1.1 古典政治經濟學的比率語言#

本章導言#

在微積分進入經濟學之前，古典政治經濟學有一套自洽的語言：比率（ratio）與份額（share）。從 Adam Smith（亞當．斯密，1723–1790）的《國富論》（1776）到 John Stuart Mill（約翰．斯圖亞特．密爾，1806–1873）的《政治經濟學原理》（1848），經濟學家處理的核心問題是「一年的國民產出如何分割為工資、利潤與地租」，以及「這種分割的長期趨勢為何」。這些問題的答案只能是比值與比例變動，因此古典學派用加減乘除與級數就足以應付，並不需要導數。

本節要說清楚兩件事：其一，古典的比率語言是為特定問題量身打造的，它在分配問題上非常有效；其二，它的邊界也恰好顯現在同一處——當問題從「已經分好的蛋糕如何切」轉向「要不要再多雇一個人」，比率語言便失靈了。這正是 1.2 節邊際革命的入口。

分配恆等式：古典經濟學的骨架#

古典經濟學的骨架是一條恆等式。設某經濟體一年的淨產出為 \(Y\) ，實質工資總額為 \(W = wL\) （ \(w\) 為實質工資率、 \(L\) 為就業量），使用的資本存量為 \(K\) 、平均利潤率為 \(r\) ，地租總額為 \(R\) ，則：

\[ Y = wL + rK + R, \qquad \frac{wL}{Y} + \frac{rK}{Y} + \frac{R}{Y} = 1. \]

左式三個份額 \(s_L + s_K + s_R = 1\) 恆成立。古典學派的整部經濟史論，本質上是對這三個份額長期走向的猜測與論證：

學者	對份額走向的判斷	驅動機制
Smith (1776)	工資份額傾向於維持「體面水準」	資本累積使工資有上升壓力
Malthus (1798)	工資份額長期被人口壓回生存線	人口幾何級數 vs 生活資料算術級數
Ricardo (1817)	利潤份額長期下降	土地報酬遞減使地租份額上升
Mill (1848)	「靜態」下三份額趨於穩定	資本停積、人口停止

請注意上表全部是比例陳述：沒有任何一格寫「多增加一單位勞動，產出增加多少」。這是古典語言的特徵，也是它的天花板。

為什麼古典學派不需要微分#

一個常見的誤解是「古人數學不好」。事實恰恰相反：Smith 熟悉；Ricardo 在交易所工作，比例與複利計算精熟；Newton 的微積分在 17 世紀末已完成，Bernoulli 家族更早已用它處理賭博問題（見 2.1 節）。真正的理由是問題的形式：

分配問題是「分」不是「選」。 \(Y\) 已經存在，討論的是把它切成三塊，運算是加法與除法。
古典的決策單位是階層而非個人。工資由「維持生存的工人階級」決定，利潤由資本家階級的積累意願決定，沒有「單一消費者在預算內選擇」這個設定，因此沒有最適化問題，也就沒有 \(\max\) 與一階條件。
時間以期數（generation、year）出現，而非連續。Malthus 的人口是逐年翻倍的差分 \(p_{t+1} = p_t(1+i)\) ，不是連續的 \(\frac{dp}{dt}\) 。

這三點合起來說明：不是工具匱乏，而是問題尚未逼到需要工具的地方。當經濟學開始問「多一單位」的問題時，微分便水到渠成——那是 1.2 節與 1.3 節的事。

Malthus 的幾何級數：差分方程的雛形#

Malthus 1798 年《人口論》最著名的論證是一對級數的比較。他主張人口若不受約束，按幾何級數（geometric progression）增長：

\[ p_t = p_0 (1+i)^t, \]

而生活資料按算術級數（arithmetic progression）增長：

\[ f_t = f_0 (1+j)\,t \quad \text{（或每年固定增量）}. \]

關鍵數量是翻倍時間（doubling time）。當年增率為 \(i\) 時，

\[ T_2 = \frac{\ln 2}{\ln(1+i)}. \]

