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2.1 St Petersburg 悖論與效用（1738）#

本章導言#

機率論在 1654 年誕生後不到八十年，就撞上自己的第一堵牆。1713 年，Nicolaus Bernoulli（尼可拉．白努利，1687–1759）在與 Pierre de Montmort 的通信中提出一個賭局（後稱 St. Petersburg game）：擲一枚均勻硬幣，直到首次出現正面為止；若第 \(n\) 次才出現正面，就贏 \(2^n\) 枚金幣。按 1.1 節 Huygens 的「公平價格＝期望值」原則，這個賭局的價值應為：

\[ \mathbb{E} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\cdot 2^n = \sum_{n=1}^{\infty} 1 = \infty. \]

期望值是無窮大。然而當時最富有的人也絕不會為參加這個賭局支付超過十幾枚金幣。理論說無窮，市場說有限——這是「公平價格」概念的第一次公開破產。1738 年，Nicolaus 的堂弟 Daniel Bernoulli（丹尼爾．白努利，1700–1782）在彼得堡科學院的論文集中給出解答，這篇論文同時是期望效用理論與風險厭惡概念的源頭。本節將重走這條路，並把它接到本書後續的決策理論。

悖論的精確結構#

把賭局拆開看就會發現病灶在哪。設 \(S_N\) 為「只允許擲到第 \(N\) 次為止」的截斷期望值（第 \(N\) 次仍無正面則無獎金），則

\[ S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{2^n}\cdot 2^n = \sum_{n=1}^N 1 = N, \]

截斷期望值隨 \(N\) 線性成長且無上界。收斂失敗的原因極其直白：每一項的機率 \(2^{-n}\) 與獎金 \(2^n\) 恰好抵消，使每一項都等於 1。用 1.3 節的語言：這個賭局的「極端情境權重 × 極端報酬」乘積不衰減。

悖論逼出的問題是：人到底在期望什麼？ 若答案是「期望值」，則出價應為無窮；若不是，那「公平價格」的正確定義是什麼？

Daniel Bernoulli 的解答：期望效用#

Daniel Bernoulli 的論文開宗明義指出：用財富的增加量衡量損益是錯的，應該用財富的滿足程度衡量。他提出兩條原理：

  1. 效用與財富不成正比。同是 100 枚金幣，對窮人與富人的意義完全不同——邊際效用遞減。
  2. 理性的選擇準則是期望效用最大，而非期望金額最大：
\[ EU = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\, U(2^n). \]

他建議的函數之一是對數 \(U(x) = \ln x\) 。代入得：

\[ EU = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\ln\left(2^n\right) = \ln 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} = \ln 2 \cdot 2 = 2\ln 2 \approx 1.386. \]

其中用到冪級數 \(\displaystyle\sum_{n\ge1} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}\) 在 \(x = \frac12\) 時等於 \(2\) （讀者可自行代入驗算： \(\frac{1/2}{(1/2)^2} = 2\) ✓）。原本無窮的賭局，經過效用轉換後得到一個有限、明確、與理論相容的價值。這是經濟學史上第一次用「函數轉換」化解悖論。

邊際效用遞減與風險厭惡#

對數效用 \(U' = 1/x > 0\) 、 \(U'' = -1/x^2 < 0\) ，恰好符合 1.2 節的邊際效用遞減假設。它的決策後果是：凹效用使理性人拒絕公平賭局。設財富 \(w\) 、公平賭局（期望值 0），由 Jensen 不等式：

\[ \mathbb{E}[U(w + X)] \le U\big(w + \mathbb{E}[X]\big) = U(w), \]

當 \(U\) 嚴格凹時不等號嚴格成立，故期望效用低於不賭的效用——即使賭局「公平」。這個性質稱為風險厭惡（risk aversion）。為了量化它，John Pratt（1964）與 Kenneth Arrow（1965）定義：

\[ A(w) = -\frac{U''(w)}{U'(w)} \quad \text{（絕對風險厭惡）}, \qquad R(w) = w\,A(w) \quad \text{（相對風險厭惡）}. \]

對 \(U = \ln w\) ： \(A(w) = \dfrac{1/w^2}{1/w} = \dfrac{1}{w}\) ， \(R(w) = 1\) 。後者正是金融實務中「風險佔財富固定比例」假設的來源（《金融的數學》第 7 章風險度量的核心工具）。

其他解法：三條逃生路線#

St. Petersburg 悖論後來有三種互補的化解方式，值得並列：

路線 核心想法 代表
期望效用 無窮的是「金額」，不是「效用」 D. Bernoulli 1738
展望截斷 現實中獎金有上限、或人會在某次後離場 設定有限獎金層級的現代重述
漸近公平 重複下注時平均收益趨近期望值，只是收斂極慢 機率論的弱大數法則

第一條路線成為主流，直接催生 9.1 節 von Neumann–Morgenstern（1944）的期望效用公理化；第二條提醒我們模型設定（獎金上限）本身就是理論的一部分；第三條則把問題還給機率論——無窮期望值的變數（如本例）其實**不滿足 Kolmogorov 1933 公理體系下期望值存在的條件 \(\mathbb{E}|X| < \infty\) **，嚴格說來「它的期望值是無窮」這句話本身就是一個需要小心界定的陳述。

