7.3 對稱算子的自伴擴張#

本章導言#

一個對稱算子（ $A \subset A^*$ ，域可微縮）未必自伴（ $A = A^*$ ）。哪些對稱算子可以擴張成自伴算子？有多少種擴張？ 這是 von Neumann 1929 年用 Cayley 變換解決的核心問題。答案由虧格指數給出，而「選哪個擴張」正是物理（邊界條件=系統的確定）與數學（定義域的選擇=譜的形狀）的交匯處。本節建立對稱/自伴的精確分野，證明 von Neumann 擴張定理，並用經典例子（動量算子、Laplace 算子、氫原子）展示其物理意義。

對稱 vs 自伴#

定義 7.3.1：稠定 $A$ ： - 對稱： $A \subset A^*$ （ $\operatorname{dom}A \subset \operatorname{dom}A^*$ 且作用相同）； - 自伴： $A = A^*$ 。

自伴⇒對稱；反之不然（例題 7.1.1 的 $D_1$ ）。關鍵差異：

定理 7.3.2：稠定 $A$ 對稱，則：(1) $A$ 的特徵值實、不同特徵值的特徵向量正交（同 3.2）；(2) $A$ 自伴 $\iff$ $\operatorname{ran}(A \pm i)$ 各自滿射 $\iff$ $\ker(A^* \pm i) = \{0\}$ ；(3) 對稱 $A$ 的譜在 $\lambda$ 滿 $\operatorname{Im}\lambda \neq 0$ 的位置總是可逆的： $\|(A - \lambda)x\| \ge |\operatorname{Im}\lambda|\|x\|$ 。

證明要點：(3) $\|(A - \lambda)x\|^2 = \|(A - \operatorname{Re}\lambda)x\|^2 + |\operatorname{Im}\lambda|^2\|x\|^2 \ge |\operatorname{Im}\lambda|^2\|x\|^2$ （用 $\langle (A - \operatorname{Re}\lambda)x, x\rangle \in \mathbb{R}$ ）。故 $\operatorname{ran}(A - \lambda)$ 閉、 $A - \lambda$ 單射且逆有界——複平面的上半與下半平面永遠在預解式意義下安全；對稱算子的譜只能在實軸附近「搗亂」。∎

VON NEUMANN 虧格與擴張定理#

定義 7.3.3（虧格空間）： $\mathcal{N}_\pm = \ker(A^* \mp i)$ ， $\operatorname{def}A = (\dim\mathcal{N}_+, \dim\mathcal{N}_-)$ 。

定理 7.3.4（von Neumann 擴張定理，1929）：對稱閉 $A$ ： 1. $\operatorname{dom}A^* = \operatorname{dom}A \oplus \mathcal{N}_+ \oplus \mathcal{N}_-$ （正交分解，且 $A^*(u_+ + u_-) = iu_+ - iu_-$ ）； 2. $A$ 的自伴擴張 $\tilde A$ 與虧格空間間的酉映射 $V : \mathcal{N}_+ \to \mathcal{N}_-$ 一一對應： $$ \operatorname{dom}\tilde A_V = {x + u_+ + Vu_+ : x \in \operatorname{dom}A,\ u_+ \in \mathcal{N}_+}; $$ 3. $A$ 自伴 $\iff$ 虧格指數 $(0, 0)$ ； $A$ 有自伴擴張 $\iff$ $\dim\mathcal{N}_+ = \dim\mathcal{N}_-$ 。

證明思路：用 Cayley 變換（3.3 場景二）：對稱 $A$ 的 Cayley 變換 $V_A = (A - i)(A + i)^{-1}$ 是定義在 $\operatorname{ran}(A + i)$ 上的等距算子（ $\|(A-i)x\| = \|(A+i)x\|$ ，由 (3) 的估計）；反之等距算子的逆 Cayley 給對稱算子。自伴 $A$ $\iff$ $V_A$ 酉（等距+滿射）。擴張 $A \subset \tilde A$ 對應等距的擴張 $V_A \subset \tilde V$ ；等距的酉擴張存在的條件與構造正是虧格空間之間的酉映射——(2) 的公式由此翻譯而來。∎

Cayley 變換把「無界對稱擴張」化為「有界酉擴張」——用 3.3 節的有界理論解決 7 章的無界問題，von Neumann 1929 年論文的核心技巧。

例題#

例題 7.3.1： $L^2[0,1]$ 上的 $D_0 = \frac{d}{dx}$ 、 $\operatorname{dom}D_0 = \{f \in H^1 : f(0) = f(1) = 0\}$ 。求虧格指數與全部自伴擴張。

