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4.2 1958年：馬可夫鏈與社會流動的數學模型#

1. 問題：「階級」能被數學化嗎？#

戰後英國面臨核心政治問題：福利國家真的促進了社會流動嗎？「從貧民到富豪」的故事有多少是真實的？要回答，必須把模糊的「階級」變成可測量、可跨代追蹤的變數，並且把「流動」變成動態過程——不是一張靜態的快照，而是「父代地位 → 子代地位」的轉移結構。

1950 年代 Glass 等人主持大規模社會流動調查；1958 年 sociologist S. J. Prais 與統計學家將馬可夫鏈引進這個資料，社會流動首次獲得嚴格的動態數學。

2. 數學：轉移矩陣與穩態分布#

將社會分為 \(k\) 個階級，估計轉移矩陣 \(P\) ，其中

\[ P_{ij} = P(\text{子代在階級 } j \mid \text{父代在階級 } i) \]

每列和為 1（隨機矩陣）。若轉移機率跨代不變，第 \(n\) 代的階級分布 \(x^{(n)}\) 滿足：

\[ x^{(n)} = x^{(0)} P^{n} \]

馬可夫鏈收斂定理：若 \(P\) 不可約且非週期，則 \(P^n \to \Pi\) （每列相同），任意初始分布收斂到平穩分布 \(\pi\) ，滿足 \(\pi = \pi P\) 。

其社會學詮釋極為深刻：

  1. 長期不平等與起點無關：無論今天的不平等多嚴重，只要轉移結構不變，社會終將走向 \(\pi\) ——「歷史的終結」（結構決定長期，路徑不重要）；
  2. 對角線的意義： \(P_{ii}\) 大表繼承性強、流動性低；
  3. 譜分解解釋收斂速度：第二特徵值 \(|\lambda_2|\) 決定「接近穩態要多快」—— \(\lambda_2\) 越接近 1，流動越「黏」，階級結構越頑固。

3. 後果#

  • 社會分層研究的標準工具：Blau–Duncan (1967) 的地位取得模型（路徑分析）將馬可夫思想擴充為連續變數的結構方程；職業流動表的分析技術（對數線性模型，Goodman 1970 年代）成為社會學統計的核心。
  • 人口學與勞動經濟學：失業持續期間、所得動態、貧窮陷阱都用馬可夫模型刻畫；收入流動的「轉移核」估計成為不平等研究的常備工具。
  • 其他社會領域的遷移：選民政黨认同的變動、品牌忠誠度、都市土地使用的轉換、語言的代際傳遞（瀕危語言模型）——凡「狀態 + 跨期轉移」的社會過程皆可用之。

4. 回饋：齊次性假設的崩潰與新數學#

馬可夫模型的社會學致命傷是其齊次性假設（轉移機率不變）。1970 年代的實證發現：

  1. 非齊次：轉移機率隨教育擴張、產業結構變化而變（結構流動 vs. 交換流動之分）；
  2. 路徑依賴：過去狀態不只影響當期，還影響轉移機率本身（非馬可夫性）；
  3. 異質個體：「流動性」在人口內部不同（不可觀測異質性），造成表列流動率隨時間偏移的假象（Sorokin 早就警告）。

社會科學的需求驅動了統計學的新分支：

  • 面板資料與事件史分析（Cox 比例風險模型 1972、半馬可夫過程）；
  • 潛在類別與混合模型（處理不可觀測異質性）；
  • 路徑依賴的正式理論（Arthur、David 1985；與 2.3 節隨機演化賽局中的長期極限相通）——「歷史重要」獲得數學證明，直接反駁了馬可夫鏈的「歷史無關」結論。

5. 延伸思考#

  1. 平穩分布 \(\pi\) 是「預測」還是「規範」？若政策改變 \(P\) （教育改革）， \(\pi\) 會變——但改變 \(P\) 的政治過程本身是否也是馬可夫過程？（層次混雜）
  2. 若流動機會依賴於社會網絡（4.1 節），階級轉移就不是獨立的跨代抽樣——馬可夫假設在網絡社會中還成立嗎？