4.1 直線折舊與等差數列#

本章導言#

一台機器買來用十年，錢是一次付的，效益卻年年產生。折舊（depreciation）就是把這筆一次性的成本，有系統地分攤到各受益期間。這個看似單純的動作，要到工業革命把「大量固定設備」帶進企業之後，才成為會計的正規課題；而它最古老的算法——直線法——在數學上恰好就是等差數列。本節從歷史動因出發，把折舊寫成數列，並指出它的第一個結構性缺陷：它對時間是「無感」的，這一點將由 4.2、4.3 節與《金融的數學》的時間價值來修正。

一、為何折舊是十九世紀才被逼出來的問題#

農業與商業時代的資產多半短命（牲口、船隻、季節性存貨），成本幾乎當期認列即可。十九世紀中葉起，鐵路、紡織廠、煤氣與電力公司必須一口氣投入數十年壽命的軌道、機組與管線，於是出現兩個無法迴避的難題：

配比（matching）：買機器那年認列全部成本，會使當年巨額虧損、其後各年虛增利潤，報表完全失真；
淨利的可分配性：不先提列折舊，公司會把「資本的消耗」當成利潤分給股東——等於退還股本，這是十九世紀英國法院多次爭訟的問題。

會計的解法是：先將成本資本化為資產，再按受益期間分攤。折舊不是資產「變舊了、變不值錢了」的估價，而是成本的分攤——這個觀念直到二十世紀才完全確立，至今仍是初學者最常誤解之處。

二、直線法的數列結構#

設成本 \(C\) 、殘值 \(S\) （報廢時可回收之淨額）、耐用年數 \(n\) ，則每年折舊額

\[ D = \frac{C - S}{n}, \qquad \text{年折舊率（對成本）} = \frac{C-S}{nC}. \]

三個相關數列皆為等差數列：

數列	首項 \(a_1\)	公差 \(d\)	第 \(k\) 項
當年折舊額	\(D\)	\(0\)	\(D\)
累計折舊	\(D\)	\(+D\)	\(kD\)
帳面餘額	\(C\)	\(-D\)	\(C - kD\)

帳面餘額數列的第 \(n+1\) 項為 \(C - nD = C - (C-S) = S\) ，自動落到殘值——這正是直線法的內部一致性。折舊總額是常數數列的前 \(n\) 項和：

\[ \sum_{k=1}^{n} D = nD = C - S. \]

三、例題#

例題 4.1.1：機器一部成本 600,000 元，估計殘值 60,000 元，耐用年數 5 年。以直線法計算每年折舊，編出折舊表；若該機器於 3 月 1 日購入啟用，當年度應提列多少？

解：

\[ D = \frac{600{,}000 - 60{,}000}{5} = \frac{540{,}000}{5} = 108{,}000 \;(\text{元/年}). \]

年折舊率（對成本） \(= 108{,}000 / 600{,}000 = 18\%\) ；若以可折舊總額為分母，則 \(108{,}000/540{,}000 = 20\%\) 。

年度	當年折舊	累計折舊	帳面餘額
0	—	0	600,000
1	108,000	108,000	492,000
2	108,000	216,000	384,000
3	108,000	324,000	276,000
4	108,000	432,000	168,000
5	108,000	540,000	60,000

驗算：餘額數列公差為 \(-108{,}000\) ，第 6 項 \(=600{,}000 - 5\times108{,}000 = 60{,}000\) ，恰為殘值 ✓；累計折舊 \(=5\times108{,}000 = 540{,}000 = 600{,}000-60{,}000\) ✓。

部分年度：3 月 1 日啟用，當年使用 10 個月，按月比例提列

\[ 108{,}000 \times \frac{10}{12} = 90{,}000 \;(\text{元}), \]

次年即可提列整年 108,000。比例分攤只是把等差數列的公差按月切小（每月 \(108{,}000/12 = 9{,}000\) ），數列結構不變。

前因後果與驅動關係#

實務驅動：鐵路與公用事業的「資本維持」爭議（19 世紀英美）逼出了折舊會計；所得稅制度（1913 年美國聯邦所得稅）把折舊變成可抵稅的金額，於是「怎麼提、提多少」直接關係現金流，折舊方法從會計政策變成財務策略。
理論的回饋：直線法一旦被寫成 \(D=(C-S)/n\) ，折舊表就成了可預測的數列——預算（第 7 章）、產品成本、部門績效都可以事先算出，這是標準成本制度得以成立的前提。同時它也暴露了自身的限制：等差數列對金額的時間價值視而不見。
跨章接點：4.2 節改用等比數列（定率遞減）、4.3 節改用調和式的權數（年數總和法）；5.1–5.2 節的存貨計價同樣面臨「用哪個序」的選擇——折舊與存貨是同一個「成本分配順序」問題的兩種表現。
兄弟書接點：《金融的數學》第 1 章的時間價值指出：今天的 108,000 元比明年的 108,000 元值錢。直線法把各年成本視為等值，等於對折現率取零；若考慮資金成本，前期多提（4.3 節加速法）在現值意義上更「划算」——這是折舊方法選擇的真正數學根源。《經濟的數學》第 4 章生產成本也把設備成本處理為固定成本的資本化版本。

練習#

設備成本 450,000、殘值 30,000、耐用 6 年。求每年折舊、年折舊率（對成本），並列出第 4 年末的帳面餘額。
承上題，若於 7 月 1 日購入，當年度折舊若干？次年折舊又為若干？
某資產每年折舊 75,000、提列 8 年後帳面餘額 90,000。求原始成本與殘值，並驗證「餘額數列公差 = −75,000、第 9 項 = 殘值」。
證明：在直線法下，帳面餘額數列 \(\{C-kD\}\) 與累計折舊數列 \(\{kD\}\) 之和恆為常數 \(C\) ，並說明此恆等式對試算表（資產與備抵折舊）的意義。
思考題：兩部機器成本、殘值、年數全同，一部年初購入、一部年中購入，若採「按月比例」提列，兩部機器五年內累計折舊是否相同？差額若干？稅法通常允許這種差異嗎（見《經濟的數學》第 4 章與我國所得稅法第 51 條）？

年表速查#

1850–1870 年代：美國鐵路會計開始系統討論折舊提列，「資本維持」成為公司法爭點。
1880–1900 年代：工程界與會計界就折舊的本質（估價 vs 成本分攤）展開長期論戰。
1913：美國聯邦所得稅法確立，折舊成為可抵稅項目，方法選擇產生租稅利益。
1930–1940 年代：各國以折舊政策作為設備投資的誘因，加速折舊逐漸制度化。
1954：美國稅法擴大允許餘額遞減等加速方法（見 4.2 節）。
1976：國際會計準則公報 IAS 4《折舊會計》發布，確立「成本分攤」的定義。
迄今：我國所得稅法第 51 條明定平均法、工作量法、定率遞減法等折舊方法。

名詞速查表#

折舊：把固定資產成本按受益期間分攤的會計程序，非資產貶值的估價。
可折舊總額： \(C - S\) ，成本減殘值。
直線法：每年折舊額相等， \(D=(C-S)/n\) 。
等差數列：公差為常數的數列；餘額數列公差 \(-D\) 、累計折舊公差 \(+D\) 。
按月比例：依實際使用月數提列部分年度折舊。

（本節完）