跳轉到

4.2 隨機過程與幾何：布朗運動、流形上的隨機漫步#

前因：花粉的舞步#

Brown（1827）觀察懸浮花粉的無規運動；Einstein（1905）由分子碰撞推導其統計律；Wiener（1923）在數學上構造出「處處連續、處處不可微」的隨機路徑——布朗運動 \(B_t\) 。它是隨機過程的「直線」，如同 \(\mathbb{R}\) 之於幾何。

構造：隨機過程作為「機率化的函數空間」#

定義（布朗運動）。 隨機過程 \(\{B_t\}_{t\ge 0}\) ：

  1. \(B_0 = 0\) ；
  2. 平穩獨立增量： \(B_t - B_s \sim N(0, t-s)\) ；
  3. 路徑 \(t \mapsto B_t\) 幾乎必然連續。

兩種對偶的觀點（預示 5.2 的「函數即點」）：

  • 時間軸觀點： \(t \mapsto B_t(\omega)\) 是 \(C[0,\infty)\) 空間中的一條路徑；
  • 空間軸觀點： \(\omega \mapsto (B_{t_1}, \ldots, B_{t_n})\) 給出高斯分佈——布朗運動的機率測度（Wiener 測度）就是路徑空間上的高斯測度。

隨機微積分： \(B_t\) 不可微，古典微積分失效。Itô（1944）定義

\[\int_0^T f(B_t)\, dB_t, \qquad d\langle B\rangle_t = dt\]

得到 Itô 公式 \(df(B_t) = f'(B_t)\,dB_t + \tfrac12 f''(B_t)\,dt\) ——多出的二階項正是「隨機性的曲率」。

馬可夫過程與偏微分方程的對偶（Feynman–Kac）：

\[\mathbb{E}[f(B_T)] = (e^{T\Delta/2} f)(0)\]

期望 = 熱傳導半群——機率（本節）與偏微分方程（3.3）是同一枚硬幣。

隨機過程遇上幾何#

  • 流形上的擴散：在黎曼流形 \((M, g)\) 上，Laplace–Beltrami 算子 \(\Delta_g\) 的半群生成布朗運動在 \(M\) 上行走；小時間極限下路徑只「看到」度量的局部（不依賴座標）——熱方程、譜（11.1）與隨機漫步三合一。
  • 幾何布朗運動： \(dS_t = \mu S_t\, dt + \sigma S_t\, dB_t\) ，Black–Scholes 定價的核心。
  • 隨機微分方程的解 = 流上的擴散：聯絡（8.4）決定平行輸運，隨機平行輸運給出 holonomy 的機率版本。

後果#

  1. 金融數學：Black–Scholes（1973）= 幾何布朗運動 + Itô + 對沖論證。
  2. 隨機幾何分析（Malliavin calculus）：把「路徑空間」當無窮維流形做微積分，反過來證明 Hörmander 定理（次橢圓性）。
  3. 量子場論：Feynman 路徑積分的嚴格化嘗試依賴 Wiener 測度（歐化後）。
  4. TDA 與機器學習（13 章）：資料上的隨機遊走定義了擴散距離與譜嵌入。

練習與思考#

  1. 用 Itô 公式計算 \(f(B_t) = B_t^2\) 的微分，驗證 \(\mathbb{E}[B_t^2] = t\) 。
  2. 為什麼流形上的布朗運動「不需要座標」就良定義？這與 2.3 的切空間有何關係？