解： $\mathcal{N}_\pm = \ker(D_0^* \mp i)$ 。 $D_0^* = -\frac{d}{dx}$ 在 $H^1$ 上（例題 7.1.1）；解 $-g' = \pm ig$ ： $g = e^{\mp ix}$ （屬於 $H^1[0,1]$ ）。故 $\mathcal{N}_+ = \operatorname{span}(e^{-ix})$ 、 $\mathcal{N}_- = \operatorname{span}(e^{ix})$ ，虧格指數 $(1, 1)$ ——存在自伴擴張，且全部由酉映射 $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ （即相位 $e^{i\theta}$ ）參數化：

\[ \operatorname{dom}D_\theta = \{f \in H^1 : f(1) = e^{i\theta}f(0)\} \quad (\theta \in [0, 2\pi)). \]

每個 $D_\theta$ 自伴，譜 $\sigma(D_\theta) = \{2\pi n + \theta\}_{n \in \mathbb{Z}}$ ——邊界相位=譜平移。物理：圓上的動量算子； $\theta$ 是 Aharonov–Bohm 磁通（環上的磁通改變能級）。同一個微分表達式， $2\pi$ 個自伴實現， $2\pi$ 個物理系統。∎

例題 7.3.2： $-\Delta$ 在 $L^2(\Omega)$ 、 $\operatorname{dom} = C_c^\infty(\Omega)$ （ $\Omega$ 光滑有界域）。判斷虧格並描述最小與 Friedrichs 擴張。

解： $C_c^\infty(\Omega)$ 的 $-\Delta$ 對稱、可閉化；最小域= $H^2_0(\Omega)$ 閉化後的域，虧格指數 $(\infty, \infty)$ （因為邊界值可以任意—— $H^2$ 函數的跡空間 $H^{3/2}(\partial\Omega)$ 無窮維）。自伴擴張由邊界條件參數化： - Dirichlet： $f|_{\partial\Omega} = 0$ （Friedrichs 擴張，能量型 $q(f) = \int|\nabla f|^2$ 、域 $H^1_0$ ）； - Neumann： $\partial_n f|_{\partial\Omega} = 0$ ； - Robin： $\partial_n f = \alpha f|_{\partial\Omega}$ ，乃至一般（Krein–Višik–Birman 理論的抽象邊界條件）。

每個自伴擴張對應一個物理系統（牆壁、自由邊、彈性邊）——虧格指數的無窮維性=邊界條件的無窮自由度。∎

歷史啟示#

物理的正確公理：Heisenberg/Schrödinger 的理論最初只用「厄米矩陣/厄米算子」（對稱）；von Neumann 1929 證明必須自伴才有譜定理與機率詮釋（7.2 場景）。Stone 1930 年代把「自伴」傳播為物理標準；今日「對稱但不自伴」的情形（如帶奇異勢的某些模型）是數學物理的活躍課題。
定義域=物理的邊界：Dirichlet（牆）、Neumann（自由）、準週期（磁通）——自伴擴張的選擇是模型的選擇。數學的「定義域自由度」恰好編碼物理的「邊界條件自由度」。
Cayley 變換的方法論遺產：把無界問題壓縮為有界問題，再用人所熟知的理論（等距的擴張、酉的參數化）解決——降維打擊式的方法論，影響了壓縮算子理論（Sz.-Nagy）、系統理論（scatter 與 transfer 矩陣）。

與其他章節及領域的關聯#

7.1、7.2 節：定義域與閉性是本節的舞台。
3.3 節：Cayley 變換把自伴↔酉；Stone 定理（酉群）以本節的自伴性為前提。
6.3 節：自伴性一旦獲得，譜定理（含無界情形）立即適用——擴張定理是通往譜定理的橋。
第 9 章：自伴生成元⇒酉群（Stone）；耗散生成元⇒收縮半群（Lumer–Phillips）。
第 10 章：量子力學的可觀測量必須自伴；「對稱但不自伴」的算子（如某些自旋軌道模型）需要物理意義的擴張選擇。
譜移函數與邊界三元組：Krein–Višik–Birman 理論（1950s–60s）把擴張問題化為邊界映射的三元組，成為現代橢圓邊值問題譜理論的框架。

練習#

證明定理 7.3.2(3) 的估計，並推論對稱算子的預解式在 $\operatorname{Im}\lambda \neq 0$ 時存在（作為有界算子，定義域= $\operatorname{ran}(A - \lambda)$ ）。
補全例題 7.3.1：驗證 $D_\theta$ 自伴（ $\operatorname{dom}D_\theta^* = \operatorname{dom}D_\theta$ 且作用相同），並求譜。
對 $-\Delta$ 在 $\mathbb{R}^3 \setminus \{0\}$ 、域 $C_c^\infty$ （氫原子模型的「奇異點」情形）：討論為什麼需要額外的局部邊界條件（原點的行為=點互作用的參數化，Krein 空間的應用）。
證明：對稱 $A$ 自伴 $\iff$ $\operatorname{ran}(A - i) = \operatorname{ran}(A + i) = H$ 。
思考題：虧格指數 $(m, n)$ ， $m \neq n$ 時無自伴擴張。物理上這對應什麼？（半直線上的動量算子： $(0, 1)$ 型——「流入/流出」的不對稱=不可閉系統。）

