附錄 A：關鍵數學物件的公理化對照表
本表總結本書出現的核心結構之公理，並標註結構疊加的方向（每往右一欄多一組公理）。
A.1 代數結構
| 結構 | 公理核心 | 例子 | 章節 |
| 群 \((G,\cdot)\) | 結合、單位元、反元素 | \(S_n\) , \(\mathbb{Z}\) | 1.1 |
| 交換群 | \(+\) 阿貝爾律 | \((\mathbb{Z},+)\) | 1.1 |
| 環 \((R,+,\times)\) | 加法交換群 + 乘法結合 + 分配律 | \(\mathbb{Z}\) , \(k[x]\) , \(M_n(K)\) | 1.2 |
| 交換環 | \(ab = ba\) | \(k[x]\) | 1.2, 6.3 |
| 體 \(K\) | 非零元素成乘法群 | \(\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{F}_p\) | 1.2 |
| 模/向量空間 | 交換群 + 環（體）作用 | \(K^n\) , 函數空間 | 1.2 |
| 李代數 \(\mathfrak{g}\) | 向量空間 + 括號 \([X,Y]\) + Jacobi | \(\mathfrak{so}(3)\) | 8.3 |
A.2 空間結構（由粗到細）
| 結構 | 公理核心 | 例子 | 章節 |
| 拓撲空間 \((X,\mathcal{T})\) | 開集：任意并、有限交、含 \(\emptyset, X\) | Zariski 譜 | 2.2 |
| 度量空間 \((X,d)\) | \(d\) 正定、對稱、三角不等式 | \(C[0,1]\) | 2.2 |
| 完備度量空間 | + Cauchy 序列收斂 | \(\mathbb{R}\) | 2.2 |
| 賦範向量空間 | 向量空間 + 範數 | \(C[a,b]\) | 5.1 |
| 巴拿赫空間 | + 完備 | \(L^p\) | 5.4 |
| 內積空間 | + 內積 | \(\ell^2\) | 5.3 |
| 希爾伯特空間 | 內積 + 完備 | \(L^2\) | 5.3 |
| 拓撲流形 | Hausdorff + 局部 \(\mathbb{R}^n\) | 球面 | 2.3 |
| 微分流形 | + 光滑相容坐標卡 | Lie 群 | 2.3 |
| 黎曼流形 | + 度量 \(g\) | 雙曲面 | 2.1, 2.3 |
| Kähler 流形 | 複 + 辛 + 相容度量 | \(\mathbb{CP}^n\) , CY | 12.2 |
| 代數多樣體/概形 | 由環/層定義 | \(V(f)\) , \(\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}\) | 2.4, 6.3 |
A.3 結構之間的映射（態射）
| 域 | 態射 | 章節 |
| 群 | 同態 \(f(ab)=f(a)f(b)\) | 1.1, 1.3 |
| 環 | 環同態（保 1） | 1.2 |
| 拓撲空間 | 連續映射（開集原像開） | 2.2 |
| 流形 | 光滑映射 | 2.3 |
| 賦範空間 | 有界線性算子 | 5.4 |
| 概形 | 由環同態反方向誘導 | 6.3 |
| 範疇 | 函子（保合成與單位） | 9.3 |
A.4 對偶總表
| 對偶 | 兩端 | 性質 |
| 笛卡兒 | 曲線 ↔ 方程 | 座標化 |
| Gelfand | 緊空間 ↔ 交換 \(C^*\) -代數 | 反變等價 |
| 代數幾何 | 概形 ↔ 交換環/層 | 反變 |
| Poincaré | \(H_k \leftrightarrow H^{n-k}\) | 配對 |
| Hodge | \(H^n \leftrightarrow \bigoplus H^{p,q}\) | 調和形式 |
| Langlands | Galois 表示 ↔ 自守表示 | 預言/部分證明 |
| 幾何 Langlands | 局部系 ↔ Hecke 特徵層 | 範疇等價 |
| 伴隨 | \(F \dashv G\) | Hom 同構 |