3.2 成本分攤與聯立方程#

本章導言#

服務部門的成本分攤是會計裡最「純」的聯立方程問題。一家工廠有動力、維修兩個服務部：動力部要向維修部收電費，維修部又要向動力部收維修費——你包含我、我包含你，誰的成本先算？ 直觀的「一次分攤」（直接法、階梯法）只是近似；要精確，就必須承認這是一個迴圈定義，而數學對迴圈定義早有解法：把它寫成聯立一次方程。本節先鋪陳實務困境，再導出方程組，最後用消去法與矩陣法雙軌求解。

一、困境：互相服務造成的迴圈#

設工廠有一個生產部 \(P\) 與兩個服務部：動力部 \(S_1\) 、維修部 \(S_2\) 。服務部之間也互相用對方的服務：

\(S_1\) 的電力 20% 供給 \(S_2\) ；
\(S_2\) 的維修 10% 供給 \(S_1\) 。

問題在於： \(S_1\) 的總成本 \(=\) 自身直接成本 \(+\) 從 \(S_2\) 分進來的維修成本；而維修成本的總額又包含 \(S_2\) 用電的電費——兩個「總額」互為對方的函數。定義

\[ x_1 = S_1 \text{ 的總成本（自身} + \text{分入}）,\qquad x_2 = S_2 \text{ 的總成本}, \]

設直接成本為 \(d_1 = 100{,}000\) 、 \(d_2 = 40{,}000\) （單位：元），則依服務量比例：

\[ \begin{cases} x_1 = d_1 + 0.10\,x_2,\\[2pt] x_2 = d_2 + 0.20\,x_1. \end{cases} \]

這組方程的解唯一存在（係數矩陣的行列式不為 0），代數替會計終結了「雞生蛋」的爭論。

二、消去法求解#

把 \(x_2\) 的式子代入第一式：

\[ x_1 = 100{,}000 + 0.10(40{,}000 + 0.20\,x_1) = 104{,}000 + 0.02\,x_1 \;\Longrightarrow\; 0.98\,x_1 = 104{,}000 \;\Longrightarrow\; x_1 = \frac{104{,}000}{0.98} \approx 106{,}122.45, \]

\[ x_2 = 40{,}000 + 0.20\times 106{,}122.45 = 40{,}000 + 21{,}224.49 = 61{,}224.49 . \]

驗證： \(x_1 = 100{,}000 + 0.10\times 61{,}224.49 = 100{,}000+6{,}122.45 = 106{,}122.45\) ✓， \(x_2 = 40{,}000+0.20\times106{,}122.45=61{,}224.49\) ✓。注意兩個總成本都大於各自直接成本——多出來的部分正是「互相服務」的成本，若用直接法（忽略服務部之間的互供）就會低估。

三、矩陣寫法與一般公式#

方程組可寫成 \((I - R)\,\mathbf{x} = \mathbf{d}\) ，其中 \(R\) 是服務比例矩陣（ \(R_{ij}\) ： \(S_i\) 的服務中被 \(S_j\) 使用的比例， \(R_{11}=R_{22}=0\) ， \(R_{12}=0.10\) ， \(R_{21}=0.20\) ）：

\[ \begin{pmatrix} 1 & -0.10\\ -0.20 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100{,}000\\ 40{,}000\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{x} = (I-R)^{-1}\mathbf{d}. \]

行列式 \(\det(I-R) = 1 - 0.02 = 0.98 > 0\) ，逆矩陣存在：

\[ (I-R)^{-1} = \frac{1}{0.98}\begin{pmatrix} 1 & 0.10\\ 0.20 & 1\end{pmatrix}, \]

故

\[ x_1 = \frac{100{,}000 + 0.10\times 40{,}000}{0.98} = \frac{104{,}000}{0.98} \approx 106{,}122.45,\qquad x_2 = \frac{0.20\times100{,}000+40{,}000}{0.98} = \frac{60{,}000}{0.98}\approx 61{,}224.49, \]

與消去法一致。矩陣寫法的好處在於規模無關性：十個服務部也只是一個 \(10\times10\) 的 \(R\) ，公式 \(\mathbf{x}=(I-R)^{-1}\mathbf{d}\) 不變——這正是 2.2、2.3 節矩陣語言的回報。

例題 3.2.1#

承上設定， \(S_1\) 的服務供生產部 \(P\) 使用 80%（其餘 20% 供 \(S_2\) ）， \(S_2\) 的服務供 \(P\) 使用 90%（其餘 10% 供 \(S_1\) ）。試求分攤給 \(P\) 的服務成本合計，並驗證總額守恆。

