跳轉到

3.1 Bernoulli、二項與 Poisson#

本章導言#

最簡單的隨機事件只有兩種結局：成功或失敗。把這個「一次試驗」重複 \(n\) 次、計數成功次數，就得到二項分布；當試驗次數大而單次機率小、只關心「罕見事件發生幾次」時，二項分布極限為 Poisson 分布。這三個分布在 1713 年至 1838 年間先後成形，至今仍是計數資料統計的支柱。

Bernoulli 分布：最小單元#

一次成功機率為 \(p\) 的試驗，結果變數 \(X \in \{0, 1\}\) 服從 Bernoulli 分布：

\[ P(X = 1) = p, \qquad P(X = 0) = 1 - p \equiv q. \]

顯然 \(\mathbb{E}[X] = p\) 、 \(\operatorname{Var}(X) = pq\) 。這個分布以 Jacob Bernoulli（雅各．白努利，1654–1705） 命名——他生前完成了史上第一部機率巨著《推測術》（Ars Conjectandi），死後由侄子 Nicolaus 於 1713 年出版。書中最著名的貢獻是大數法則（5.1 節），但作為理論基石的「兩點分布」也在此書的計數框架中首次被系統使用。

二項分布：n 次試驗的計數#

\(n\) 次獨立同分布的 Bernoulli 試驗中成功次數 \(X\) 服從二項分布：

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}, \qquad k = 0, 1, \ldots, n. \]

由 1.2 節的組合數直接得出；其期望與變異數：

\[ \mathbb{E}[X] = np, \qquad \operatorname{Var}(X) = npq. \]

歷史上這個公式的誕生過程饒有趣味。Jacob Bernoulli 在《推測術》中處理了「多次試驗至少成功 \(k\) 次」的問題；他的侄子 Nicholas Bernoulli（1687–1759） 在 1713 年版書中提出了著名的射擊問題（發彈 10 發、單發命中率 \(\frac{1}{5}\) ，求至少 5 發命中的機率）；de Moivre 在 1711–1718 年《機遇原理》中系統化二項機率的計算，並在 1730 年《分析雜論》中以 Stirling 公式（ \(n! \sim \sqrt{2\pi n}\, (n/e)^n\) ，Stirling 1730、de Moivre 同期獨立獲得）逼近二項係數——這條路徑直接通向 1733 年的常態極限（3.2 與 5.2 節）。

二項分布最著名的歷史應用是 Laplace 對男嬰出生率的檢驗（1781 年起）：他檢視倫敦、巴黎、聖彼得堡近半百萬出生紀錄，男嬰比例 \(p \approx \frac{22}{43} \approx 0.512\) ，且以二項分布的機率計算證明「 \(p = \frac{1}{2}\) 」的假設在巴黎數據下極不合理（偏差超過 25 個標準差）——這是史上第一個大規模的統計假設檢驗，比 Gosset 早了一百三十年。

Poisson 分布：罕見事件的定律#

Poisson 分布（Siméon Denis Poisson（卜瓦松，1781–1840），1838 年《刑事與民事判決中機率的應用》）：

\[ P(X = k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}, \qquad k = 0, 1, 2, \ldots \]

它作為二項分布的極限誕生：令 \(n \to \infty\) 、 \(p \to 0\) 、 \(np \to \lambda\) ，則

\[ \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \;\longrightarrow\; e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}. \]

證明思想（Laplace 1837 年已有類似結果；Poisson 給出系統闡述）：寫 \(\binom{n}{k}p^k \approx \frac{(np)^k}{k!}\) （固定 \(k\) ），且 \(\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^n \to e^{-\lambda}\) 。期望與變異數同為 \(\lambda\) ——「均值即方差」是 Poisson 分布的身份證明，實務上常用來診斷計數資料是否超離散（overdispersion）。