進階研讀：三個深化場景#

場景一：Friedrichs 擴張。半有界對稱算子（ $\langle Ax,x\rangle \ge m\|x\|^2$ ）總有「最正則」的自伴擴張：由閉型 $q_A(f) = \langle Af, f\rangle$ 的閉化（表示定理，Kato 1961）給出，其譜最靠右（型理論：Friedrichs 擴張的譜在所有自伴擴張中「最上」）。PDE 中 Dirichlet 拉普拉斯算子就是 Friedrichs 擴張——能量方法=Friedrichs。

場景二：Krein–Višik–Birman 擴張理論。對稱半有界 $A$ 的全部自伴擴張由「邊界三元組」 $(\mathcal{G}, \Gamma_1, \Gamma_2)$ （跡映射）參數化；擴張的譜由 Weyl 函數（邊界版本的預解式）決定。這套理論把 7.3 的抽象定理變成橢圓問題的計算工具（點互作用、閾值共振）。

場景三：物理中的「不自伴」危機。非自伴哈密頓量（複勢、開放系統、PT 對稱量子力學，Bender–Boettcher 1998）挑戰「自伴=物理」的教條：有些 PT 對稱算子有實譜且準完備，可以重定義內積（Krein 空間技術）恢復自伴。這條線顯示：von Neumann 的框架不是終點，而是「可觀測性」這個物理問題的數學起點。

場景四：逆譜問題——從譜反推邊界條件與勢。Gelfand–Levitan（1951）與 Marchenko（1952）的方法：Sturm–Liouville 問題的譜（含歸一化常數）唯一決定勢函數——自伴擴張理論的逆定理。現代框架（Krein–Višik–Birman 的邊界三元組+Weyl 函數）把「譜數據↔邊界條件」的對偶做成演算法（逆散射、電阻層析成像）。物理應用：從光譜反推分子勢、從散射相移反推核力。擴張的選擇（本章主題）在逆問題中被「譜」反過來唯一確定——正問題與逆問題在 von Neumann 理論中形成閉環。

名詞速查表#

**對稱 $A \subset A^*$ vs 自伴 $A = A^*$ **：定義域的包含 vs 相等。
虧格空間 $\mathcal{N}_\pm = \ker(A^* \mp i)$ ；虧格指數 $(n_+, n_-)$ 。
von Neumann 擴張定理：自伴擴張↔虧格空間的酉映射；存在 $\iff n_+ = n_-$ 。
Cayley 變換： $V = (A - i)(A + i)^{-1}$ ；對稱↔等距、自伴↔酉。
Friedrichs 擴張：半有界對稱算子的能量（Dirichlet）自伴擴張。
Weyl 極限點/極限圓：半直線情形虧格指數 $(1,1)$ / $(0,0)$ 型分類（1910）。

年表速查#

1910：Weyl 極限點/圓分類（半直線 Sturm–Liouville 的虧格理論前身）。
1929：von Neumann 擴張定理、Cayley 變換理論。
1930：Stone 定理（自伴⇒酉群的嚴格版）。
1932：von Neumann 自伴性進入物理公理。
1934：Friedrichs 擴張思想的先驅論文。
1950s–60s：Krein–Višik–Birman 邊界三元組理論。
1961：Kato 表示定理（型↔算子）。
1998：Bender–Boettcher PT 對稱非自伴模型。

深化問答三則#

問：對稱但不自伴的算子「壞」在哪裡？ 答：三處。(1) 譜可以覆蓋複平面（實軸以外的譜不確定）；(2) 無譜定理⇒無機率詮釋⇒非物理；(3) 半群不酉⇒機率不守恆。例題 7.1.1 的 $D_1$ 對稱但譜是開圓盤（可算： $D_1^* = D_2$ 型， $D_1 - \lambda$ 的逆不有界）——對稱性只保證實軸附近「安全」（定理 7.3.2(3)），不保證譜存在於實軸。

問：為什麼 Cayley 變換取 $\pm i$ ？ 答：定理 7.3.2(3)： $\operatorname{Im}\lambda \neq 0$ 處對稱算子必可逆。 $i$ 與 $-i$ 對稱地插在上、下半平面，Cayley 變換把實軸（自伴譜的所在）映到單位圓（酉譜的所在）——Möbius 變換的共形幾何與算子理論的譜幾何在此同步。

問：擴張的選擇如何影響譜？ 答：例題 7.3.1 直接顯示： $\theta$ 平移譜。更深的：Friedrichs 擴張的譜「最靠上」（ $n$ -階特徵值在所有擴張中最小到最大），Krein 半徑理論給出特徵值隨邊界條件的變化界。譜是定義域的函數——這句話是本章的哲學總結，也是逆譜問題（從譜反推勢函數/邊界條件，Gelfand–Levitan 1951）的出發點。

（本節完）