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1.1 牛頓與萊布尼茲：微積分為力學而生（1687）【物理→數學】#

前因：行星不聽古典幾何的話#

Kepler（1609–19）由觀測歸納三定律，但「為什麼」無人能答。要從「瞬時速度不斷變化」推出橢圓軌道，需要一門描述連續變化的數學——古希臘幾何只處理靜態圖形，窮竭法太笨重。牛頓（流數術，1665–）與萊布尼茲（1675–）各自發明微積分；牛頓在《自然哲學的數學原理》（1687）中用它統一了蘋果與月亮。

構造#

三個互相支撐的發明：

  1. 導數：瞬時變化率 \(v = \dot x = \dfrac{dx}{dt}\) ——「瞬時速度」從悖論變成定義。
  2. 積分：變力作的功 \(W = \int F\, dx\) 、掃過面積。
  3. 微分方程：力學定律本身寫成方程
\[F = m\ddot x \quad \Longleftrightarrow \quad m\ddot x = -\frac{GMm}{r^2}\]

牛頓的推理鏈（數學證明物理）：平方反比力 → 圓錐曲線軌道 → Kepler 三定律。物理第一次以「定理」的形式出現。

萊布尼茲的貢獻：記號 \(\frac{dy}{dx}\) 、 \(\int\) ，以及「微積分基本定理」的清晰表述——求積（面積）與求率（切線）互逆。記號即語言：萊布尼茲式記號主導了歐陸，使分析學迅速擴張。

後果#

  1. 數學的加速度：為解力學 PDE，伯努利家族、Euler、Lagrange 開創流體力學、剛體力學、分析學——18 世紀被稱為「力學的世紀」。
  2. 嚴格化的債：無窮小的邏輯漏洞（Berkeley 的批評）要到 19 世紀實分析（見本書姊妹篇 3.1）才還清——物理先行、邏輯後補成為常見模式。
  3. 預測力的展示：海王星（1846）由攝動計算預言並被望遠鏡找到——數學預言物理的第一個世紀級案例。

練習與思考#

  1. 由圓軌道 \(v^2/r = GM/r^2\) 與 Kepler 第三定律 \(T^2 \propto r^3\) 導出 \(F \propto 1/r^2\) 。
  2. 為什麼「微分方程」的發明比「計算工具」更根本？