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5.1 EOQ模型1913#

本章導言#

存貨是工廠裡最沉默的成本。二十世紀初的美國製造業，原料與在製品堆滿倉庫：存太多，資金被套牢、倉租與耗損吃掉利潤；存太少，每次小批進貨的訂購手續、運費與驗收成本又驚人。管理者憑經驗「一季度訂一次」或「用完就訂」，卻從沒有人回答過那個最基本的問題：一次到底該訂多少？

1913 年，西屋電氣（Westinghouse）的生產工程師 Ford W. Harris 在工業期刊 Factory, The Magazine of Management 上發表〈How Many Parts to Make at Once〉，首次給出這個問題的閉式解。這個模型後來被稱為經濟訂購量（Economic Order Quantity, EOQ），是存貨理論、乃至整門作業研究的起點之一。有趣的是，Harris 的論文發表後一度被遺忘，1920–30 年代被 Wilson（G. A. W. Wilson，顧問工程師）重新推廣，故業界亦稱 Wilson 公式——一個模型兩個名字，恰見科學管理的成果如何透過顧問業擴散。

模型：兩股反向成本的拉鋸#

Harris 的假設極簡：（1）需求率 \(D\) 常數且已知；（2）每次訂購固定成本 \(K\) （訂購、驗收、運費固定部分）；（3）單位商品每年持有成本 \(h\) （資金利息、倉儲、保險、耗損）；（4）不允許缺貨、補貨瞬時到達。若每次訂 \(Q\) 件，庫存呈鋸齒狀從 \(Q\) 線性降到 0，平均庫存 \(Q/2\) ，於是年總成本：

\[ TC(Q) = \underbrace{\frac{D}{Q}K}_{\text{年訂購成本}} + \underbrace{\frac{Q}{2}h}_{\text{年持有成本}} \quad (+\; \text{進貨成本 } pD \text{，與 } Q \text{ 無關}). \]

對 \(Q\) 微分令為零：

\[ \frac{dTC}{dQ} = -\frac{DK}{Q^2} + \frac{h}{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{Q^* = \sqrt{\frac{2DK}{h}}}. \]

最適解呈「平方根」形態：需求翻四倍，訂購量只翻兩倍。最適點上兩股成本恰好相等： \(\dfrac{D}{Q^*}K = \dfrac{Q^*}{2}h = \sqrt{\dfrac{DKh}{2}}\) ——這個對稱性使 EOQ 只需心算即可檢驗。年訂購次數 \(n = D/Q^*\) ，訂購週期 \(T = Q^*/D\) 。

例題：西屋式的計算#

例題 5.1.1：某工廠每年使用某零件 \(D = 2400\) 件，每次訂購成本 \(K = 800\) 元，每件每年持有成本 \(h = 60\) 元。（a）求 EOQ 與年總相關成本；（b）若因供應商促銷而一次訂 1200 件，成本多多少？

解：

\[ Q^* = \sqrt{\frac{2 \times 2400 \times 800}{60}} = \sqrt{\frac{3{,}840{,}000}{60}} = \sqrt{64000} = 254 \ (\text{約} 254.0 \text{件}). \]

年訂購成本 \(= \dfrac{2400}{254} \times 800 \approx 9.449 \times 800 \approx 7559\) 元；年持有成本 \(= \dfrac{254}{2} \times 60 = 7620\) 元（兩者近相等，驗證了 \(Q^*\) ）。年總相關成本

\[ TC(Q^*) = \sqrt{2DKh} = \sqrt{2 \times 2400 \times 800 \times 60} = \sqrt{2.304 \times 10^8} \approx 15179 \ \text{元}. \]

(b) 若 \(Q = 1200\) ：訂購成本 \(= 2 \times 800 = 1600\) 元，持有成本 \(= 600 \times 60 = 36000\) 元，總計 \(37600\) 元——是 EOQ 解的 \(2.5\) 倍。差距如此大是因為 \(Q\) 是 \(Q^*\) 的近 5 倍；反之若只訂 \(Q^*\) 的 1.5 倍（約 380 件）， \(TC = \frac{2400}{380} \times 800 + 190 \times 60 \approx 5053 + 11400 = 16453\) 元，僅高出 \(8\%\) 。這說明 EOQ 的平坦谷底：接近 \(Q^*\) 的解都夠好，管理者不必為精確估計 \(K\) 、 \(h\) 苦惱。

延伸一：含前置時間的再訂購點#

EOQ 回答「訂多少」，還需回答「何時訂」。若供應商前置時間為 \(L\) 天，需求率每天 \(d = D/365\) ，則當庫存降到再訂購點

\[ ROP = d \cdot L \]

時下單，貨到時庫存恰為零。例題中若 \(L = 10\) 天、每天需求 \(d \approx 6.58\) 件， \(ROP \approx 66\) 件。

延伸二：計畫性缺貨與生產批量#

Harris 之後理論迅速延伸：允許缺貨並計入缺貨成本 \(b\) 時，最適批量放大為 \(Q^* \sqrt{\dfrac{b+h}{b}}\) （缺貨成本愈高、愈不該缺貨）；若貨是自己生產、以速率 \(P\) 入庫（EPQ 模型），則

\[ Q^* = \sqrt{\frac{2DK}{h\,(1 - D/P)}}. \]

