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7.1 稠定算子與圖#

本章導言#

前六章的一切都假設算子處處定義且有界。但物理與微分方程的主角—— \(\frac{d}{dx}\) 、 \(-\Delta\) 、位置與動量——無界，且只能定義在稠密真子空間上（4.3 節 Hellinger–Toeplitz 定理警告：處處定義的對稱算子必有界）。1929 年 von Neumann 引入稠定算子與圖（graph）的語言，開創了無界算子理論。本節建立基本定義：稠定算子、圖、伴隨的微妙之處——在無界世界，「伴隨」不再是自動存在的運算，而成為理論的核心難題。

為什麼必須離開有界世界#

Hellinger–Toeplitz 定理（1912）：若對稱算子 \(A\) （ \(\langle Ax, y\rangle = \langle x, Ay\rangle\) ）定義在全空間 \(H\) 上，則 \(A\) 有界。

證明： \(A\) 對稱⇒ \(\langle Ax, y\rangle = \langle x, Ay\rangle\) 對一切 \(x, y\) 。固定 \(y\) ，泛函 \(x \mapsto \langle x, Ay\rangle = \langle Ax, y\rangle\) 有界（ \(|\cdot| \le \|y\|\|x\|\) ），由一致有界原理（Banach–Steinhaus，2.1 場景一）於算子族 \(\{A\}\) 的弱形式——實際證明：若 \(A\) 無界，存在 \(\|x_n\| = 1\) 、 \(\|Ax_n\| \to \infty\) ；對每個固定 \(y\) ， \(|\langle Ax_n, y\rangle| = |\langle x_n, Ay\rangle| \le \|Ay\|\) 有界——逐點有界列經 Banach–Steinhaus 論證（此處用「泛函 \(y \mapsto \langle Ax, y\rangle\) 」的對偶版本）導出矛盾。∎

結論：微分算子必須犧牲定義域。 \(-\frac{d^2}{dx^2}\) 在 \(L^2[0,1]\) 只能定義在 \(H^2 \cap H^2_0\) 型子空間上——而這個「邊界條件」的選擇恰是物理（邊值問題）與數學（自伴擴張的分歧）的交匯點。

稠定算子與圖#

定義 7.1.1：算子 \(A : \operatorname{dom}A \subset H \to H\) 稠定，若 \(\overline{\operatorname{dom}A} = H\) 。其圖為

\[ G(A) = \{(x, Ax) : x \in \operatorname{dom}A\} \subset H \oplus H. \]

伴隨： \(y \in \operatorname{dom}A^*\) 當且僅當存在 \(z\) 使 \(\langle Ax, y\rangle = \langle x, z\rangle\) 對一切 \(x \in \operatorname{dom}A\) ；定義 \(A^*y = z\) 。

稠密性在此本質：只有稠定算子才有（定義良好的）伴隨—— \(\langle Ax, y\rangle\) 必須連續延拓到閉包=全空間，Riesz 表示定理（3.1）才唯一確定 \(z\) 。若 \(\operatorname{dom}A\) 不稠， \(A^*\) 是多值的（可以加任意 \(\perp \overline{\operatorname{dom}A}\) 的分量）。

基本關係： - \((A + B)^* \supset A^* + B^*\) （包含可能嚴格）； - \((AB)^* \supset B^*A^*\) （順序反轉+定義域陷阱）； - \(A^*\) 總是閉算子（7.2 節）。

例題#

例題 7.1.1：在 \(L^2[0,1]\) 上考慮 \(D = \frac{d}{dx}\) 的三個定義域： (a) \(\operatorname{dom}D_0 = C_c^\infty(0,1)\) ；(b) \(\operatorname{dom}D_1 = \{f \in H^1[0,1] : f(0) = f(1) = 0\}\) ；(c) \(\operatorname{dom}D_2 = H^1[0,1]\) 。 計算各自的伴隨並比較。

解：用分部積分 \(\int f'\bar g = -\int f \bar g' + [f\bar g]_0^1\) 。

(a) \(D_0^* =\) 「在 \(H^1\) 上、無邊界條件」的 \(-\frac{d}{dx}\) ——因為緊支撐函數在邊界消失，邊界項自動為零； \(D_0^*g = -g'\) ， \(\operatorname{dom} = H^1\) 。 \(D_0\) 對稱（ \(\operatorname{ran}D_0 \subset\) 稠密驗證）但非自伴： \(\operatorname{dom}D_0 \subsetneq \operatorname{dom}D_0^*\) 。

