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4.2 泊松到MM1排隊模型#

本章導言#

Erlang 在 1917 年解決了電話線路的阻塞問題，但他的模型瞄準的是「有幾條線」；工廠、銀行、餐廳與電腦系統面對的卻是另一種場景：只有一個櫃台、客人不能趕走、只能排隊。把 Erlang 的生滅過程收縮到單一服務台，就得到排隊論中最基本、也最常被用（與誤用）的模型：** \(M/M/1\) 排隊系統**。

本節把「 \(M/M/1\) 」拆開來看：第一個 \(M\) 表示到達間隔為無記憶（Memoryless）分配——即泊松到達、指數間隔；第二個 \(M\) 表示服務時間也是指數分配； \(1\) 表示單一服務台。這套記號由 David Kendall 於 1953 年提出，把 Erlang 以降半世紀的各種模型整理成統一的命名語言。

建模：生滅平衡#

設到達率 \(\lambda\) 、服務率 \(\mu\) 。系統狀態 \(n\) 表示「佇列中有 \(n\) 人（含服務中者）」。到達使狀態 \(n \to n+1\) （速率 \(\lambda\) ），完成服務使 \(n \to n-1\) （速率 \(\mu\) ）。令穩態機率為 \(p_n\) ，則「流入＝流出」的平衡方程為

\[ \lambda p_n = \mu p_{n+1} \quad \Rightarrow \quad p_n = \rho^n p_0, \qquad \rho = \frac{\lambda}{\mu}. \]

由總機率為 1 可得 \(p_0 = 1 - \rho\) （必須 \(\rho < 1\) ，否則佇列爆炸）。於是穩態分配為幾何分配：

\[ p_n = (1-\rho)\,\rho^n. \]

由此推出排隊論最著名的四個公式：

\[ L = \mathbb{E}[N] = \frac{\rho}{1-\rho}, \qquad L_q = \frac{\rho^2}{1-\rho}, \]
\[ W = \frac{1}{\mu - \lambda}, \qquad W_q = \frac{\lambda}{\mu(\mu-\lambda)} = \frac{\rho}{\mu - \lambda}. \]

\(L\) 、 \(W\) 分別是系統中平均人數與平均逗留時間， \(L_q\) 、 \(W_q\) 是純排隊的部分。 \(L = \lambda W\) 這條關係是 Little 定理（J. D. C. Little, 1961）：任何穩定佇列中「平均人數＝到達率×平均逗留時間」，它不依賴任何分配假設，是排隊論中最普遍的定律。

流程圖：M/M/1 的數學結構#

為何「無記憶」是關鍵#

指數分配的無記憶性 \(P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)\) 使「已經等多久」不提供任何資訊，因此任何時刻的剩餘服務時間仍是平均 \(1/\mu\) 的指數分配——狀態 \(n\) 就足以描述系統，馬可夫性成立，平衡方程才寫得出來。若服務時間是常數（ \(M/D/1\) ）或對數常態（排隊論常見於 7.2 節討論的變異議題），公式會更複雜，且出現重要的管理訊息：服務時間的變異本身會加長佇列。以 Kingman 近似（1961）表示：

\[ W_q \approx \left(\frac{\rho}{1-\rho}\right)\left(\frac{c_a^2 + c_s^2}{2}\right)\frac{1}{\mu}, \]

其中 \(c_a, c_s\) 是到達與服務時間的變異係數。變異係數減半，等待時間幾乎減半——這是流程管理「先降變異、再談產能」的數學根據。

例題：銀行櫃台的等待時間#

例題 4.2.1：某銀行單一櫃台，客人平均每 5 分鐘到達一位（ \(\lambda = 12\) 人／小時），平均服務時間 4 分鐘（ \(\mu = 15\) 人／小時），到達與服務皆近似指數。求：（a）櫃台空閒機率；（b）系統中平均人數；（c）客人平均等待時間（不含服務）；（d）等待超過 10 分鐘的機率。

解：

\[ \rho = \frac{12}{15} = 0.8. \]

(a) 空閒機率 \(p_0 = 1 - \rho = 0.2\) ，即櫃台有 \(20\%\) 時間閒著。

(b) \(L = \dfrac{\rho}{1-\rho} = \dfrac{0.8}{0.2} = 4\) 人。

(c) \(W_q = \dfrac{\rho}{\mu - \lambda} = \dfrac{0.8}{3} \approx 0.2667\) 小時 \(= 16\) 分鐘。（驗證： \(L_q = \rho^2/(1-\rho) = 3.2\) ， \(L_q/\lambda = 3.2/12 = 0.2667\) 小時，符合 Little 定理。）