Poisson 研究它的動機是司法統計：判決錯誤是罕見事件，「冤案數」適合用罕見事件分布建模。真正讓此分布走紅的是 Ladislaus von Bortkiewicz（1868–1931） 1898 年的專著《小數法則》：他分析普魯士 14 個騎兵團 20 年的紀錄，士兵被馬踢死屬罕見事件，理論 Poisson 頻率與實際頻率吻合得驚人（例如 \(\lambda \approx 0.61\) 時，理論預測 108.7 個團年零死亡、實際 109 個）。「小數法則」之名與 Poisson「大數法則」之名相映成趣。

三個分布的譜系#

分布 參數 支持 期望 變異數 誕生年
Bernoulli \(p\) \(\{0,1\}\) \(p\) \(pq\) 1713
Binomial \(n, p\) \(\{0, \ldots, n\}\) \(np\) \(npq\) 1713
Poisson \(\lambda\) \(\{0,1,2,\ldots\}\) \(\lambda\) \(\lambda\) 1838（極限關係 1837 前）

三者的 MGF（見 2.3 節）：Bernoulli \(M(t) = q + pe^t\) ；二項 \(M(t) = (q + pe^t)^n\) ；Poisson \(M(t) = e^{\lambda(e^t - 1)}\) 。由 MGF 相乘律立即看出「獨立二項之和（同 \(p\) ）仍是二項、獨立 Poisson 之和仍是 Poisson」——可加性是這個家族的內在秩序。

一個具體例題#

例題 3.1.1：某醫院急診室平均每小時有 2.5 起車禍傷患就診。(a) 用 Poisson 分布求一小時內恰有 5 起的機率；(b) 求一小時內超過 4 起的機率；(c) 證明此問題以 4800 個「每 0.75 秒為一格」的 Bernoulli 近似（每人一格、每格 2.5/4800）時，誤差可以忽略。

解：

(a) \(\lambda = 2.5\) ：

\[ P(X = 5) = e^{-2.5} \frac{2.5^5}{5!} = e^{-2.5} \times \frac{97.65625}{120} \approx 0.08208 \times 0.8138 \approx 0.0668. \]

(b) 逐項計算或用互補：

\[ P(X \ge 5) = 1 - e^{-2.5}\left(1 + 2.5 + \frac{2.5^2}{2} + \frac{2.5^3}{6} + \frac{2.5^4}{24}\right) = 1 - 0.08208 \times 7.1109 \approx 1 - 0.8912 \approx 0.1088. \]

(c) 罕見事件格點化： \(n = 4800\) 、 \(p = \frac{2.5}{4800} \approx 0.000521\) ，則 \(np = 2.5 = \lambda\) 。由 Poisson 極限定理，

\[ P_{\text{Bin}}(X = k) = \binom{4800}{k} p^k (1-p)^{4800-k} \approx e^{-2.5} \frac{2.5^k}{k!}, \]

相對誤差量級為 \(O(np^2) \approx 0.0013\) （更精確的界可證相鄰分布機率的逐項比值偏差不超過 \(\frac{np^2}{2(1-p)}\) 量級）——工程上完全可忽略。這個「把時間切成極細格、每格發生機率極小」的圖像，正是 6.3 節 Poisson 過程的建構起點：Poisson 分布是 Poisson 過程在固定時間窗上的快照。

歷史啟示#

  • 極限創造新對象：Poisson 分布不是「發明」的，而是從二項分布的極限中「湧現」的——數學中許多重要對象都是極限過程的孩子。
  • 司法統計的遠見：Poisson 用數學研究冤案機率，開啟了「社會數據的機率建模」；Bortkiewicz 的馬踢數據則證明理論可以接受自然界的檢驗。
  • 可加性即家族秩序：MGF 相乘律揭示的「和仍同族」性質，使這三個分布在建立抽樣理論與品質管制（如 Shewhart 管制圖 1924）時成為標準零件。
  • 從賭桌到出生率：Laplace 的男嬰統計顯示，同一套二項工具可以從骰子移到百萬人的公共數據——統計學的社會科學化由此啟程。