(b) \(D_1^* g = -g'\) ， \(\operatorname{dom}D_1^* = H^1\) （邊界項 \(\equiv 0\) 因 \(f\) 邊值為零， \(g\) 自由）。故 \(D_1^* = D_2\) 型。

(c) \(D_2^*g = -g'\) ， \(\operatorname{dom}D_2^* = \{g \in H^1 : g(0) = g(1) = 0\}\) ——邊界條件翻轉到伴隨： \([f\bar g]_0^1 = 0\) 對一切 \(f \in H^1\) 迫使 \(g\) 邊值為零。

對照：(b) 與 (c) 互為伴隨； \(D_1\) 對稱（ \(\operatorname{dom}D_1 \subset \operatorname{dom}D_1^* = D_2\) 的域， \(D_1 = -\frac{d}{dx}\) 在其域上）、 \(D_2\) 亦對稱，都不是自伴（域真含於伴隨域）；自伴需要「恰好的」邊界條件——例如取 \(\operatorname{dom} = \{f \in H^1 : f(1) = e^{i\theta}f(0)\}\) （準週期條件）。邊界條件的選擇=自伴性的選擇——這是 7.3 節的主題。∎

圖的語言#

圖 \(G(A) \subset H \oplus H\) 把算子變成子空間，於是：

  • 閉性（7.2 節）： \(G(A)\) 閉；
  • 可閉化： \(\overline{G(A)}\) 仍是某算子的圖（記 \(\bar A\) ）——當且僅當 \(A\) 可閉；
  • 伴隨與圖的關係： \(G(A^*) = (J G(A))^\perp\) ，其中 \(J(x, y) = (-y, x)\) （旋轉 \(90°\) ）——伴隨=圖的正交補！這個幾何恆等式使對偶理論（2.3）與內積空間幾何（3.3）完全接管無界算子理論。

歷史注：von Neumann 1929 年論文的標題《Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren》用圖語言統一了 Hilbert 留下的無界難題；同年 Stone 獨立發展了閉算子理論。

歷史啟示#

  • 物理逼迫數學擴張：量子力學（1925–1926）需要 \(-\Delta\) 、 \(\hat p = -i\frac{d}{dx}\) 作為可觀測量；它們無界且定義域微妙。von Neumann 1927–1929 年的工作直接回應 Heisenberg–Schrödinger 理論的數學需求。
  • 定義域是結構：有界算子的定義域是隱形的（全空間）；無界算子的定義域攜帶全部物理（邊界條件=系統的拓撲/幾何）。「算子+定義域」才是完整對象——這個觀念革命與「函數+定義域」的集合論革命同構。
  • 伴隨從運算變成問題：有界時 \(A^*\) 自動存在且 \(\|A^*\| = \|A\|\) ；無界時 \(A^*\) 的定義域是理論的心臟——自伴（ \(\operatorname{dom}A = \operatorname{dom}A^*\) 、作用相同）成為需要證明的目標。

與其他章節及領域的關聯#

  • 2.1 節：例題 2.1.2 的無界微分算子是本節的引子。
  • 3.1 節：伴隨的存在性依賴 Riesz 表示定理；稠定性保證唯一性。
  • 7.2 節：閉算子與閉圖定理——圖語言的第一批定理。
  • 7.3 節：對稱 vs 自伴的精確分野；Cayley 變換與虧格指數。
  • 第 6 章：譜定理對無界自伴算子幾乎逐字成立（ \(T = \int \lambda\, dE_\lambda\) ， \(E_\lambda\) 在 \(H\) 上有界）。
  • 第 9 章： \(C_0\) 半群的生成元是稠定閉算子；Hille–Yosida 定理的預解式條件。
  • PDE：Laplace 算子的定義域選擇（Dirichlet/Neumann/Robin）=物理邊界條件；Lax–Milgram（3.1 場景一）與 Friedrichs 擴張（7.3）是構造定義域的標準工具。

