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5.3 希爾伯特空間：內積、角度與正交幾何#

前因：給無窮維空間裝上歐氏幾何#

Hilbert 研究積分方程時使用的 \(\ell^2\) 空間，在 von Neumann（1927–1932）手中公理化為希爾伯特空間——保留了內積，也就保留了角度與正交。這是無窮維空間中與歐氏幾何最接近、性質最好的一層。

構造#

定義。 內積空間 \((H, \langle\cdot,\cdot\rangle)\) ：線性、對稱、正定；若誘導的 \(\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}\) 使 \(H\) 完備，則 \(H\) 為希爾伯特空間。例： \(\mathbb{C}^n\) 、 \(\ell^2\) 、 \(L^2[0,1]\) 。

三大支柱：

  1. Cauchy–Schwarz： \(|\langle x, y\rangle| \le \|x\|\|y\|\) （角度的基礎）。
  2. 正交投影：對閉凸子集 \(C\) ，任意 \(x\) 有唯一最近點 \(\mathrm{proj}_C(x)\) ——最佳化的幾何本質。
  3. Riesz 表示定理：每個連續線性泛函 \(f \in H^*\) 皆為 \(\langle \cdot, v\rangle\) ——** \(H\) 自對偶**。這是希爾伯特空間獨有的奢侈（一般巴拿赫空間 \(V^{**} \ne V\) ）。

正交基與譜定理：可分 \(H\) 有可數正交基 \(\{e_n\}\) （Parseval： \(\|x\|^2 = \sum |\langle x, e_n\rangle|^2\) ）。自伴算子的譜定理：

\[A = \int \lambda \, dE_\lambda\]

連續譜用投影值測度 \(E_\lambda\) 表達——矩陣對角化的完全推廣。量子力學中：狀態 = 希爾伯特空間的單位向量、可觀測量 = 自伴算子、測量值 = 譜中的實數、機率 = \(|\langle\psi, e_\lambda\rangle|^2\) 。

傅立葉分析 = 幾何： \(\{\mathrm{e}^{\mathrm{i}n x}\}\) 是 \(L^2\) 的正交基；傅立葉變換把訊號分解為正交分量——捲積定理、Plancherel 定理都是內積恒等式。

後果#

  1. 量子力學的數學基礎（von Neumann 1932）：物理與幾何在無窮維合流。
  2. 控制與濾波：Kalman 濾波 = 希爾伯特空間中的投影。
  3. 機器學習：RKHS 使「核方法」成為幾何（13.3）。
  4. 譜理論（11.1）與指數定理（11.2）的舞台。

練習與思考#

  1. 證明希爾伯特空間中， \(x\) 到閉子空間 \(M\) 的投影是 \(M\) 中唯一與 \(x - \mathrm{proj}\) 正交的向量。
  2. 為什麼 \(C[0,1]\) 配 sup 範數不是希爾伯特空間？（提示：平行四邊形恆等式。）