跳轉到

8.2 歐氏、仿射、射影與雙曲幾何的統一#

前因：四種幾何，一個家族#

8.1 的綱領如何具體統一各家幾何？關鍵是射影幾何作為母體：在射影平面 \(\mathbb{RP}^2\) 上，透過「選擇一條直線當無窮遠線」與「選擇一個二次曲線當絕對形」，可以一一產生其他幾何。

構造：由母體分化#

齊次座標：點 \((x:y:z)\) （僅比例有意義）。無窮遠線 \(z = 0\) 。令 \(z = 1\) 回到仿射平面；平行線相交於無窮遠點——「平行」不再是例外而是射影現象。

絕對形法（Cayley–Klein, 1871–73）：在 \(\mathbb{RP}^n\) 中選一個二次曲面 \(Q\) （絕對形），定義：

\[\text{距離} \propto \log \frac{\text{交比}}{} \quad \text{（兩點連線與 } Q \text{ 的交點決定交比）}\]
絕對形 \(Q\) 幾何 模型
實橢球 雙曲幾何 Klein 圓盤模型（曲率 \(K<0\) ）
虛（無實點） 橢圓幾何 球面（ \(K>0\) ）
退化（觸於無窮遠） 歐氏幾何 極限 \(K \to 0\)

三種幾何成為同一個射影世界的三種「度量選擇」——曲率只是絕對形的相對位置。

交比：射影幾何的基本不變量。四點 \(A,B,C,D\) 共線，交比

\[(A,B;C,D) = \frac{CA/CB}{DA/DB}\]

在任何射影變換下不變——它是「射影世界裡唯一的距離」。

與度量的和解（Riemann 路線）：Klein 用「群作用」統一，Riemann 用「度量張量」統一（2.1）。兩者在齊性空間重合： \(X = G/H\) （ \(H\) 為迷向群）， \(G\) -不變度量自動存在（如 \(\mathbb{H} = \mathrm{PSL}_2\mathbb{R}/\mathrm{SO}(2)\) ）。Klein 管剛性對稱，Riemann 管彎曲變形——20 世紀兩者合流於 Lie 群與齊性空間（8.3）。

後果#

  1. 雙曲幾何獲得嚴格模型（Beltrami、Klein、Poincaré），非歐爭議終結。
  2. 不變量理論：Cayley「Projective metrics」、Hilbert 有限基定理（1888）——不變量研究催生抽象代數（1.3）。
  3. 調和分析： \(\mathrm{SL}_2\mathbb{R}\) 在 \(\mathbb{H}\) 上作用 → 自守形式（10.1）= 群作用下的不變/特徵函數。
  4. 計算機視覺：相機成像本質是射影變換，交比用於標定。

練習與思考#

  1. 驗證共線四點 \((0,1), (1,1), (2,1), (3,1)\) 的交比在變換 \(x \mapsto \frac{ax+b}{cx+d}\) 下不變。
  2. Klein 模型中雙曲直線是圓的弦——為什麼角度會失真而共線不變？