與其他章節及領域的關聯#

  • 1.2 節： \(\binom{n}{k}\) 是二項分布的組合核心。
  • 2.3 節：MGF 相乘律統一了三者的可加性證明。
  • 5.1 節：Jacob Bernoulli 的大數法則正是「頻率收斂到 \(p\) 」的二項分布理論。
  • 6.3 節：Poisson 過程是 Poisson 分布的動態化，兩者以「時間窗快照」相連。
  • 8.3、9.2 節：二項比例的檢定與區間估計（如 Pearson 卡方 1900 年的適合度檢定）是本節分布的推論學。
  • 品質管制：二項不良率管制圖與 Poisson 缺點數管制圖是二戰後工業統計的標準工具。
  • 天文學與生態學：星空計數、物種分布的 Poisson 檢驗是二十世紀初的經典應用。

練習#

  1. 設 \(X \sim \text{Binomial}(10, 0.3)\) 。求 \(P(X \le 2)\) ，並用 Poisson( \(\lambda = 3\) ) 近似比較誤差。
  2. 某網站平均每分鐘收到 4 個請求，服從 Poisson。求 30 秒內零請求與至少 3 個請求的機率。
  3. 證明二項分布的眾數為 \(\lfloor (n+1)p \rfloor\) （並說明 \((n+1)p\) 為整數時有雙眾數）。
  4. 用遞迴關係 \(P(X = k+1) = \frac{\lambda}{k+1} P(X = k)\) 說明如何快速計算 Poisson 機率表，並以 \(\lambda = 2.5\) 計算前四項。
  5. 思考題：Bortkiewicz 的騎兵數據為何需要「團×年」作為觀測單位而非「年」？請討論計數資料建模中「單位選擇」與 Poisson 過程（6.3 節）速率 \(\lambda\) 的關係。

進階研讀：計數分布的五個深化場景#

場景一：De Moivre–Laplace 局部與積分極限。二項機率在 \(k \approx np\) 處有常態近似： \(P(X = k) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}} e^{-(k-np)^2/(2npq)}\) （局部定理，de Moivre 1733）；部分和則有積分版本（Laplace 1812），加上 0.5 的連續性修正後精度大增。這條 1733 年的路是中央極限定理（5.2 節）的誕生地。

場景二：稀疏化與超位置。Poisson( \(\lambda\) ) 中以機率 \(p\) 標記每個事件、只計標記者，得 Poisson( \(\lambda p\) )——稀疏化。反過來，多個獨立 Poisson 之和是 Poisson（和參數）——超位置。這兩條性質使 Poisson 過程（6.3 節）成為排隊理論「多來源流量匯聚與分流」的標準模型，Palm（1943）與 Khinchine（1955）的排隊論經典以此為地基。

場景三：負二項分布與超離散。實際計數資料常「方差大於均值」（如流行病傳染、生態群聚）。把 Poisson 的 \(\lambda\) 本身隨機化（取 Gamma 分布再混合）得到負二項分布（Neyman 1939 年的傳染分布是相關家族）。這個「混合模型」策略是現代統計中 GLM（廣義線性模型，Nelder–Wedderburn 1972）處理計數資料的標準手法，也示範了「分布的分布」這個建構原理。

場景四：Bernoulli 試驗的相依擴充。真實世界的試驗常不獨立：抽樣不放回使成功次數服從超幾何分布（彩票中獎、生態標記再捕獲的基礎）；Markov 依賴則導向 6.2 節的鏈。de Moivre 在《機遇原理》問題 XXXV 已處理超幾何型的「賭局中勝局數」問題，顯示相依計數與獨立計數同樣古老。

