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3.1 RIESZ表示定理與伴隨#

本章導言#

1907 年，Frigyes Riesz（1880–1956） 與 Ernst Fischer 各自證明了劃時代的結果： \(L^2\) 空間完備，且每個有界線性泛函 \(\varphi\) 可唯一表示為內積 \(\varphi(x) = \langle x, y\rangle\) 。這就是 Riesz 表示定理。它使 Hilbert 空間自對偶：泛函與向量合而為一，第 2 章的伴隨算子 \(T^* : Y^* \to X^*\) 得以「搬回」原空間，成為內積空間上的內生概念。本章的整座建築——自伴算子、正算子、譜定理——都立於這一塊基石上。

定理與證明#

定理 3.1.1（Riesz 表示定理）：設 \(H\) 為 Hilbert 空間， \(\varphi \in H^*\) 。則存在唯一 \(y \in H\) 使

\[ \varphi(x) = \langle x, y\rangle \quad \forall x \in H, \qquad \text{且 } \|\varphi\| = \|y\|. \]

證明：唯一性：若 \(\langle x, y\rangle = \langle x, y'\rangle\) 對一切 \(x\) ，取 \(x = y - y'\) 得 \(\|y - y'\|^2 = 0\) 。

存在性：若 \(\varphi = 0\) 取 \(y = 0\) 。否則 \(M = \ker\varphi\) 是真閉子空間，取 \(z \in M^\perp\) ， \(z \neq 0\) （正交分解定理， \(H = M \oplus M^\perp\) ）。對任意 \(x\) ， \(x - \frac{\varphi(x)}{\varphi(z)} z \in M\) ，故與 \(z\) 正交：

\[ \varphi(x)\langle z, z\rangle - \varphi(z)\langle x, z\rangle = 0 \;\Longrightarrow\; \varphi(x) = \left\langle x, \frac{\overline{\varphi(z)}}{\|z\|^2} z \right\rangle. \]

範數： \(\|\varphi\| = \sup_{\|x\|\le1}|\langle x, y\rangle| \le \|y\|\) ，且取 \(x = y/\|y\|\) 得等號。∎

注意證明的兩個引擎：正交分解（ \(H = M \oplus M^\perp\) ）與閉子空間的補存在。有限維中這是顯然的；無窮維中需要完備性——這就是為什麼 Hilbert 空間（完備內積空間）是正確的公理，而任意內積空間不夠。

Hilbert 伴隨#

定義 3.1.2： \(T \in \mathcal{B}(H)\) ，其 Hilbert 伴隨 \(T^\dagger\) 為滿足

\[ \langle Tx, y\rangle = \langle x, T^\dagger y\rangle \quad \forall x, y \in H \]

的唯一有界算子。

存在性：固定 \(y\) ， \(x \mapsto \langle Tx, y\rangle\) 是有界泛函（ \(|\cdot| \le \|T\|\|y\|\|x\|\) ），由 Riesz 表示定理存在唯一 \(T^\dagger y\) ；線性與有界性（ \(\|T^\dagger\| = \|T\|\) ，仿 2.3 節論證）隨之。∎

基本性質： \((S + T)^\dagger = S^\dagger + T^\dagger\) 、 \((ST)^\dagger = T^\dagger S^\dagger\) 、 \((T^\dagger)^\dagger = T\) 、 \(\|T^\dagger T\| = \|T\|^2\) （最後一式即 \(C^*\) 恆等式，8.2 節）。

對矩陣， \(T^\dagger\) 就是共軛轉置——Riesz 表示定理說明：Hilbert 空間上的伴隨理論是線性代數的無窮維延伸，而 Banach 空間上的伴隨（2.3）是更廣但更疏遠的推廣。

例題#

例題 3.1.1：在 \(L^2[0,1]\) 上，求 Volterra 算子 \((Tf)(x) = \int_0^x f(t)\,dt\) 的伴隨，並驗證 \(T\) 不自伴、 \(T^\dagger T\) 自伴。

解：對 \(g \in L^2\) ，

\[ \langle Tf, g\rangle = \int_0^1 \left(\int_0^x f(t)\,dt\right)\overline{g(x)}\,dx = \int_0^1 f(t)\left(\int_t^1 \overline{g(x)}\,dx\right)dt = \left\langle f, T^\dagger g \right\rangle, \]

其中 \(T^\dagger g(t) = \int_t^1 g(x)\,dx\) （把積分上限與下限互換——Volterra 三角形被翻轉）。若 \(T = T^\dagger\) 則核需對稱 \(K(x,t) = \overline{K(t,x)}\) ，但 \(\mathbf{1}_{t \le x} \neq \mathbf{1}_{x \le t}\) ，故不自伴。而 \((T^\dagger T)^* = T^* T^{**} = T^\dagger T\) ，恆自伴——這個「 \(T^\dagger T\) 自伴且正」的觀察是處理非自伴算子的標準起點（奇異值理論，6.2 節）。∎

