4.2 定率遞減與等比數列#

本章導言#

直線法的公差是常數，但許多設備的產出與維修成本逐年惡化：前幾年效能高、維修少，後幾年大修頻仍。若成本分攤要「反映受益型態」，就該前期多提、後期少提。最簡潔的做法是：每年提列「期初帳面餘額的固定百分比」，於是折舊額形成等比數列、帳面餘額按固定比率衰減——這就是定率遞減法（declining balance method）。它同時也是 4.1 節所缺的那塊拼圖：等比數列天然帶有時間結構，與《金融的數學》第 1 章的複利、折現公式本來就是同一個式子。

一、定率法的兩條公式#

設定率（折舊率）為 \(r\) 、成本 \(C\) 、第 \(k\) 年折舊 \(d_k\) 、第 \(k\) 年末帳面餘額 \(B_k\) ，則

\[ d_k = r\,B_{k-1}, \qquad B_k = B_{k-1} - d_k = (1-r)B_{k-1}, \]

迭代即得

\[ d_k = C\,r(1-r)^{k-1}, \qquad B_k = C(1-r)^k . \]

折舊額 \(\{d_k\}\) 是首項 \(Cr\) 、公比 \((1-r)\) 的等比數列；
帳面餘額 \(\{B_k\}\) 是公比 \((1-r)\) 的等比數列（等比衰減）；
前 \(n\) 年折舊總和（等比級數前 \(n\) 項和）：

\[ \sum_{k=1}^{n} d_k = Cr\,\frac{1-(1-r)^n}{1-r} = C\bigl[1-(1-r)^n\bigr] = C - B_n . \]

最後一式正是守恆式：已提折舊 = 成本 − 期末餘額，與直線法殊途同歸。

二、折舊率從哪裡來？兩種給定方式#

政策決定：公司或稅法直接指定 \(r\) （如雙倍餘額遞減法取 \(r = 2/n\) ）。
由殘值反推：要求 \(n\) 年後恰降至殘值 \(S\) ，即 \(C(1-r)^n = S\) ，解出

\[ r = 1 - \left(\frac{S}{C}\right)^{1/n}. \]

這是對數運算的典型應用： \(\ln(1-r) = \dfrac{1}{n}\ln\dfrac{S}{C}\) 。

三、例題#

例題 4.2.1：機器成本 100,000 元、估計殘值 10,000 元、耐用 5 年，公司採定率 30%。試編前五年折舊表，計算折舊總額，並回答：此率是否使五年後恰達殘值？若要求恰好到達， \(r\) 應為多少？

解：逐年計算（ \(d_k = 0.30 \times\) 期初餘額）：

年度	期初餘額	折舊率	當年折舊	期末餘額
1	100,000	30%	30,000	70,000
2	70,000	30%	21,000	49,000
3	49,000	30%	14,700	34,300
4	34,300	30%	10,290	24,010
5	24,010	30%	7,203	16,807

折舊總額： \(30{,}000+21{,}000+14{,}700+10{,}290+7{,}203 = 83{,}193\) ；

用公式覆核： \(C[1-(1-r)^n] = 100{,}000[1-0.7^5] = 100{,}000(1-0.16807) = 83{,}193\) ✓。

是否達殘值：第五年末餘額 \(16{,}807 > 10{,}000\) ，未達殘值——30% 是政策率，不是殘值率。

恰達殘值之率：

\[ r = 1 - \left(\frac{10{,}000}{100{,}000}\right)^{1/5} = 1 - 0.1^{0.2} = 1 - 0.63096 = 0.36904 \approx 36.9\%. \]

即每年須提列約 36.9%，五年後 \(B_5 = 100{,}000 \times 0.63096^5 = 10{,}000\) ✓。實務上若報廢時餘額仍高於殘值，公司會在後續年度續提，或在最後一年改用直線法並以殘值為底限（帳面餘額不得低於殘值）。

