7.3 實驗設計與田口方法#
本章導言#
管制圖（7.1 節）與能力指標（7.2 節）回答「製程現在有多好」；實驗設計（Design of Experiments, DOE）回答「怎麼把它變好」。若要同時考察溫度、壓力、催化劑濃度對產率的影響，逐次單因子實驗（一次改一個）在因子多時代價驚人。1920 年代英國統計學家 Ronald A. Fisher（費雪，1890–1962） 在 Rothamsted 農事試驗站為作物田間試驗發明了隨機化、重複、區集三大原則與因子設計、交互作用、變異數分析等工具，從根本上改寫了「科學實驗該怎麼做」。六十年後，日本工程師 田口玄一（Genichi Taguchi, 1924–2012） 把這些工具改造為工業界的參數設計與直交表方法，並以「品質損失函數」重新定義「品質」本身。本節說明：一場十九世紀的農業試驗，如何成為二十世紀末全球品質改善運動的引擎。
Fisher 的三原則與數學#
Fisher 在 1926 年的論文〈農業實驗的科學設計〉確立：
- 隨機化：處理順序隨機分配，使未觀測的系統性差異（土壤梯度、日溫變化）化為隨機誤差，期望值為零——這是「用機率換公平」的第二次誕生（第一次見《機率統計》1.1 節的賭金分配）；
- 重複：同一處理多做幾次，才能估計實驗誤差 \(\sigma^2\) ——沒有誤差估計就沒有任何比較的基準；
- 區集：把異質性來源（田間區塊）納入模型，縮小誤差。
其線性模型為
處理效應 \(\tau_i\) 的檢定以 F 檢定（變異數分析, ANOVA）進行：
因子設計（factorial design）讓所有因子組合都被試到，從而能估計交互作用——「溫度的最適值依賴於壓力水平」這類一次改一個法完全看不見的效應。對二水準因子， \(2^k\) 設計的主效應可用正負號對比一次算完：因子 \(A\) 的效應 \(= \bar{y}_{A+} - \bar{y}_{A-}\) ，這正是後來田口直交表的數學祖先。
田口玄一：品質損失函數與參數設計#
田口的方法論有兩塊基石。其一，品質損失函數：
其中 \(T\) 為目標值、 \(y\) 為實際值、 \(k\) 為比例常數（可由「超出公差 \(\pm\Delta\) 時損失 \(A_0\) 」定出 \(k = A_0/\Delta^2\) ）。此函數宣判：只要偏離目標就有損失，「在公差內」並非免罪金牌——這推翻了傳統「合格／不合格」的二分法，並與 7.2 節 \(C_{pk}\) 「越靠近規格邊越危險」的精神一致。以平均損失看，製程的品質水準為
變異與偏心同等扣分，為「降低 \(\sigma\) 」提供了比不良率更靈敏的經濟理由。
其二，參數設計與直交表。田口把因子分為「控制因子」（工程上可設、成本低）與「雜音因子」（使用環境、材料批次、老化等不可控者）。參數設計的目標不是去控制雜音（常不可能或太貴），而是選擇控制因子的水平，使输出對雜音不敏感——即最大化訊雜比（S/N ratio，signal-to-noise ratio）。以望目特性（越接近目標越好）為例：
為了以最少實驗次數搜遍控制因子的組合，田口大量使用直交表（orthogonal array），如 \(L_4(2^3)\) 、 \(L_9(3^4)\) 。直交表的數學性質是：任兩行中所有水平組合出現次數相同，因而各因子效應可互不干擾地從表中直接估計——本質上是部分因子設計的正交性質（設計矩陣 \(X^\top X\) 為對角）。
例題 7.3.1#
例題 7.3.1：某鍍金製程以 \(L_4(2^3)\) 直交表考察三個控制因子：A 金液溫度（低/高）、B 電流密度（低/高）、C 添加劑濃度（低/高）。四次實驗的鍍層厚度偏差平方和（代表劣質程度）如下：
| 實驗 | A | B | C | 偏差平方 \((y-T)^2\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | − | − | − | 16 |
| 2 | + | − | + | 4 |
| 3 | − | + | + | 9 |
| 4 | + | + | − | 1 |
求各因子主效應（以平均損失衡量），並選最佳水平組合。
解： \(L_4(2^3)\) 中，每因子各有兩次「+」、兩次「−」。各水平平均損失：
- A 低（實驗 1、3）： \((16+9)/2 = 12.5\) ；A 高（實驗 2、4）： \((4+1)/2 = 2.5\) 。 \(\Delta_A = 2.5 - 12.5 = -10\) （取高溫大幅減損）。
