5.2 加權平均與移動平均法#

本章導言#

FIFO 與 LIFO 站在兩極，會計實務需要一個居中的方案：把所有成本層熔成一個平均數。這個「平均」不是算術平均，而是加權平均——權重是各批的數量。加權平均法在實地盤存制（定期盤存制）下是「整期一次平均」，在永續盤存制下則進化為移動平均法：每進一批貨就重新計算平均單位成本。兩者的數學骨架都是「加權平均的更新公式」，而這個公式在統計學、機器學習與《管理的數學》的預測模型中一再重現——它是「用新資料修正舊估計」的最基本形式。

一、加權平均的定義與一個關鍵公式#

設期初存量 \(q_0\) 、單位成本 \(\bar{c}_0\) ，新進一批 \(q_1\) 件、單位成本 \(c_1\) ，則新的加權平均單位成本為

\[ \bar{c}_1 = \frac{q_0\bar{c}_0 + q_1 c_1}{q_0 + q_1}. \]

把它改寫成遞迴更新的形式：

\[ \bar{c}_1 = \bar{c}_0 + \frac{q_1}{q_0+q_1}\,(c_1 - \bar{c}_0), \]

或對稱地

\[ \bar{c}_1 = \lambda\,c_1 + (1-\lambda)\,\bar{c}_0, \qquad \lambda = \frac{q_1}{q_0+q_1}. \]

新的平均，是新的觀察值與舊的平均的凸組合——權重 \(\lambda\) 介於 0 與 1 之間，且自動由相對數量決定。這個形式正是統計上「序貫平均」、訊號處理中「指數平滑」的直系祖先：《管理的數學》第 2 章的指數平滑預測 \(\hat{F}_{t+1}=\alpha y_t+(1-\alpha)\hat{F}_t\) 與上式逐字同構，只是那裡的 \(\alpha\) 由人為設定，這裡的 \(\lambda\) 由數量自然生成。

二、移動平均法：永續盤存的逐筆更新#

例題 5.2.1：承 5.1 節例題 5.1.1 的收發資料，改用移動平均法（永續盤存制）計算各次銷貨成本、期末存貨與毛利。

解：逐筆更新：

(1) 3/8 進貨後：存量 \(=100+150=250\) 件，

\[ \bar{c} = \frac{100\times20 + 150\times24}{250} = \frac{2{,}000+3{,}600}{250} = \frac{5{,}600}{250} = 22.40 \text{ 元/件}. \]

(2) 3/15 銷 180 件：銷貨成本 \(=180\times22.40=4{,}032\) ；餘 70 件，成本 \(70\times22.40=1{,}568\) 。

(3) 3/22 進 120 件@28：存量 \(=190\) 件，

\[ \bar{c} = \frac{70\times22.40 + 120\times28}{190} = \frac{1{,}568+3{,}360}{190} = \frac{4{,}928}{190} = 25.9368\ldots \approx 25.94 \text{ 元/件}. \]

（用分數： \(\bar{c}=\frac{4928}{190}=\frac{2464}{95}\) 元/件。）

(4) 3/28 銷 90 件：銷貨成本 \(=90\times\frac{2464}{95}=\frac{221{,}760}{95}=2{,}334.32\) （精確值 \(2{,}334.3157\ldots\) ）；期末存貨 \(=100\times\frac{2464}{95}=2{,}593.68\) 。

彙總（與 5.1 節 FIFO／LIFO 並排；銷貨收入皆為 9,720）：

項目	FIFO	移動平均	LIFO
銷貨成本	6,160	6,366.32	6,720
期末存貨	2,800	2,593.68	2,240
毛利	3,560	3,353.68	3,000

守恆驗證： \(6{,}366.32+2{,}593.68=8{,}960\) ✓（四捨五入前精確成立），可供銷售成本 8,960 再次被完整切成兩份。且如 5.1 節所證，物價上漲時的排序

\[ 6{,}160 \;<\; 6{,}366.32 \;<\; 6{,}720 \]

FIFO \(\le\) 平均 \(\le\) LIFO 恰好成立——平均法果然是內點。

三、定期盤存的加權平均：整期一次結算#

若不用永續盤存，全期只做一次平均：

\[ \bar{c}_{\text{期}} = \frac{\text{期初成本} + \text{全期進貨成本}}{\text{期初量} + \text{全期進貨量}} = \frac{8{,}960}{370} = 24.2162\ldots \text{元/件}. \]