直線法對照：同一資產若採直線法，每年 \((100{,}000-10{,}000)/5 = 18{,}000\) ，前四年合計 72,000，而定率 30% 前四年已提 \(30{,}000+21{,}000+14{,}700+10{,}290 = 75{,}990\) ——加速效果在於「時間的分佈」，而非總額：兩法的可折舊總額都是 90,000，差別只在何時認列。

前因後果與驅動關係#

實務驅動：技術淘汰快的資產（印刷機、電腦設備）在報廢前往往帳面價值過高，直線法的「慢」會誤導決策；同時企業希望在高所得年度多列費用以遞延所得稅。兩個動機都指向同一個數學形式——按固定比例加速。
理論的回饋：定率法把折舊與複利接上線，使「折舊表」可與「現金流量表」在同一套公式下運算；帳面餘額 \(C(1-r)^k\) 與終值公式 \(P(1+i)^k\) 只差一個正負號，折舊即負成長的複利。這一認知使會計師第一次能直接回答「折舊方法對公司價值的影響」。
跨章接點：4.1 節的等差是 \(r\) 極小時的一階近似；4.3 節的年數總和法則以「算術權數」達成加速，無需冪次運算——三法並列即第 4 章的全貌；折舊費用本身又進入 6.1 節的固定成本與 8.2 節的 DuPont 分解（資產周轉率的分母受折舊方法影響）。
兄弟書接點：《金融的數學》第 1 章的複利與折現是本節公式的原型；加速折舊之所以受青睞，真正的理由是前期費用的節稅效果現值較大——這是第 1 章時間價值在稅務上的直接應用（稅盾現值見《金融的數學》第 1、2 章）。《經濟的數學》第 4 章亦以折舊區分「會計成本與經濟成本」。

練習#

成本 80,000、殘值 5,000、耐用 4 年、定率 25%。編前四年折舊表，算折舊總額，並判斷期末餘額是否達殘值。
某資產成本 64,000、耐用 6 年，要求第 6 年末恰為殘值 1,000。用 \(r = 1-(S/C)^{1/n}\) 求 \(r\) ，並逐項驗證折舊額為 32,000、16,000、8,000、4,000、2,000、1,000。
雙倍餘額遞減法取 \(r = 2/n\) 。對成本 500,000、殘值 20,000、耐用 5 年（ \(r=40\%\) ），算到第 4 年末的餘額；若第 5 年須保證餘額不低於殘值，第 5 年最多可提列多少？
證明 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} C r (1-r)^{k-1} = C\bigl[1-(1-r)^n\bigr]\) ，並說明它與守恆式「成本 = 已提折舊 + 帳面餘額」的關係。
思考題：直線法與定率法的折舊總額相同（皆為 \(C-S\) ），差別只在時間分佈。若資金成本為正，為什麼「晚一點認列成本」對公司比較有利？請用《金融的數學》第 1 章的現值概念，比較兩法前兩年折舊的現值（自行假設一個折舊率與折現率）。

年表速查#

約公元前 1800 年：巴比倫泥板已有複利計算表——等比數列最早的實用記錄。
1202：Fibonacci《計算之書》系統引入複利與利息計算，服務於商務。
1913：美國聯邦所得稅法施行，折舊率的選擇開始具有租稅後果。
1940 年代：各國以加速折舊作為鼓勵設備投資的產業政策。
1954：美國稅法明文擴大允許餘額遞減法（含雙倍餘額遞減）。
1976：IAS 4《折舊會計》發布，承認多種折舊方法並存。
迄今：我國所得稅法第 51 條容許定率遞減法，由主管機關訂定各業耐用年數。

名詞速查表#

定率遞減法：按期初帳面餘額的固定百分比提列折舊。
等比數列：相鄰兩項比值恆為 \(q\) 的數列；折舊額的 \(q = 1-r\) 。
**衰減因子 \((1-r)^k\) **：帳面餘額經過 \(k\) 年後的留存比例。
雙倍餘額遞減法：取 \(r = 2/n\) 的加速折舊變體。
殘值底限：帳面餘額不得低於殘值，最後年度常改採直線法調整。

（本節完）