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1.2 1738年：聖彼得堡悖論與伯努利的效用革命#

1. 問題：期望值準則的破產#

1738 年，丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）在聖彼得堡科學院發表論文，提出如下賭局：

擲一枚公平硬幣，直到出現正面。若第 \(n\) 次才出現正面，報酬為 \(2^{n-1}\) 元。

此賭局的期望值為：

\[ E[X] = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \cdot 2^{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} = \infty \]

期望值無窮大，照理說你應該願意付出任何代價參與。但任何正常人最多只願付幾塊錢。期望值準則在這裡明顯失效——這對剛誕生的機率論是一記重擊：如果理性的數學準則連簡單賭局都無法描述人類行為，它憑什麼描述社會？

2. 數學：效用與邊際遞減#

伯努利的解法天才而簡單：人們計算的不是金錢本身的期望值，而是金錢所帶來的「效用」（utility）的期望值。他提出金錢的效用與持有量成反比，積分後得到對數效用函數：

\[ u(x) = \ln(x) \]

則聖彼得堡賭局的效用期望值為：

\[ E[u(X)] = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \ln(2^{n-1} \cdot w_0) \]

其中 \(w_0\) 是參與者原本的財富。這個級數收斂，給出一個有限的「確定等值」——而且它隨著你的財富增加而提高，符合直覺：富人比窮人更願意賭。

關鍵數學性質是凹性（concavity）：

\[ u''(x) < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{風險趨避} \]

這就是邊際效用遞減法則的數學表述：第一百萬元帶來的快樂，遠小於第一元。

3. 後果：現代經濟學的地基#

  • 邊際革命（1871，傑文斯、孟格、瓦拉斯）：供需理論、價格理論全部建立在邊際效用遞減之上。可以說，整個新古典經濟學是聖彼得堡悖論的遙遠迴響。
  • 風險管理：凹效用解釋了保險購買與風險投資並存的「保險悖論」——人們既買保險又買彩券。
  • 心理學的先聲：伯努利已隱約指出效用是心理量而非物理量，為兩百年後的行為經濟學埋下伏筆。

4. 回饋：效用需要公理基礎#

伯努利的對數函數只是一個猜測：為什麼是對數？效用如何測量？什麼樣的偏好序才能被效用函數代表？這些問題懸置了近兩百年，直到 1944 年馮諾伊曼與摩根斯坦以公理方法徹底解決（見 1.3 節）。社會科學「測量不可測之物」的需求，直接驅動了二十世紀的表示定理（representation theorem）數學。

5. 延伸思考#

  1. 若效用是主觀心理量，人際間的效用比較（如社會福利比較）是否可能？這是福利經濟學與阿羅定理（5.1 節）的核心難題。
  2. 1980 年代，M. R. Aoki 等人指出若考慮宇宙中有限財富的物理上限，悖論可消解——數學模型的失效常常是模型假設的失效，而非數學本身的失敗。