解：總成本已解出： \(x_1\approx106{,}122.45\) 、 \(x_2\approx61{,}224.49\) 。分攤給 \(P\) ：

\[ 0.80\,x_1 + 0.90\,x_2 = 84{,}897.96 + 55{,}102.04 = 140{,}000 . \]

守恆驗證：全部成本的去向——

\[ \text{直接成本合計} + \text{服務部互供} = 140{,}000 + (100{,}000+40{,}000)\ ? \]

正確的核對是看「總成本不生不滅」： \(x_1+x_2 = 167{,}346.94\) ；其中分給 \(P\) 的 \(140{,}000\) ，其餘 \(27{,}346.94\) 是 \(S_1\) 、 \(S_2\) 的互供額 \(0.10x_2+0.20x_1 = 6{,}122.45+21{,}224.49=27{,}346.94\) ✓。而互供額最終被包含在 \(x_1,x_2\) 之內、不會重複計出，故 \(P\) 負擔的 \(140{,}000\) 恰等於「直接成本總額 \(-\) 服務部留存」。帳目的每一塊錢都恰好去了一個地方——第 1 章的流守恆，在成本分攤的世界裡再次現身。

與直接法對照：直接法忽略互供， \(P\) 只分到 \(100{,}000\times\frac{80\%}{80\%}+40{,}000\times\frac{90\%}{90\%}=140{,}000\) ——本例中兩法巧合相等（因為互供比例經過精心設計使分子分母對消）；一般情形下直接法會扭曲，且服務部越多、互供越複雜，扭曲越大。

前因後果與驅動關係#

實務驅動：鐵路與鋼鐵公司在十九世紀末率先面對多部門成本歸屬：機務段為客運與貨運共同服務、發電廠為各廠區供電。成本若分不準，運價與轉撥價格就失真——定價的公平性問題被翻譯成了聯立方程。
理論的回饋：交互分攤法（reciprocal method）使「總成本」成為良定義；更深的回報在於 \((I-R)^{-1}\) 的展開

\[ (I-R)^{-1} = I + R + R^2 + R^3 + \cdots \]

有明確會計意義： \(R\) 是一次互供、 \(R^2\) 是二次迴流（ \(S_1\) 的成本傳給 \(S_2\) 又傳回來）、 \(R^3\) 是三次……無窮迴圈的總和收斂為一個有限數，這正是級數收斂條件（列和最大值 \(<1\) ）第一次進入會計課本。 - 跨章接點：本節的 \(R\) 矩陣是 2.3 節關聯矩陣的加權版；解的存在唯一性依賴 3.1 節的秩條件；轉撥定價的後續發展進入 6.3 節多產品損益兩平與《管理的數學》的規劃模型。 - 兄弟書接點： \((I-R)^{-1}\) 恰是《經濟的數學》第 5 章投入產出模型的 Leontief 逆矩陣——會計的成本分攤與總體的產業關聯，是同一個數學物件的兩個應用；《管理的數學》第 5 章存貨管理中的多階補貨，也共用「迴圈依賴化為線性方程組」的思路。

練習#

兩服務部直接成本 \(d_1=200{,}000\) 、 \(d_2=60{,}000\) ， \(S_1\) 供 \(S_2\) 25%、 \(S_2\) 供 \(S_1\) 15%。列聯立方程並解出 \(x_1,x_2\) （保留整數元）。
承第 1 題， \(S_1\) 的服務 75% 給生產部、 \(S_2\) 的服務 85% 給生產部，求生產部分攤額，並驗證總額守恆。
證明：若 \(R\) 的每一列之和大於等於 1，則 \((I-R)\) 可能不可逆或解不唯一。試舉一個具體的 \(2\times2\) 反例。
用級數展開 \((I-R)^{-1}=I+R+R^2+\cdots\) 對本節數字驗算：計算 \(R^2\) ，說明 \(R^2\) 的 \((1,2)\) 元素 0.02 的會計意義。
思考題：服務部之間的互供成本最終「不會」落到任何生產部頭上（例題的守恆驗證顯示互供額被吸收）。請討論：這件事在經濟上合理嗎？若服務部本身也是利潤中心（轉撥定價），守恆式還成立嗎？此問題將通向《經濟的數學》第 6 章的賽局視角。

名詞速查表#

直接法／階梯法：忽略或部分承認服務部互供的近似分攤法。
交互分攤法：以聯立方程精確處理互供的分攤法，即本節主題。
**服務比例矩陣 \(R\) **： \(R_{ij}\) 為 \(S_i\) 的服務被 \(S_j\) 使用之比例，對角為 0。
**Leontief 逆矩陣 \((I-R)^{-1}\) **：總成本（總需求）對直接量的乘數，含全部迴流效果。
轉撥價格：部門間移轉服務或半成品的內部計價。

（本節完）