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2.1 SIR 模型：流行病學的微分方程（1927）【數學→生物】#

前因：從 Malthus 到傳染病#

Malthus 式的單一族群增長模型無法描述傳染病——瘟疫中人口不是均勻成長，而是分成「會傳染人的」與「已被傳染的」。1918–1919 年西班牙流感全球死亡數千萬人，公共衛生迫切需要預測疫情的數學。Kermack 與 McKendrick 於 1927 年建立倉室模型。

構造#

將人口分為三個倉室：易感 \(S\) 、感染 \(I\) 、康復 \(R\) ，寫成常微分方程組：

\[\frac{dS}{dt} = -\beta \frac{S I}{N}, \qquad \frac{dI}{dt} = \beta \frac{S I}{N} - \gamma I, \qquad \frac{dR}{dt} = \gamma I\]

其中 \(\beta\) 為傳染率、 \(\gamma\) 為康復率（ \(1/\gamma\) 為平均傳染期）。

核心無因次量——基本再生數：

\[R_0 = \frac{\beta}{\gamma}\]

代表一個感染者在全易感人群中平均傳染的人數。由方程可得三個定理級的結論：

  1. 閾值定理： \(R_0 > 1\) 時疫情爆發； \(R_0 < 1\) 時自然熄滅。
  2. 群體免疫閾值：疫情停止只需 \(S/N < 1/R_0\) ，即接種比例需達 \(1 - 1/R_0\) 。
  3. 波峰不超過： \(I(t)\) 在 \(S = \gamma/\beta\) 時達到峰值——預測醫療負載的關鍵。

後果#

  1. 流行病學成為數學科學：此後一百年，SEIR、年齡結構、網路傳播模型都由 SIR 擴展； \(R_0\) 成為公共衛生最著名的單一數字。
  2. 政策由方程驅動：麻疹 \(R_0 \approx 12\text{–}18 \Rightarrow\) 需 92–95% 接種率；天花 \(R_0 \approx 3\text{–}6 \Rightarrow\) 全球接種根除（1980）。數學定理直接指導了公共衛生。
  3. 2020 年的復興：COVID-19 期間，各國防疫模型（含英國 Imperial College 模型）都是 SIR 家族；「壓平曲線」一詞就是 \(I(t)\) 曲線的圖像描述（見 2.3）。

練習與思考#

  1. 由 \(dI/dt > 0\) 的條件推導爆發閾值 \(S/N > 1/R_0\) 。
  2. 若潛伏期不可忽略，應如何加入 \(E\) （暴露）倉室？潛伏期會改變 \(R_0\) 嗎？