練習#

  1. 證明稠定算子的伴隨是閉算子（用圖的正交補恆等式）。
  2. 對例題 7.1.1 的 \(D_1\) ：證明它是對稱的，求其虧格（預告 7.3）。
  3. 證明 Hellinger–Toeplitz 定理的完整細節（用一致有界原理）。
  4. 在 \(L^2(\mathbb{R})\) 上， \(D = \frac{d}{dx}\) 以 \(C_c^\infty(\mathbb{R})\) 為定義域：證明可閉化， \(\bar D\) 的定義域為 \(H^1(\mathbb{R})\) ，且 \(\bar D\) 對稱。 \(C_c^\infty\) 稠密嗎？
  5. 思考題：為什麼「乘法算子 \(M_x\) （ \(L^2(\mathbb{R})\) ）的極大自然定義域」是 \(\{f : \int x^2|f|^2 < \infty\}\) ？這個定義域與位置測量的物理有何關係（有限能量條件）？

進階研讀：三個深化場景#

場景一：Sobolev 空間的誕生。Sobolev（1936–1938）以「弱導數在 \(L^2\) 中」定義 \(H^1, H^2\) ——這正是「閉化微分算子後的定義域」。Sobolev 嵌入與跡定理（邊界值的意義）把定義域理論變成 PDE 的基礎設施。定義域的選擇不再任意：能量範數閉化給出 Friedrichs 域。

場景二：橢圓正則性。 \(-\Delta\) 的定義域 \(H^2 \cap H^1_0\) （光滑區域）中，定義域的「精細度」反映區域的正則性（ \(C^{1,1}\) 邊界⇒域= \(H^2\cap H^1_0\) ；角域⇒域有奇異函數）。Grisvard（1985）的理論：定義域=幾何的顯微鏡。

場景三：Form 域 vs 算子域。二次型 \(q(f) = \int |f'|^2\) （域 \(H^1_0\) ）與算子 \(-D^2\) （域 \(H^2 \cap H^1_0\) ）不同：型域更「寬」。Kato 的型理論（1961）證明「下半有界閉型↔自伴算子」一一對應（表示定理）——型比算子更穩定（型收斂容易、算子收斂難），7.3 節 Friedrichs 擴張與 9.2 節 Hille–Yosida 的型版本由此而來。

名詞速查表#

  • 稠定算子： \(\overline{\operatorname{dom}A} = H\) ；伴隨存在的條件。
  • **圖 \(G(A)\) **： \(H \oplus H\) 中子空間；算子的幾何化身。
  • **伴隨 \(A^*\) **： \(\langle Ax, y\rangle = \langle x, A^*y\rangle\) 的極大定義域版本。
  • Hellinger–Toeplitz 定理：處處定義的對稱算子必有界。
  • 圖的正交補： \(G(A^*) = (JG(A))^\perp\) 。
  • 準週期條件： \(f(1) = e^{i\theta}f(0)\) ，一維動量算子的自伴邊界條件。

年表速查#

  • 1912：Hellinger–Toeplitz 定理。
  • 1925–1926：量子力學誕生，無界算子需求出現。
  • 1927：von Neumann 首篇量子力學數學論文。
  • 1929：von Neumann 稠定算子、圖、Cayley 變換理論。
  • 1932：von Neumann《量子力學的數學基礎》；Stone 酉群定理。
  • 1936–1938：Sobolev 空間。
  • 1951：Friedrichs 對稱正系統與擴張理論。
  • 1961：Kato 型理論與表示定理。

深化問答三則#

問：為什麼 \(\operatorname{dom}A\) 必須稠密？物理上有道理嗎？ 答：數學上：伴隨唯一性。物理上：定義域是「有限能量態」的集合（如 \(\int|\nabla f|^2 < \infty\) ），它稠密因為任何物理態都可以被有限能量態任意逼近（光滑化）。不可達的「理想態」不進入定義域，但可以用極限討論——稠定性正好編碼「理想態可用有限能量態逼近」。

問：同一個微分表達式為什麼可以對應多個算子？ 答： \(\frac{d}{dx}\) 的「表達式」不定義算子——定義域才算。例題 7.1.1 顯示 Dirichlet、準週期、自由域給出不同的伴隨關係甚至不同的譜（準週期的譜 \(\{2\pi n + \theta\}\) 依 \(\theta\) 而變——邊界條件=相位=磁通（Aharonov–Bohm 的數學形態））。數學上：微分表達式=形式；算子=形式+定義域的選擇=形式+擴張。

問：圖語言為什麼是「正確」的抽象？ 答：因為它把算子理論歸約為子空間幾何：閉性=閉子空間、伴隨=正交補、擴張=包含關係。von Neumann 用它證明閉算子的譜理論；今日的研究（如閉算子的 Fredholm 指標、算子的邊界三元組）仍以圖為基本對象——好的抽象把困難變成幾何。

（本節完）