本期共銷 270 件，銷貨成本 \(=270\times24.2162=6{,}538.38\) ，期末存貨 \(=100\times24.2162=2{,}421.62\) ，同樣守恆（ \(6{,}538.38+2{,}421.62=8{,}960\) ✓）。同一年度、同樣交易，三種「平均」給出三個答案（6,366 vs 6,538），因為「平均的時點」不同：移動平均給早期低價批次更高的權重效果、定期平均則一視同仁。這提醒我們：「平均」不是一個數，而是一族以權重時點為參數的方法。

四、與移動平均的統計親戚#

移動平均存貨法容易與統計的「移動平均」（rolling mean，取最近 \(k\) 期）混淆，但兩者共享一個核心思想：用局部平均抑制個別觀察值的雜訊。差異在於：

存貨的移動平均是事件驅動（每筆進貨觸發更新），權重是數量；
統計的移動平均是時間驅動（每期重新計算），權重常為等權或指數衰減。

後者在《管理的數學》第 2 章預測與第 7 章品質管制的管制圖（移動全距）中反覆出現，而《金融的數學》第 3 章的移動平均線更是技術分析的基礎工具。同一個平均公式，在存貨、品質、金融三個世界各自落地——這是本書「數學結構跨行業重用」主題的又一次示範。

前因後果與驅動關係#

實務驅動：批次多、單價雜的商品（五金、藥品、油品）使逐層認定的管理成本過高，平均法以「一個數字管一個倉」大幅簡化帳務；石油業尤其依賴——油槽裡的油物理上就是混雜的，實體本身即是混合物，平均法反而是最寫實的成本假設。
理論的回饋：遞迴更新公式 \(\bar{c}_1=\lambda c_1+(1-\lambda)\bar{c}_0\) 使「新資料如何修正舊估計」成為可分析的數學物件，其收斂性（平均最終貼近最新市價的快慢）決定了通膨環境下平均法與 FIFO 的差距；這條線一直延伸到現代濾波理論（Kalman 濾波即「加權更新的最優版」）。
跨章接點：本節與 5.1 節共同驗證的「FIFO ≤ 平均 ≤ LIFO」排序，是 5.3 節毛利結構分析的比較基準；平均成本對毛利的平滑效果影響 8.2 節 DuPont 分解的跨期可比性；10.1 節通貨膨脹會計將質疑一切「歷史成本平均」的意義。
兄弟書接點：《管理的數學》第 2 章指數平滑、第 7 章品質管制共用本節的更新公式；《金融的數學》第 3 章移動平均線是同一思想在價格序列上的應用；《經濟的數學》第 10 章以「移動平均去除季節性」處理時間序列——平均化的數學是三本書共用的工具箱。

練習#

存量 200 件、平均成本 15 元，進貨 100 件@21 元。用更新公式求新平均成本；再用「新平均 × 總量 = 舊總成本 + 新進成本」覆核。
承例題 5.2.1，若 3/28 的銷售量改為 120 件，重算移動平均法下的銷貨成本與期末存貨。
證明：對任意進貨序列，「定期加權平均」的銷貨成本落在 FIFO 與 LIFO 之間（提示：遞增數列的前綴和、全體和、後綴和的排序）。
某倉庫三批進貨：100 件@10、200 件@14、100 件@18。算定期加權平均單位成本，並與「先以 200 件為一批、再以 200 件為一批」的分批平均比較，說明差異來源。
思考題：移動平均法的單位成本 \(\frac{2464}{95}\) 是循環小數，實務上須四捨五入。請討論：捨入誤差會累積嗎？會計系統通常如何設計以保證「期末存貨＋累計銷貨成本＝可供銷售成本」在捨入後仍嚴格成立（提示：以「差額倒擠」或尾差調整）？

名詞速查表#

加權平均法：以數量為權重計算單位平均成本的存貨計價法。
移動平均法：永續盤存制下，每筆進貨後重新計算平均成本的加權平均。
更新公式： \(\bar{c}_1=\lambda c_1+(1-\lambda)\bar{c}_0\) ，新平均為新舊資訊的凸組合。
定期 vs 永續：整期一次平均 vs 逐筆更新平均的兩種盤存制度。
凸組合：權重非負且和為 1 的線性組合，結果必落在兩端之間。
尾差調整：因捨入產生的零星差額，以倒擠方式歸入期末存貨。

（本節完）