場景五：Poisson 分布與證明深度。Poisson 極限的現代最短證明用特徵函數：Binomial( \(n,p\) ) 的 PGF \((1 - p + ps)^n \to e^{\lambda(s-1)}\) （ \(np = \lambda\) 固定），由 PGF 收斂定理即得。更一般地，Le Cam（1960）定理給出二項與 Poisson 的總變差距離上界 \(\le n p^2\) （即 \(\frac{\lambda^2}{n}\) ）——「近似品質」可以量化，這是二十世紀機率論把「極限」升級為「誤差界」的又一範例。

名詞速查表（本節出現的核心術語）#

  • Bernoulli 分布：單次成敗試驗， \(\mathbb{E} = p\) 、 \(\operatorname{Var} = pq\) 。
  • 二項分布： \(n\) 次獨立試驗成功次數， \(\mathbb{E} = np\) 、 \(\operatorname{Var} = npq\) 。
  • Poisson 分布：罕見事件計數， \(\mathbb{E} = \operatorname{Var} = \lambda\) 。
  • Poisson 極限定理： \(n \to \infty\) 、 \(np \to \lambda\) 時二項 \(\to\) Poisson。
  • 小數法則：Bortkiewicz 對 Poisson 分布經驗驗證的稱呼。
  • 超離散：方差大於均值的計數資料，常以負二項建模。
  • 稀疏化／超位置：Poisson 型分布的分流與匯總性質。
  • 超幾何分布：不放回抽樣的成功次數分布。

年表速查（本節涉及的關鍵年份）#

  • 1713：Jacob Bernoulli《推測術》出版（去世後，由侄子整理）。
  • 1711–1718：de Moivre《機遇原理》系統化二項機率。
  • 1730：de Moivre《分析雜論》，Stirling 型公式逼近二項係數。
  • 1733：de Moivre 導出二項的常態極限。
  • 1781 起：Laplace 以二項分布檢驗男嬰出生率。
  • 1837：Laplace（於遺稿/書信）與 Poisson 給出二項→Poisson 極限。
  • 1838：Poisson《判決機率應用》發表其分布。
  • 1898：Bortkiewicz《小數法則》，騎兵數據驗證。
  • 1924：Shewhart 管制圖，計數分布在工業統計落地。
  • 1939：Neyman 傳染分布，超離散計數模型。
  • 1960：Le Cam 給出 Poisson 近似的定量誤差界。
  • 1972：Nelder–Wedderburn GLM，計數回歸標準化。

深化問答三則#

問：為什麼 Poisson 分布的均值和方差一定相等？ 答：由極限機制看：二項的方差 \(npq = np(1-p) \to \lambda \cdot 1\) ，而 \(np \to \lambda\) ，兩者在「 \(p \to 0\) 」的極限下重合。由結構看：Poisson 是「事件彼此互不干擾」的極限模型，事件之間無擠壓也無吸引，散布恰由計數的隨機性決定。實務上若觀測到方差明顯大於均值，即表示事件有群聚或異質——這個診斷法（離散指數 \(D = s^2/\bar{x}\) ）在生態學中稱為方差均值比檢定。

問：Laplace 檢驗男嬰比例的方法與現代假設檢定有何異同？ 答：相同處：都以「若 \(p = 1/2\) ，觀測偏差的機率」為判準，本質是尾機率（p-值）思想。不同處：Laplace 是貝氏學派，他實際上計算的是「給定數據後 \(p\) 落在某區間」的後驗機率（1.3 節），只是形式上等價於雙尾檢定。現代讀者應注意：同一計算、兩種詮釋（9.3 節將再現這個對比）。

問：為什麼罕見事件在自然界如此普遍地服從 Poisson？ 答：Poisson 只需要三個條件：(1) 在微小區間內事件機率與區間長度成正比；(2) 獨立區間互不影響；(3) 瞬時兩起事件機率可忽略。任何「大量獨立小機會、偶爾爆發」的系統——放射性衰變、電話呼叫、基因突變、保險索賠——都自動滿足。這是「極限定律」優於「機制模型」的典範：不必知道微觀細節，只要滿足稀疏性條件，分布形狀就被決定。

（本節完）