跳轉到

10.1 伽羅瓦群與自守形式：數論、代數與分析的三角關係#

前因：朗蘭茲的問題#

Langlands（1967）寫給 Weil 的信中提出一個大膽的問題：數論中兩個最神秘的物件——Galois 群的表示與自守形式——之間，是否存在系統性的對應？

三角的三個頂點：

構造#

1. Galois 群（代數端，1.1 的延伸）#

\(\Gamma = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\) ：所有 \(\mathbb{Q}\) 的代數對稱。它是「素數的編碼器」：Frobenius 元素 \(\mathrm{Frob}_p\) 記錄多項式 \(\bmod\ p\) 的分解方式。研究素數 = 研究這個群的表示：

\[\rho: \Gamma \to \mathrm{GL}_n(\overline{\mathbb{Q}}_\ell) \quad (\ell\text{-進表示})\]

2. 自守形式（分析端）#

模形式：上半平面 \(\mathbb{H}\) 上的函數 \(f\) ，滿足

\[f(\gamma z) = (cz+d)^k f(z), \quad \gamma = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2\mathbb{Z}\]

即 \(\mathrm{SL}_2\mathbb{R}\) （8.3）在 \(\mathbb{H}\) （8.2）上作用下的協變函數，加上全純（3.2）與增長條件。它有 Fourier 展開 \(f = \sum a_n q^n\) ——分析的物件，卻編碼數論資訊： \(a_p\) 記錄曲線 \(\bmod\ p\) 的點數（10.2）。

自守形式 = 模形式的一般化：把 \(\mathrm{SL}_2\) 換成任意（adèlic）李群 \(G\) ，函數生活在其齊性空間上，李群表示論（8.3）成為自然框架。

3. L-函數（翻譯機）#

兩端各自產生一個 Dirichlet 級數：

\[L(s, \rho) = \prod_p \frac{1}{\det(1 - \rho(\mathrm{Frob}_p) p^{-s})} \qquad L(s, \pi) = \sum_n \frac{a_n}{n^s}\]

Langlands 對應（預言）：

\[\{\text{$n$ 維 Galois 表示 } \rho\} \;\longleftrightarrow\; \{\text{$\mathrm{GL}_n$ 自守表示 } \pi\}, \qquad L(s, \rho) = L(s, \pi)\]

已知特例：

  • \(n=1\) ：類域論（Artin, 1927）——一維表示 \(\leftrightarrow\) Hecke 特徵。已證。
  • \(n=2\) ：部分（Wiles 等，10.2）。
  • 一般 \(n\) ：開放，是當代數學最大的計畫。

後果#

  1. 費馬大定理（10.2）是此綱領的第一個世紀級收穫。
  2. Fermat–Wiles 之後的方法論：R = T 定理（Galois 變形環 \(\mathcal{R}\) = Hecke 代數 \(\mathbb{T}\) ，Taylor–Wiles 方法）。
  3. 幾何化（10.3）與物理化（10.4）。
  4. 本書觀點：Langlands 是三大對偶的總集——Galois（代數） \(\leftrightarrow\) 自守（分析） \(\leftrightarrow\) 幾何（模空間），如 6.2 所說「問題可以在最順手的一邊解決」，只是這次是在整個數學的尺度上。

練習與思考#

  1. 計算 \(\mathbb{Q}(\sqrt2)\) 的 Galois 群，並說明 \(\mathrm{Frob}_p\) （ \(p\) 奇）由 \(\left(\frac{2}{p}\right)\) 決定。
  2. 為什麼「函數滿足對稱條件 \(\gamma z \mapsto (cz+d)^k\) 」能編碼素數資訊？