例題 3.1.2：用 Riesz 表示定理證明： \(H\) 中閉單位球上存在達到範數的點對每個泛函成立；並由此證明自伴算子範數公式 \(\|T\| = \sup_{\|x\|=1} |\langle Tx, x\rangle|\) （留給 3.2 節證明的預告，此處先證 \(\|T\| \le 2\sup|\langle Tx,x\rangle|\) ）。

解：極化恆等式 \(\operatorname{Re}\langle Tx, y\rangle = \frac14\big(\langle T(x+y), x+y\rangle - \langle T(x-y), x-y\rangle\big)\) 配合平行四邊形恆等式，得 \(|\operatorname{Re}\langle Tx,y\rangle| \le \frac{M}{2}(\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2) = M(\|x\|^2 + \|y\|^2)\) ，其中 \(M = \sup_{\|u\|=1}|\langle Tu,u\rangle|\) 。取 \(y = Tx/\|Tx\|\) ： \(\|Tx\| \le M(\|x\|^2 + \|Tx\|^2/\|T\|^2)\) 對 \(\|x\|=1\) ，解出 \(\|T\| \le 2M\) 。∎

（改進到 \(\|T\| = M\) 需要範數達到點，正是 3.2 節的內容。）

二次型的視角#

Riesz 表示定理的另一個面向：雙線性型與算子的對應。設 \(a : H \times H \to \mathbb{C}\) 有界共軛雙線性，則存在唯一 \(T \in \mathcal{B}(H)\) 使 \(a(x,y) = \langle Tx, y\rangle\) 。這在 PDE 中的應用是 Lax–Milgram 定理（1954）：設 \(a\) 強制（ \(a(x,x) \ge c\|x\|^2\) ），則對每個泛函 \(f\) ，方程 \(a(u, v) = f(v)\) 有唯一弱解。這是橢圓邊值問題存在性的標準工具——Riesz 定理在「非對稱強制型」下的推廣。一次型→算子→方程可解性這條鏈，把 1907 年的定理變成 1954 年 PDE 的引擎。

歷史啟示#

  • 1907 年的雙子星：Riesz 與 Fischer 各自證明 \(L^2\) 完備性（Riesz–Fischer 定理）；Riesz 進一步給出表示定理。「Lebesgue 積分是對的」至此無可懷疑——完備的 \(L^2\) 使 Fourier 級數的 Hilbert 理論成立。
  • 自對偶使幾何化可能：Banach 空間中 \(X\) 與 \(X^*\) 是不同的世界；Hilbert 空間中它們自然同構。「泛函=向量」使正交、夾角、投影全部可用，譜理論獲得幾何語言。
  • Riesz 的雙兄弟：Frigyes Riesz 是泛函分析巨匠；其弟 Marcel Riesz 是數學物理學家（Riesz 核、波動方程的 M. Riesz 表示）。兄弟倆各開一脈。

與其他章節及領域的關聯#

  • 2.3 節：Banach 對偶 \(X^*\) 與 Hilbert 自對偶的對照是本節的骨架； \(\|T^\dagger\| = \|T\|\) 對應 2.3 的伴隨範數定理。
  • 3.2 節：自伴性 \(T = T^\dagger\) 的定義依賴本節；自伴算子的實譜性證明直接用 \(\langle Tx,x\rangle \in \mathbb{R}\) 。
  • 3.3 節：投影 \(P_M\) 的定義（正交分解）是本節證明中用過的工具的獨立化。
  • 第 6 章：譜定理的「泛函演算」立於二次型 \(\langle f(A)x, x\rangle\) 的表示之上。
  • 第 7 章：Lax–Milgram 定理與稠定算子的 \(T^\dagger T\) 構造（Friedrichs 擴張，7.3）同源。
  • 第 10 章：量子力學的可觀測量=自伴算子，其定義就是「伴隨等於自己」；Dirac 記號 \(\langle\psi|A|\phi\rangle\) 是 Riesz 表示的物理速記。
  • 機器學習：核方法（RKHS，reproducing kernel Hilbert space）的「再現性 \(f(x) = \langle f, K_x\rangle\) 」正是 Riesz 表示定理的逐點版本。