當 \(i\) 很小， \(\ln(1+i) \approx i\) ，故 \(T_2 \approx \dfrac{0.693}{i}\) ——這就是今日常見的「法則 70」（rule of 70）。人口的幾何級數與糧食的算術級數之間，差距是指數對線性的差距，而非比例的差距；這一點用級數表達比用比率表達更精確，可說是古典語言中最接近「變化率」的一段。

Ricardo 的地租差額表：邊際的胚胎#

Ricardo 1817 年的地租理論是他最數學化的部分，也是古典文獻中最接近「邊際」概念的地方。他把土地按肥沃度分級，產量遞減：

土地等級	每單位勞動的谷物產量
A	8
B	6
C	5
D	4

當耕作擴張到最貧瘠的 D 級（當時的「邊際土地」），谷物價格由 D 級的生產成本決定，即每單位勞動產 4 蒲式耳。各級土地的地租等於產量與邊際土地產量之差：

\[ \text{地租}_A = 8 - 4 = 4,\quad \text{地租}_B = 6-4 = 2,\quad \text{地租}_C = 5-4=1,\quad \text{地租}_D = 0. \]

總地租 \(= 4+2+1+0 = 7\) （以谷物計）。Ricardo 雖然寫下的是有限差額而非導數，但推理結構已完全是邊際的：價格由邊際單位決定，超額歸於早期單位。這個「邊際土地決定價格」的模板，日後原封不動地被搬到 3.1 節的邊際成本定價、7.1 節的 Cournot 模型，以及 4.3 節的成本對偶理論。

為什麼比率語言會失靈#

考慮這個問題：「在既有工資率下，工廠多雇一名工人，產量會增加多少？」古典語言的回答只能是「看平均產量 \(Y/L\) 的變化」。但平均值與增量是兩回事——當 \(Y = 10L^{0.5}\) 時， \(Y/L = 10L^{-0.5}\) 隨 \(L\) 下降，而多雇一人的實際增量 \(\Delta Y\) 也不斷下降，兩者數值不同。平均的變化率不是增量，要同時正確處理兩者，就需要把「比值的極限」寫成導數：

\[ \text{平均產量} = \frac{Y}{L}, \qquad \text{邊際產量} = \lim_{\Delta L \to 0} \frac{Y(L+\Delta L) - Y(L)}{\Delta L} = \frac{dY}{dL}. \]

古典經濟學家在文字上早已區分「平均」與「最後一單位」（Ricardo 的邊際土地、Malthus 的最後一批耕地），卻始終沒有把後者寫成一個運算。1.2 節將說明，1871 年三位經濟學家各自獨立地把這個運算引入經濟學，並為它命名為「邊際」。

例題 1.1.1：分配恆等式與利潤率的對立#

例題 1.1.1：某經濟體一年淨產出 \(Y = 1000\) 億元，實質工資總額 560 億，資本存量 \(K = 2000\) 億，地租 200 億。(1) 求初始利潤率 \(r\) 與三個份額；(2) 若工會使工資總額升至 600 億、地租不變，求新的利潤率；(3) 說明此結果如何對應 Ricardo 的「工資—利潤對立」。

解：(1) 由恆等式 \(Y = wL + rK + R\) ：

\[ 1000 = 560 + r \times 2000 + 200 \;\Rightarrow\; r \times 2000 = 240 \;\Rightarrow\; r = \frac{240}{2000} = 0.12. \]

三個份額： \(s_L = 560/1000 = 0.56\) 、 \(s_K = 240/1000 = 0.24\) 、 \(s_R = 200/1000 = 0.20\) ，驗算 \(0.56+0.24+0.20 = 1\) ✓。

(2) 工資 600 億時， \(r \times 2000 = 1000 - 600 - 200 = 200\) ，故 \(r = 200/2000 = 0.10\) 。

