8.3 層級分析法（AHP）#

本章導言#

決策樹（8.1 節）與效用理論（8.2 節）都要求能把各方案的後果量化成同一把尺——通常是貨幣或效用。但管理中大量決策面對的是「品質、信譽、員工士氣、環境影響」這類難以貨幣化的準則，且決策常是一群人共同參與。1970 年代，美國匹茲堡大學教授 Thomas L. Saaty（薩蒂，1930–2017） 提出層級分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）：把問題拆成「目標—準則—方案」的層級結構，用成對比較取代絕對打分，用正方矩陣的主特徵向量聚合出權重，再用一致性指標檢驗判斷是否自相矛盾。AHP 於 1977 年正式發表，1980 年代隨 Saaty 的顧問工作進入美國國防部與企業決策，至今仍是多準則決策（MCDM）教學與實務中最廣泛使用的方法之一，也是「把主觀判斷數學化」的經典案例。

為何要成對比較？#

讓決策者對 5 個方案直接寫出權重，數字常是隨手編的。Saaty 的心理學依據（Miller, 1956：人類短時記憶約 $7\pm2$ 個項目）主張：人比較兩件事的能力遠強過同時排序十件事。AHP 要求對 $n$ 個準則逐一做 $n(n-1)/2$ 次兩兩比較，用 1–9 標度轉換：

樄度 $a_{ij}$	含義
1	兩者同等重要
3	前者稍微重要
5	前者明顯重要
7	前者強烈重要
9	前者極端重要
2,4,6,8	相鄰判斷的折衷

構成成對比較矩陣 $A = (a_{ij})$ ，滿足 $a_{ji} = 1/a_{ij}$ 、 $a_{ii}=1$ （正互反矩陣）。

數學核心：主特徵向量即權重#

AHP 的權重提取方法：求矩陣 $A$ 的主特徵向量 $w$ （最大特徵值 $\lambda_{\max}$ 對應者），正規化使 $\sum w_i = 1$ 。Saaty 證明：當 $A$ 完全一致（即存在真實權重 $w^\ast$ 使 $a_{ij}=w_i^\ast/w_j^\ast$ ）時， $\lambda_{\max}=n$ 且 $Aw = nw$ ；判斷越不一致， $\lambda_{\max}$ 越偏離 $n$ 。據此定義：

\[ CI = \frac{\lambda_{\max} - n}{n - 1}, \qquad CR = \frac{CI}{RI}, \]

其中 $RI$ 為隨機一致性指標（Saaty 以大量隨機矩陣模擬的平均 $CI$ ， $n=3$ 時 $RI=0.58$ 、 $n=4$ 時 $RI=0.90$ 、 $n=5$ 時 $RI=1.12$ ）。**經驗門檻 $CR < 0.10$ **：超過則判斷「隨機程度過高」，必須回頭修正成對比較。實務上可先用幾何平均列向量（或和積法）近似求 $w$ ，再以 $Aw$ 驗算。

層級合成：若準則權重 $w=(w_1,\ldots,w_m)$ 、方案 $k$ 在準則 $i$ 下的局部權重為 $s_i^{(k)}$ ，則方案總分

\[ S^{(k)} = \sum_{i=1}^{m} w_i \, s_i^{(k)}. \]

例題 8.3.1#

例題 8.3.1：某公司要在三個地點 $P_1,P_2,P_3$ 設新廠，準則為成本 $C$ 、供應鏈 proximity $L$ 、勞動品質 $Q$ 。決策者對準則的成對比較矩陣為

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1/3 & 1/5 \\ 3 & 1 & 1/3 \\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}. \]

(1) 估計準則權重（和積法）；(2) 計算 $\lambda_{\max}$ 、 $CI$ 與 $CR$ ，判斷一致性；(3) 若三地點在各準則下的局部權重為 $C:(0.5,0.3,0.2)$ 、 $L:(0.2,0.5,0.3)$ 、 $Q:(0.3,0.1,0.6)$ ，求總分並選址。

解：

(1) 和積法：各列求和 $R = (1.5333,\ 4.3333,\ 6.1333)$ 。正規化每列後取行平均：

正規化矩陣（各列除以該列和再平均）：

\[ w \approx (0.105,\ 0.258,\ 0.637)^\top. \]

（驗算：第 1 列 $1/1.5333=0.652$ 、 $0.333/1.5333$ 不適用——標準做法是逐元素 $a_{ij}/\sum_k a_{kj}$ 再按列平均，讀者可自行完成四捨五入至三位數即得上式。）

(2) 計算 $Aw$ ：

\[ Aw \approx \begin{pmatrix} 1(0.105)+\frac13(0.258)+\frac15(0.637) \\ 3(0.105)+1(0.258)+\frac13(0.637) \\ 5(0.105)+3(0.258)+1(0.637) \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0.319 \\ 0.784 \\ 1.940 \end{pmatrix}. \]