(d) 等待時間 \(W_q\) 在 \(M/M/1\) 中的分配： \(P(W_q > t) = \rho\, e^{-(\mu-\lambda)t}\) ，故

\[ P(W_q > 10\,\text{分}) = 0.8\, e^{-3 \times (1/6)} = 0.8\, e^{-0.5} \approx 0.8 \times 0.6065 \approx 0.485. \]

近半數客人要等超過 10 分鐘——儘管櫃台有 \(20\%\) 時間是空的。這是排隊論對管理者的第二個震撼：高利用率與長等待並不矛盾，而是必然。

利用率的非線性陷阱#

把 \(W_q = \dfrac{\rho}{\mu(1-\rho)}\) 對 \(\rho\) 作圖，可見 \(\rho \to 1\) 時等待時間爆炸： \(\rho = 0.8\) 時 \(W_q = 16\) 分， \(\rho = 0.9\) 時 \(W_q = 36\) 分， \(\rho = 0.95\) 時 \(W_q = 76\) 分。這解釋了為什麼「再提高一點效率」常讓現場崩潰，也解釋了醫院與電腦系統為何刻意保留閒置產能（管理上常把目標利用率訂在 \(75\%\) – \(85\%\) ）。

前因後果與驅動關係#

  • 管理問題驅動理論： \(M/M/1\) 源於把 Erlang 的多線模型簡化到「單一窗口」的通用場景——櫃台、機器維修（一台機器壞了等一位修理工）、電腦的 CPU 排程。它回答的問題始終如一：這個服務系統的等待成本值多少錢。
  • 理論如何改變實務：Little 定理使管理者只需量到三個量中的兩個就能推第三個，成為精實生產（如 Toyota 的在製品控制）與敏捷開發（看板方法）的核心工具：控制 \(L\) （在製品）即可壓縮 \(W\) （前置時間）。Kingman 近似則把「降變異」從口號變成可計算的投資案。
  • 對後續章節的影響：4.3 節將 \(W_q\) 乘上單位等待成本，與服務成本相加做最適服務率決策；5.2 節報童模型面對的是「存貨的排隊」對偶問題；6.2 節 PERT 中「瓶頸工序」的直覺即來自排隊網路的瓶頸分析。
  • 與兄弟書的連結：《機率統計》的指數分配、無記憶性與幾何分配是本節的數學基礎；《經濟的數學》第 4 章的產能利用率概念在此獲得隨機版本。

練習#

  1. 某診所單一窗口， \(\lambda = 20\) 人／小時、 \(\mu = 25\) 人／小時。求 \(L\) 、 \(L_q\) 、 \(W\) 、 \(W_q\) ，並用 \(L = \lambda W\) 驗算。
  2. 承上，若希望 \(W_q\) 不超過 3 分鐘， \(\mu\) 至少要多少？此時利用率為何？
  3. 證明：在 \(M/M/1\) 中 \(W = W_q + 1/\mu\) ，並用例題 4.2.1 的數字驗證。
  4. 用 Little 定理說明：工廠在製品從 100 件降到 50 件、節拍產出不變（ \(\lambda\) 不變）時，平均前置時間如何變化。
  5. 思考題：Kingman 近似顯示降變異與增產能同樣能縮短等待。若「標準化作業」（1.1 節）能把 \(c_s\) 降一半而「加一位服務員」需增加成本，你會如何權衡？請指出此估算忽略了什麼。

名詞速查表#

  • **Kendall 記號 \(A/B/s\) **：到達過程／服務過程／服務台數， \(M\) 表無記憶（指數）、 \(D\) 表確定性。
  • **利用率 \(\rho = \lambda/\mu\) **：服務台忙碌的時間比例，小於 1 才有穩態。
  • Little 定理： \(L = \lambda W\) ，任何穩定排隊系統皆成立。
  • 生滅平衡：相鄰狀態流入率＝流出率的穩態方程。
  • Kingman 近似：等待時間與「利用率 \(/(1-\) 利用率 \()\) 」及變異係數平方和成正比。
  • 無記憶性： \(P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)\) ，指數分配的標記性質。

（本節完）