6.1 固定成本與變動成本的線性分解#
本章導言#
成本行為（cost behavior）的分類並非始於成本會計教科書，而是工業革命將「分攤」從家庭手工坊推向大規模機械生產的必然產物。十八、十九世紀的英國棉紡、冶鐵廠房一次投下巨額廠房、機器資本，卻每天只需支付少量燃料與工資。廠主很快發現一個關鍵事實：生產一件產品的「平均單位成本」會隨產量上升而下降。
這個觀察與傳統上「按實際耗用分攤」的思路截然不同。若只會把總成本除以總產量，便無法回答最關鍵的經營問題：「多生產一單位，總成本會增加多少？」「停產一部分，能省下多少？」要回答這些問題，必須先劃分成本對產量的依存關係。
十九世紀末，工程師與會計人員開始嘗試用直線近似描述成本與產量的關係。此時雖未必有嚴格的迴歸理論（最小平方法由 Gauss 與 Legendre 於十八、十九世紀發展，直到二十世紀才廣泛用於成本預測），但「固定－變動」的二分法已逐漸成形。到了二十世紀初，管理會計才正式將此分類制度化，並為後來的本量利分析（Cost-Volume-Profit, CVP）奠定基礎。
一、總成本的線性模型#
設某一相關範圍（relevant range）內，總成本 \(TC(Q)\) 可近似為固定成本與變動成本之和：
其中 - \(FC\) ：固定成本（fixed cost），在相關範圍內不隨產量 \(Q\) 變動（廠房租金、折舊、保險等）。 - \(v\) ：單位變動成本（variable cost per unit），每增加一單位產量所增加的變動成本（直接材料、直接人工、部分動力費等）。 - \(Q\) ：產量（或銷量），以適當單位衡量。
平均單位成本 \(AC(Q)=\frac{TC(Q)}{Q}=\frac{FC}{Q}+v\) 會隨 \(Q\) 遞減，這正是早期廠主觀察到的「規模經濟」近似現象。
二、從實務到數學的分解思路#
實務上，並非所有成本都能一眼劃分。常用的區分方法有三種：
- 工程法（engineering approach）：根據生產技術規格直接估算材料、工時等單位用量。
- 帳戶分析法（account analysis）：檢視各科目性質，由熟悉業務者判斷固定或變動。
- 高低點法（high-low method）：取歷史最高與最低產量對應的總成本，計算單位變動成本，再推算固定成本。
高低點法最能體現「用兩點決定一直線」的線性分解思想。雖然它對極端值敏感，卻簡潔地揭示了線性模型的假設：在相關範圍內，成本行為近似線性。
例題 6.1.1：高低點法求固定與變動成本#
某工廠過去六個月份的產量與維修成本如下：
| 月份 | 產量 \(Q\) （單位） | 維修成本（元） |
|---|---|---|
| 1 | 4,000 | 26,000 |
| 2 | 5,000 | 29,000 |
| 3 | 6,000 | 32,000 |
| 4 | 7,000 | 35,000 |
| 5 | 8,000 | 38,000 |
| 6 | 9,000 | 41,000 |
試用高低點法分解固定成本與單位變動成本。
解：
最高點： \(Q_h=9,000\) ，成本 \(C_h=41,000\) 。
最低點： \(Q_l=4,000\) ，成本 \(C_l=26,000\) 。
單位變動成本 $$ v=\frac{C_h-C_l}{Q_h-Q_l}=\frac{41,000-26,000}{9,000-4,000}=\frac{15,000}{5,000}=3\ (\text{元/單位}). $$
以最高點代入 \(C_h = FC + v Q_h\) ： $$ FC = C_h - v Q_h = 41,000 - 3\times 9,000 = 41,000 - 27,000 = 14,000\ (\text{元}). $$
驗證最低點： \(14,000 + 3\times 4,000 = 14,000 + 12,000 = 26,000\) ，與實際相符。
故成本函數 $$ TC(Q)=14,000 + 3Q. $$
三、相關範圍與線性近似的限度#
線性模型並非普遍真理，而是相關範圍內的工程近似。
- 超出相關範圍：產量極低時，固定設備未充分利用可能出現閒置浪費；產量極高時，需加班、設備保養頻繁、甚至增設產線，成本行為可能變成階梯式或曲線式。
- 混合成本（semi-variable）：水電費、電話費常同時含固定基本費與變動計量費。實務上仍會先拆解為 \(FC + vQ\) 再納入 CVP 分析。
- 時間觀點：長期中幾乎所有成本都具彈性，短期才較明顯呈現「固定」性質。所謂固定成本多是短期承諾的結果。
正因模型有此限度，CVP 分析才強調「相關範圍假設」不可忽略。
前因後果與驅動關係#
- 實務驅動（前因）：工業革命的固定資本擴張使廠主亟需判斷「擴產是否划算」。傳統加總成本法無法區分「不可避免」與「可增減」的成本，於是催生固定－變動分類。
- 理論回饋（後果）：線性分解為第 6.2 節的損益兩平點、6.3 節的邊際貢獻與多產品分析提供代數基礎。第 2 章的線性代數觀念也能用向量觀點詮釋成本結構，但本節最直接的工具仍是一次方程。
- 跨書聯繫：《管理的數學》第 4 章（存貨管理）與第 3 章（線性規劃）都會用到「變動成本」概念。《經濟的數學》第 4 章（生產成本）則從邊際成本理論說明短期固定成本的經濟意涵，兩者雖切入角度不同，卻共享同一個成本行為的洞見。
- 思想轉向：成本會計從「事後分配」（歷史成本歸屬）逐漸轉向「事前決策」（邊際思考），此轉向是管理會計脫離單純簿記而成為決策工具的關鍵一步。
練習#
- 計算題：某公司某月最高產量 10,000 單位、總成本 85,000 元；最低產量 6,000 單位、總成本 61,000 元。用高低點法求 \(FC\) 與 \(v\) ，並寫出 \(TC(Q)\) 。
- 計算題：承上題，若預計產量 8,000 單位，預測總成本為多少？平均單位成本為多少？
- 應用題：說明「相關範圍」假設對高低點法可靠性的影響。若實際產量常落在遠超歷史高點的範圍，會產生什麼風險？
- 分析題：廠房租金是固定成本，卻可能在簽約到期、決定擴建時成為可避免成本。請說明「固定」與「可避免」這兩個概念的差異。
- 思考題：高低點法只用兩點，為何仍廣為實務採用？它相較於僅憑帳戶分析法有何優缺點？
名詞速查表#
- 固定成本（fixed cost, \(FC\) ）：相關範圍內總額不隨產量變動的成本。
- 變動成本（variable cost）：總額隨產量變動而變動的成本，常以單位變動成本 \(v\) 表示。
- 混合成本（semi-variable cost）：同時具固定與變動成分的成本。
- 相關範圍（relevant range）：成本行為近似線性的產量（或活動水準）區間。
- 高低點法（high-low method）：利用最高與最低兩點估計固定與變動成本的簡單線性法。
- 平均單位成本（average cost per unit）： \(AC(Q)=TC(Q)/Q\) ，在固定成本存在下隨產量下降。
（本節完）