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1.2 最速降線與變分法（1696）【數學→物理】#

前因：一個數學挑戰改寫力學#

1696 年 Johann Bernoulli 公開挑戰：質點在重力下沿哪條曲線從 \(A\) 滑到 \(B\) 最快（非直線！）。Newton 匿名一夜解出（擺線）。這類問題的共同點：極小化的對象不是數，而是整條曲線——需要全新的數學：變分法。

構造#

問題：極小化泛函

\[T[y] = \int_A^B \frac{\sqrt{1 + y'^2}}{\sqrt{2gy}}\, dx\]

Euler–Lagrange 方程（1744）：極值曲線滿足

\[\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} = 0\]

答案：擺線（圓滾線）。Bernoulli 用 Fermat 最短時間原理（光學）解出——光線折射與力學質點在數學上同構。

Maupertuis 最小作用量原理（1744–46）：自然選擇使作用量 \(S = \int p\, dq\) 極小的路徑。力學從「力推動質點」改寫為「整體極值原理決定路徑」——物理定律獲得變分法的形式。

後果#

  1. 分析力學（1.3）：Lagrange 把力學完全變分法化。
  2. 幾何光學與力學的統一：Hamilton 延續此同構，發現波動與軌跡的對應——百年後成為 Schrödinger 方程的靈感（4.2）。
  3. 諾特定理的地基（4.1）：對稱與守恆的橋樑就建立在作用量泛函上。
  4. 數學內部：變分法催生泛函分析（函數空間上的微積分）、極小曲面、測地線理論（3.1）。

練習與思考#

  1. 證明：若 \(L\) 不顯含 \(x\) ，則 \(\frac{\partial L}{\partial y'} y' - L =\) 常數（Beltrami 恆等式），並用它解最速降線。
  2. 「局部方程（E–L）」與「整體極值（作用量）」兩種表述為什麼等價又各有優勢？