這些公式至今仍在教科書與 ERP 軟體的訂量建議模組中運轉。

前因後果與驅動關係#

  • 管理問題驅動理論：EOQ 源於大量生產時代「批量 vs. 批次」的會計痛點——訂購成本藏在管理費用裡，持有成本藏在資金成本裡，Harris 把兩者從帳本裡抓出來放進同一條微分方程。這是「成本分類驅動數學模型」的第一例。
  • 理論如何改變實務：EOQ 與 ROP 一起構成「定量訂購制」，成為 20 世紀中期倉儲管理的標準；ERP 系統的「訂購點／訂購量」欄位即是其化石層。它也確立了存貨管理的三問框架：訂多少（EOQ）、何時訂（ROP）、缺了怎麼辦（5.2 節報童模型）。
  • 對後續章節的影響：5.2 節把「需求常數」放寬為隨機，得到報童模型；5.3 節 MRP 則反其道——需求根本不該用歷史平均預測，而應由主生產排程推導。2.1 節的複利計算是持有成本中資金成本的計算基礎。
  • 與兄弟書的連結：《會計的數學》第 5 章存貨計價（先進先出、加權平均）與本章是同一實務的兩面：會計記「帳上的存貨」，EOQ 管「實體的存貨」；《金融的數學》第 1 章的時間價值提供持有成本中利息成分的折現語言；《經濟的數學》第 4 章的規模經濟，正是批量放大攤薄固定成本的經濟學版本。

練習#

  1. \(D = 5000\) 件／年、 \(K = 500\) 元、 \(h = 25\) 元。求 \(Q^*\) 、年訂購次數與年總相關成本，並驗證兩股成本相等。
  2. 承上，若持有成本被低估一半（實為 50 元），用 \(h = 25\) 算出的 \(Q^*\) 與真值差多少？實際採用錯誤 \(Q^*\) 會使年總成本比真最適高出百分之幾？（提示： \(TC(Q)/TC(Q^*) = \frac{1}{2}\left(\frac{Q^*}{Q} + \frac{Q}{Q^*}\right)\) 。）
  3. 某廠自產零件， \(D = 10000\) 、 \(K = 2000\) 、 \(h = 40\) 、產能 \(P = 40000\) 件／年。用 EPQ 公式求 \(Q^*\) ，並解釋為何它大於不考慮 \(P\) 時的 EOQ。
  4. 前置時間 \(L = 15\) 天、 \(D = 3650\) 件／年，求 ROP；若供應商前置時間不確定（10–20 天），你的 ROP 該如何調整？這與 5.2 節的隨機模型有何分工？
  5. 思考題：豐田生產方式主張「庫存是罪惡」，實務上靠縮短換線時間（將 \(K\) 壓到極小）使批量趨近 1。請用 \(Q^* = \sqrt{2DK/h}\) 說明：為何把 \(K\) 除以 100， \(Q^*\) 只縮小 10 倍？精實生產還需要動哪些參數？

年表速查#

  • 1913：Ford W. Harris 發表 EOQ 模型（經濟訂購量）。
  • 1920s–30s：G. A. W. Wilson 重新推廣，業界稱 Wilson 公式。
  • 1934：Wilson 的同事 R. H. Wilson 發表定量訂購制的系統化實務。
  • 1950s：Arrow、Harris（Kenneth）與 Marschak 建立隨機存貨理論，報童問題獲得一般化（見 5.2 節）。
  • 1960s：Orlicky 提出 MRP，需求由生產排程推導（見 5.3 節）。
  • 1970s–80s：豐田生產方式與精實生產以「壓低 \(K\) 」的路線挑戰 EOQ 的批量思維。

深化問答#

問：EOQ 假設需求常數、補貨瞬時、單一品項，實務上哪一條最先崩壞？ 答：通常是「需求常數」。需求的隨機波動由 5.2 節的安全庫存吸收——EOQ 管批量、ROP＋安全庫存管時點，兩者分工而不衝突。其次崩壞的是「補貨瞬時」：供應商整車送達或自己分批生產時，改用 EPQ。單一品項的局限則最晚崩壞：多品項共用車輛與資金時出現協同訂購問題，那是 9.1 節資源分配的範疇。

問：為什麼 \(TC(Q)/TC(Q^*) = \frac{1}{2}\left(\frac{Q^*}{Q} + \frac{Q}{Q^*}\right)\) ？ 答： \(TC(Q) = DK/Q + Qh/2\) ，代入 \(h = 2DK/(Q^*)^2\) 整理即得。此式量化了「谷底平坦」：比值永遠 \(\ge 1\) ，且 \(Q\) 偏離 \(Q^*\) 一點五倍內損失不足 \(9\%\) 。參數估計粗糙幾乎不傷大局——這正是 EOQ 八十年不死的原因。

名詞速查表#

  • 經濟訂購量（EOQ）： \(Q^* = \sqrt{2DK/h}\) ，使訂購與持有成本總和最小的批量。
  • **訂購成本 \(K\) **：每次下單的固定成本（行政、運費、驗收、換線）。
  • **持有成本 \(h\) **：單位商品每年因持有而生的成本（利息、倉租、保險、耗損）。
  • 再訂購點（ROP）：前置時間需求量 \(dL\) ，庫存降到此點即下單。
  • 鋸齒狀庫存：EOQ 假設下庫存線性下降、瞬時補滿的圖形。
  • EPQ：補貨以有限產率到達時的生產批量模型。
  • 平方根法則：批量與需求的平方根成正比，規模經濟的遞減形式。

（本節完）