練習#

  1. 完整證明 Riesz 表示定理的範數等式 \(\|\varphi\| = \|y\|\) 。
  2. 求 \(L^2[0,1]\) 上核積分算子 \((Tf)(x) = \int_0^1 e^{i(x-t)} f(t)dt\) 的伴隨，判斷其是否正規（ \(TT^\dagger = T^\dagger T\) ）。
  3. 證明有限秩算子 \(T = \sum_{k=1}^n \langle \cdot, u_k\rangle v_k\) 的伴隨為 \(T^\dagger = \sum_k \langle \cdot, v_k\rangle u_k\) 。
  4. 證明 \(T\) 正規 \(\iff\) \(\|Tx\| = \|T^\dagger x\|\) 對一切 \(x\) ，由此證明正規算子的 \(\ker T = \ker T^\dagger\) 。
  5. 思考題：RKHS 中「再現核」的構造：對每個 \(x \in X\) ，泛函 \(f \mapsto f(x)\) 有界，由 Riesz 定理得 \(K_x\) 。說明這如何把 Riesz 表示定理變成核函數的存在性定理。

進階研讀：三個深化場景#

場景一：Lax–Milgram 與 Babuška–Lax。Lax–Milgram 要求強制性；Babuška（1971）與 Nečas（1962）放寬為 inf–sup 條件（ \(a\) 在 \(V \times W\) 上滿足 \(\inf_u \sup_v a(u,v) \ge c\|u\|\) ），覆蓋混合有限元與鞍點問題。這條線把 Riesz 表示定理變成了數值分析的收斂性理論基礎。

場景二：Bessel 不等式與 Parseval。Riesz 定理的證明中，正交分解給出 Bessel 不等式 \(\sum|\langle x, u_k\rangle|^2 \le \|x\|^2\) ；等號（Parseval）當且僅當 \(\{u_k\}\) 完備。1907 年前，Fourier 級數理論糾纏於逐點收斂；之後，「 \(L^2\) 收斂」成為自然框架——分析的鬥爭被幾何化了。

場景三：對合從何而來。Hilbert 伴隨 \(T \mapsto T^\dagger\) 是 \(\mathcal{B}(H)\) 上的對合（反線性、反自同構、 \((T^\dagger)^\dagger = T\) ）。1943 年 Gelfand–Naimark 把「存在良好對合」提為公理，定義 \(C^*\) 代數（8.2）。回頭看：對合不是外加的代數裝飾，而是 Riesz 表示定理的抽象化——共軛線性對偶的幾何，凝結為代數公理。

名詞速查表#

  • Riesz 表示定理： \(\varphi(x) = \langle x, y\rangle\) ， \(\|\varphi\| = \|y\|\) ，唯一。
  • Riesz–Fischer 定理： \(L^2\) 完備； \(L^2 \cong l^2\) 。
  • **Hilbert 伴隨 \(T^\dagger\) **： \(\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^\dagger y\rangle\) 。
  • ** \(C^*\) 恆等式**： \(\|T^\dagger T\| = \|T\|^2\) 。
  • 極化恆等式：由二次型恢復雙線性型的公式。
  • Lax–Milgram 定理：強制雙線性型的可解性定理（1954）。
  • RKHS：再現核 Hilbert 空間，Riesz 定理的逐點化身。

年表速查#

  • 1907：Riesz–Fischer 定理；Riesz 表示定理（ \(L^2\) ）。
  • 1909：Riesz 表示定理（ \(C[a,b]\) ，測度形式）。
  • 1918：Riesz 緊算子譜理論（用伴隨語言）。
  • 1929：von Neumann 引入抽象 Hilbert 空間與 \(T^\dagger\) 公理化。
  • 1932：von Neumann《量子力學的數學基礎》。
  • 1943：Gelfand–Naimark 定理（對合公理化）。
  • 1954：Lax–Milgram 定理。
  • 1950s：Aronszajn 建立 RKHS 理論。

深化問答三則#

問：為什麼 Riesz 表示定理需要完備性？ 答：證明中 \(\ker\varphi\) 必須是「補存在的閉子空間」，這由正交投影定理保證，而後者需要 \(M\) 完備（閉）且 \(H\) 完備。在不完備內積空間中，存在定義在稠密子空間上的有界泛函不能延拓到全空間表示為內積——自對偶性崩潰。完備性不是技術裝飾，是自對偶的代價。

問：Riesz 定理在非 Hilbert 的 Banach 空間中有類似物嗎？ 答：有，但對偶「對象」變了： \(C(K)^*\) = 測度（Riesz 1909）、 \(L^p{}^* = L^q\) （Riesz 1910）、 \(l^1{}^* = l^\infty\) 等。共同的抽象框架是 1938 年后 Nikodym 與 Kakutani 的「表示定理的分類」。但只有 Hilbert 情形給出「同一空間的自表示」——這是內積結構的特權。

問：伴隨算子的「唯一性」為什麼重要？ 答：因為它使 \(T \mapsto T^\dagger\) 成為良定義的運算，可以疊代、可以進代數（ \(\dagger\) 是對合）。若表示不唯一（如不定內積空間），「伴隨」不再是運算而是一族算子，自伴、正規等概念全體失效。物理上，唯一伴隨保證「可觀測量的共軛操作」確定——量子力學需要的是運算，不是選擇。

（本節完）