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8.3 李群與李代數：連續對稱性與微分幾何的橋樑#

前因：無窮多個對稱怎麼處理？#

旋轉 \(\mathrm{SO}(3)\) 、平移、Lorentz 變換、規範變換——這些對稱是連續的（由實參數族構成）。有限群論（1.1）處理離散對稱，連續對稱需要新數學。Lie（1870s–90s）研究微分方程的變換群，創立李群理論；Killing、Cartan 完成分類。

構造#

定義（李群）。 兼具兩種結構的集合 \(G\) ：

  • 群（代數，1.1）；
  • 光滑流形（幾何，2.3）；

且乘法與求逆是光滑映射。

定義（李代數）。 \(\mathfrak{g} = T_eG\) （單位元的切空間），配換位子

\[[X, Y] = \left.\frac{\partial^2}{\partial s\,\partial t}\right|_{0} (e^{sX}e^{tY}e^{-sX}e^{-tY})\]

滿足反對稱與 Jacobi 恆等式 \([X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] = 0\) 。

李氏三大定理：群結構 \(\leftrightarrow\) 代數結構，且（連通單連通時）一一對應：

\[G \quad \longleftrightarrow \quad \mathfrak{g}\]

「非線性的群」被「線性的代數」完全編碼——對稱性的微積分。指數映射 \(\exp: \mathfrak{g} \to G\) 是兩者之橋（3.3 的 \(e^{tA}\) 正是矩陣李群的例子）。

分類（Killing–Cartan, 1890s）：半單李代數由 Dynkin 圖完全分類—— \(A_n, B_n, C_n, D_n, E_6, E_7, E_8, F_4, G_2\) 。「所有連續對稱性」是一個有限、可列舉的宇宙，這是數學最偉大的分類定理之一。

李群 李代數 物理意義
\(\mathrm{SO}(3)\) \(\mathfrak{so}(3)\) 旋轉、角動量
\(\mathrm{SU}(2)\) \(\mathfrak{su}(2)\) 自旋、弱作用
\(\mathrm{SL}_2\mathbb{R}\) \(\mathfrak{sl}_2\mathbb{R}\) 雙曲幾何、模形式
\(\mathrm{SU}(3)\) \(\mathfrak{su}(3)\) 量子色動力學
\(E_8\) \(\mathfrak{e}_8\) 最大例外群；異質弦

後果#

  1. 表示論成為數學中樞：Lie 群表示分類了基本粒子（Gell-Mann 八重法）；也表示了自守形式（10.1）。
  2. 微分幾何：主叢、聯絡、和樂——李群作用的幾何化（8.4）。
  3. 齊性空間與對稱空間：Cartan 對稱空間分類連接調和分析、數論（對稱空間的算術子群 → 模形式）。
  4. 例外群 \(E_8\) 與物理：異質弦的規範群 \(E_8 \times E_8\) 。

練習與思考#

  1. 驗證 \(\mathfrak{so}(3)\) = 反對稱矩陣全體，並計算 \([E_x, E_y] = E_z\) （聯想角動量對易關係）。
  2. 為什麼「線性化」對連續群有效而對有限群無意義？（有限群的單位元切空間是 0。）