，其中含有單純群 \(A_5\) （不可再分解），因此不可解。

graph LR
    A[方程求根問題] --> B[觀察根的置換]
    B --> C[Galois 群]
    C --> D[群結構決定可解性]
    D --> E[群論誕生]
    E --> F[對稱性的普适數學語言]

幾何：Klein 的愛爾蘭根綱領（1872）用群定義幾何（第 8 章）。
物理：守恆律 \(\leftrightarrow\) 對稱群（Noether, 1918）；粒子物理的分類就是群表示論。
數論：Galois 群 \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\) 成為朗蘭茲綱領的一端（第 10 章）。
密碼學：有限體上的群運算支撐 RSA 與橢圓曲線密碼。

一個為了「解方程」而生的工具，最終成為整座數學建築的樑柱——這是本書第一個「危機驅動統一」的範例。