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2.3 COVID-19：即時數學流行病學（2020）【數學↔生物】#

前因：百年一度的實戰檢驗#

SIR 模型（2.1）理論成熟近百年，但從未在全球即時政策中擔綱。2020 年 1 月，武漢疫情外溢，各國需要在數天內回答：會有多少人感染？醫療量能夠嗎？封鎖有無效果？數學流行病學首次被推上決策第一線。

構造#

三條數學戰線：

  1. 動力學模型：SEIR 加上年齡結構、接觸矩陣 \(C_{ij}\) （年齡層 \(i\) 與 \(j\) 的接觸頻率）：
\[\frac{dI_i}{dt} = \sum_j \beta C_{ij} \frac{S_j}{N_j} I_i - \gamma I_i\]

Imperial College 報告 9（2020/3/16）用此模型預測不加防護的死亡人數，直接促成英美轉向封鎖政策。

  1. **即時估計 \(R_t\) **：由每日確診序列 \(C_t\) ，用分支過程關係
\[C_t \approx R_t \sum_{s=1}^{t} C_{t-s}\, w_s\]

（ \(w_s\) 為世代時間分佈）反推即時再生數 \(R_t\) ，成為各國疫情記者會的核心指標。

  1. 統計檢定的極速部署：mRNA 疫苗第三期試驗用事件驅動的序貫分析（group-sequential design）——累積到預定確診數即揭盲，使輝瑞/BNT 在 2020/11 得出 95% 有效性（95% CI: 90.3–97.6%）。

後果#

  1. 公共衛生的典範轉移：疫情指標（ \(R_t\) 、有效再生數、超額死亡）成為政府日常語言；事後各國成立常設疫情建模中心。
  2. 模型的可信度爭議：模型預測誤差、參數不確定性被公開檢視——「模型透明化、程式碼公開」成為新規範，科學計算的可重現性被推上風口。
  3. 數據科學與生物醫學的匯流：基因定序追蹤變異株（Nextstrain 的系統發生樹）、廢水病毒量監測、手機接觸網路——流行病學已全面數位化，預告了 5 章「網路生物學」的世界。

練習與思考#

  1. 已知 \(w_s\) 近似平均 5 日的伽瑪分佈，某週 \(R_t\) 從 1.2 降至 0.8，解釋疫情從擴張到收縮的轉折。
  2. 封鎖降低 \(\beta\) 而疫苗降低 \(S\) ——由 \(dI/dt\) 方程比較兩者對壓平曲線的不同效果。