逐元素除以 $w_i$ ： $0.319/0.105 = 3.038$ 、 $0.784/0.258 = 3.039$ 、 $1.940/0.637 = 3.046$ ，平均 $\lambda_{\max} \approx 3.04$ 。故

\[ CI = \frac{3.04-3}{2} = 0.02, \qquad CR = \frac{0.02}{0.58} \approx 0.035 < 0.10. \]

一致性可接受。權重解讀：決策者實際上把 64% 的分量給了勞動品質、26% 給供應鏈、僅 11% 給成本——「重視成本」的口頭宣稱被數學揭穿，這是 AHP 在組織溝通中最受珍視的功能之一。

(3) 總分：

\[ S^{(1)} = 0.105(0.5) + 0.258(0.2) + 0.637(0.3) = 0.0525+0.0516+0.1911 = 0.295, $$ $$ S^{(2)} = 0.105(0.3) + 0.258(0.5) + 0.637(0.1) = 0.0315+0.129+0.0637 = 0.224, $$ $$ S^{(3)} = 0.105(0.2) + 0.258(0.3) + 0.637(0.6) = 0.021+0.0774+0.3822 = 0.481. \]

$P_3$ 總分 0.481 最高，選址 $P_3$ ——其勞動品質優勢在 64% 的準則權重下壓倒了 $P_1$ 的成本優勢。

AHP 的批判與地位#

對 AHP 的主要批評有二。其一，特徵向量法的理論地位：Saaty 當年主張主特徵向量是聚合判斷的唯一合理方式，此「唯一性」論證被 Belton & Stewart 等學者駁倒，實務上幾何平均、加權和等替代聚合常給出相同排序。其二，等級逆轉（rank reversal）：加入一個劣質的虛假方案，可能改變原有方案的排序——因 AHP 的正規化是相對性的。改進方法（BCH 法、理想點法）相繼提出。儘管如此，AHP 的結構化價值從未被否定：它強迫決策群體把「口頭重視」翻譯成「數字權重」、把模糊直覺暴露在一致性指標的檢驗之下——這個過程本身（而非精確的 0.481 vs 0.295）往往是組織學習的收穫。與 8.1–8.2 節的貨幣化路線相比，AHP 是「難以貨幣化時的降級方案」；與《經濟的數學》第 2 章效用理論相比，AHP 不承諾偏好的傳遞性與效用的存在性，只承諾「讓判斷自洽」。

前因後果與驅動關係#

驅動：1970 年代美國國防與能源政策（Saaty 早期參與美國軍備控制與能源研究）面對「軍力、民生、外交、預算」多目標且不可通約的權衡；企業多角化投資亦急需群體決策的共識機制。8.1–8.2 節的貨幣化路線在這些場景失效，AHP 提供了「不要求通約、只要求自洽」的替代。
回頭改變實務：AHP 廣泛用於供應商選擇、廠址評選、績效指標權重設定（與《會計的數學》第 7 章預算指標權重設計相通）；其成對比較界面成為 1990 年代決策支援軟體的常見元件，也啟發了後續 TOPSIS、ELECTRE 等多準則方法的普及。
交叉引用：一致性指標借用線性代數的特徵值理論（《線性代數》相應章節）；權重的敏感度分析連到 3.2 節影子價格；多人群體決策的偏好聚合與《經濟的數學》第 6 章賽局論的社會選擇面向相關。

練習#

對 $n=4$ 的成對比較矩陣，若 $\lambda_{\max}=4.12$ ，求 $CI$ 與 $CR$ （ $RI=0.90$ ），一致性是否可接受？
完全一致矩陣 $a_{ij}=w_i/w_j$ ， $w=(0.2,0.3,0.5)$ 。寫出 $3\times3$ 矩陣 $A$ 並驗證 $\lambda_{\max}=3$ 。
承例題 8.3.1，若決策者改判 $C$ 對 $L$ 為 1（而非 $1/3$ ），新矩陣的一致性會改善還是惡化？定性說明。
用例題 8.3.1 的權重做敏感度分析：勞動品質權重 $w_Q$ 至少要多少， $P_3$ 才仍優於 $P_1$ ？（提示：令 $S^{(3)}-S^{(1)}=0$ ，在 $w_C+w_L+w_Q=1$ 下求解。）
思考題：AHP 的 1–9 標度有心理學依據，但「9 倍重要」在效用尺度上意味什麼？試論證：若把 AHP 權重解釋為「可加權的邊際效用」，需要哪些 8.2 節公理之外的假設？這說明 AHP 是「測量理論」還是「決策程序」？

名詞速查表#

層級分析法（AHP）：以層級結構、成對比較與特徵向量權重處理多準則決策的方法。
1–9 標度：Saaty 用於成對比較的比率尺度。
正互反矩陣： $a_{ji}=1/a_{ij}$ 的成對比較矩陣。
主特徵向量權重： $\lambda_{\max}$ 對應特徵向量正規化後的準則權重。
一致性指標 CI/CR：度量判斷偏離完全一致的程度， $CR<0.10$ 為經驗門檻。
等級逆轉：加入新方案導致原方案排序改變的 AHP 怪象。

（本節完）