- B 低（實驗 1、2）： \((16+4)/2 = 10\) ；B 高（實驗 3、4）： \((9+1)/2 = 5\) 。 \(\Delta_B = -5\) （取高電流密度減損）。
- C 低（實驗 1、4）： \((16+1)/2 = 8.5\) ；C 高（實驗 2、3）： \((4+9)/2 = 6.5\) 。 \(\Delta_C = -2\) （效應較小）。
三因子皆「高水平」平均損失最低，故最佳組合為 A 高、B 高、C 高。以可加模型預測該組合的損失：總平均 \(\bar{y} = (16+4+9+1)/4 = 7.5\) ，各因子高水平的偏離為 \(\Delta_A/2 = -5\) 、 \(\Delta_B/2 = -2.5\) 、 \(\Delta_C/2 = -1\) ，故預測損失 \(7.5 - 5 - 2.5 - 1 = -1\) ——負值不合理，提示可加模型在此已達下界，實務上應以「損失 \(\ge 0\) 」截斷並做確認實驗直接量測 (+,+,+)。關鍵在於：僅用 4 次實驗就分離出三個因子的主效應——若用一次改一個的策略，三因子二水平至少要 \(1+3 \times 1 = 4\) 次，且完全看不到交互作用；而 \(L_8\) 以上即可同時估計部分交互作用。此例也示範田口流程：以損失函數當評價指標、以直交表壓縮實驗量、以確認實驗閉環。
田口方法的爭論與正名#
統計學界對田口有兩點著名批評：（1）他偏好用損失函數與 S/N 比而非標準的 F 檢定做分析，被認為「浪費了資料中的推論資訊」；（2）部分直交表混雜交互作用而不自知，可能選錯最佳水平。今天主流實務把兩者融合：用直交表與部分因子設計做篩選與參數設計（田口的工程效率），再用標準 ANOVA 與回歸做推論與驗證（Fisher 的統計嚴謹）——這正是 DMAIC 中 Analyze/Improve 階段的工具箱（7.2 節）。田口在 1980 年代隨日本品質奇蹟受邀赴美，其方法成為美國國防部與汽車業標準訓練；1950 年代他在日本電信公社電氣通信研究所的工作則與 6.2 節 PERT 的年代平行——戰後日本工程界同時吸收了排程與實驗兩套計量工具。
前因後果與驅動關係#
- 驅動：Rothamsted 的農業試驗田每年只能收一季，「省實驗」是生存問題，逼出了隨機化與區集；戰後日本工業在資源極匱下要快速調出製程參數，田口的直交表把實驗成本壓到十分之一以下。與 7.1 節管制圖不同，DOE 是主動實驗而非被動監控——這是管理者從「觀察系統」到「干預系統」的關鍵躍遷。
- 回頭改變實務：Fisher 的 ANOVA 成為一切實證學科的標準方法（醫學臨床試驗、政策評估皆是）；田口直交表與損失函數寫進六標準差 Improve 階段；新產品開發的稳健設計（robust design）成為工程教育必修。
- 交叉引用：F 檢定與線性模型見《機率統計》假說檢定與回歸章；「用隨機化保公平」的哲學同臨床試驗與 10.2 節 A/B 測試的隨機分流；因子水平的選擇若涉及成本，可化為 3.1 節的線性/整數規劃；《經濟的數學》第 10 章計量經濟的識別問題，與「交互作用混雜」是同一枚硬幣的兩面。
練習#
- 三因子二水平全因子設計需幾次實驗？ \(2^{3-1}\) 部分因子設計需幾次？後者會混雜什麼？
- 損失函數 \(L(y)=k(y-T)^2\) 中，若公差 \(\Delta=0.5\) 時超差損失 \(A_0=800\) 元，求 \(k\) ；並求 \(y-T=0.2\) 時的損失。
- 某因子低水平平均 S/N 為 8.2 dB、高水平為 11.6 dB。以田口慣例，應選哪個水平？3.4 dB 的差異代表訊雜功率比放大幾倍？（提示： \(10^{0.34} \approx 2.19\) 。）
- 用 \(L_4(2^3)\) 的對偶性質證明：任兩行的四個水平組合 \((\pm,\pm)\) 各出現一次，故主效應估計互不干擾。
- 思考題：農業試驗的「實驗單位＝一塊田」，工業試驗的「實驗單位＝一批產品」。試比較兩者在「隨機化可行性」上的差異（化工連續製程無法隨機換料），並說明這如何催生「 split-plot 設計」一類修正方法。
名詞速查表#
- 三大原則：隨機化、重複、區集，Fisher 實驗設計的基石。
- 交互作用：一因子的效應依賴另一因子水平的現象。
- ANOVA：以均方比 F 統計量檢定處理效應的變異數分析。
- 品質損失函數：田口主張 \(L=k(y-T)^2\) ，偏離目標即有損失。
- 直交表：任兩行水平組合均衡出現的實驗設計表，如 \(L_9(3^4)\) 。
- 參數設計：選擇控制因子水平使輸出對雜音不敏感的稳健設計法。
- S/N 比：以分貝衡量訊號功率與雜音功率之比的田口評價指標。
（本節完）