(3) 工資份額上升 4 個百分點（ \(0.56 \to 0.60\) ），利潤率下降 2 個百分點（ \(12\% \to 10\%\) ）。由於資本 2000 億大於產出，份額的小幅移動會被槓桿放大為利潤率的相對大幅變動：利潤率相對降幅 \(2/12 \approx 16.7\%\) ，遠大於工資份額的相對增幅 \(4/56 \approx 7.1\%\) 。Ricardo 正是用這種比例推理論證：在報酬遞減使地租份額上升的長期中，利潤率必然被擠壓，而這會抑制積累——他的整套賦稅主張（地租全額課稅、穀物出口退稅不應有）都建立在這條比例鏈上。

前因後果與驅動關係#

驅動：本節的比率語言由三個實務問題逼出——英國穀物法（Corn Laws）辯論要求判斷「關稅保護農業是否犧牲工業利潤」，這需要份額的比較；年金與國債發行要求計算複利與現值，這需要級數（與《金融的數學》第 1 章「時間價值」同源）；殖民地貿易要求判斷貿易條件的長期走向，這需要比率的趨勢分析。古典學派沒有發明新數學，而是把已有的算術、比例與級數用到制度問題上。

反向作用：當 19 世紀中葉經濟學開始回答「工廠規模應該多大」「價格如何由討價還價決定」時，比率語言的天花板顯現。Cournot 1838 年已在《財富理論的數學原理研究》中用函數與極值處理雙廠競爭（見 7.1 節），卻因「讀者不看微積分」而被冷落二十年。正是這個缺口，讓 1871 年的邊際革命（1.2 節）成為必然而非偶然。

對本書與兄弟書的指向： - 1.3 節把「邊際」從文字概念變成可計算的導數與彈性。 - 3.1–3.3 節的供需均衡，本質上是把 Ricardo「邊際土地決定價格」推廣到所有商品。 - 8.1 節 Keynes 的乘數，是把 Malthus 的級數推理改寫為收斂的差分方程。 - 《金融的數學》第 1 章的複利與現值，正是本節級數語言的正規化；《會計的數學》第 8 章的比率分析，是本節分配恆等式的企業版。

練習#

承例題：若地租因開墾新地升至 250 億、工資維持 560 億，求新的利潤率，並計算利潤份額與地租份額的比值如何變化。
設人口年增率 \(i = 2.1\%\) ，用 \(T_2 = \ln 2/\ln(1+i)\) 計算翻倍時間，並與「法則 70」的近似值比較，算出相對誤差。
承本節地租差額表，若因人口壓力耕作擴張到產量為 3 的 E 級土地，重算各級地租與總地租，並說明「總地租上升、但每一級的谷物地租如何變動」。
設某產業淨產出 \(Y\) 、工資份額 0.50、地租份額 0.10。若技術進步使 \(Y\) 增加 10% 而要素數量不變，三份額與利潤率將如何變動？請列出你的假設（哪些份額固定）並分別計算兩種情形。
思考題：Ricardo 的「邊際土地決定價格」在結構上已是邊際分析，卻被歸為古典學派。請用一段話說明：思想上的邊際與數學上的邊際（導數運算）差別何在？缺少後者會使理論在哪些問題上失效？

名詞速查表（本節出現的核心術語）#

分配恆等式： \(Y = wL + rK + R\) ，三大要素份額之和恆為 1。
幾何級數： \(p_t = p_0(1+i)^t\) ，每期按固定比率增長；其離散形式即差分方程。
算術級數：每期按固定數量增長，Malthus 用以描述生活資料。
翻倍時間： \(T_2 = \ln 2/\ln(1+i)\) ，小利率下近似為 \(0.693/i\) （法則 70）。
邊際土地：Ricardo 模型中產量最低、地租為零、決定穀價的最後一級土地。
地租差額：某級土地產量減去邊際土地產量，即該級的地租。
平均產量 vs 邊際產量： \(Y/L\) 與 \(dY/dL\) ，兩者的區別是邊際革命的起點。
工資基金說：古典學派認為工資由預先墊付的資本基金決定的學說（後被 Mill 修正）。

（本節完）