例題 2.1.1：三段計算#

例題 2.1.1：續 St. Petersburg 賭局。(1) 計算截斷至 \(N = 10\) 次的期望值 \(S_{10}\) ，並寫出一般式；(2) 設 \(U(x) = \ln x\) ，求期望效用（取無窮級數的精確值）；(3) 另有一 50/50 賭局：得 0 或 100，效用 \(U(w) = \sqrt{w}\) （ \(w\) 為該筆金額）。求期望值、期望效用、確定等值（certainty equivalent）與風險貼水，並判斷風險態度。

解：(1) \(S_{10} = \sum_{n=1}^{10} 2^{-n}\cdot 2^n = 10\) ，一般式 \(S_N = N\) ，故 \(\lim_{N\to\infty} S_N = \infty\) （期望值發散）。

(2) \(EU = \ln 2 \sum_{n=1}^\infty n 2^{-n} = \ln 2 \times 2 = 2\ln 2 \approx 1.3863\) 。驗算：取前 6 項 \(\sum_{n=1}^{6} n/2^n = 0.5 + 0.5 + 0.375 + 0.25 + 0.15625 + 0.09375 = 1.875\) ，前 10 項約 1.9883，確以 2 為極限 ✓。

(3) 期望值 \(\mathbb{E} = 0.5\times 0 + 0.5\times 100 = 50\) 。期望效用：

\[ EU = 0.5\sqrt{0} + 0.5\sqrt{100} = 0.5 \times 10 = 5. \]

確定等值 \(CE\) 滿足 \(U(CE) = EU\) ，即 \(\sqrt{CE} = 5 \Rightarrow CE = 25\) 。風險貼水：

\[ \rho = \mathbb{E} - CE = 50 - 25 = 25. \]

因為 \(CE < \mathbb{E}\) （他寧可抱著 25 元現金，也不要參加這個期望 50 元的賭局），故為風險厭惡；亦可由 \(U'' = -\frac{1}{4}w^{-3/2} < 0\) 直接判定 ✓。相對風險厭惡 \(R = w\cdot\frac{-U''}{U'} = w \cdot \frac{(1/4)w^{-3/2}}{(1/2)w^{-1/2}} = \frac{1}{2}\) ，為常數。

前因後果與驅動關係#

驅動：本節理論由兩個實務問題逼出。其一，年金與彩券的定價爭議：17–18 世紀各國發行年金、出售彩券與保險，市場出價明顯低於期望值，理論無法解釋（年金定價的同源問題正是《金融的數學》第 2 章「年金與債券」的起點）。其二，賭桌與保險的實務：保險公司承保的是低機率大損失，投保人支付的保費高於期望損失，卻仍然買單——這與「期望值最大化」矛盾，逼使學者尋找新的決策準則。

反向作用：效用概念成熟後反過來重塑了三塊領域：(1) 不確定性決策成為獨立分支——期望效用公理化（9.1 節）之後，賽局論（第 6 章）、資訊經濟學（9.2、9.3 節）都建立在同一套公理上；(2) 風險成為可計價的商品——保險費率、選擇權價格、資本市場的風險溢酬（《金融的數學》第 3、4、7 章）皆由效用與風險厭惡推導；(3) 時間偏好被納入——對數效用與貼現的結合，把「現在的一元優於將來的一元」量化，這是《金融的數學》第 1 章時間價值與 9.1 節跨期選擇的共同基礎。

對本書與兄弟書的指向： - 2.2 節將說明：序數效用論者放棄了本節的 cardinal 效用，只保留「凹性→凸無差異曲線」的結構，這是對 Bernoulli 傳統的重要修正。 - 9.1 節：vNM 期望效用定理把本節的「準則」升級為「公理」。 - 《金融的數學》第 1 章時間價值＝把期望效用與貼現因子結合；第 4 章選擇權＝在不確定下定價；第 8 章保險精算＝用期望損失加風險貼水定價；第 7 章風險度量則是 Pratt–Arrow 風險厭惡函數的現代變體。 - 《管理的數學》第 8 章決策分析的「期望值 vs 期望效用準則」直接承襲本節。

年表速查（本節涉及的關鍵年份）#

  • 1654：Pascal–Fermat 通信確立期望值作為「公平價格」。
  • 1713：Nicolaus Bernoulli 於 Montmort 書信中提出 St. Petersburg 賭局。
  • 1738：Daniel Bernoulli 以對數效用解悖論，期望效用概念誕生。
  • 1738：Laplace 大規模發展機率論與生存年金計算。
  • 1814：Laplace《概率的解析理論》，期望值準則在統計中確立。
  • 1921：Knight《風險、不確定與利潤》區分風險與不確定。
  • 1934：Ramsey 主觀期望效用的先驅工作。
  • 1944：von Neumann–Morgenstern 期望效用公理化。
  • 1964：Pratt 與 Arrow 定義風險厭惡函數 \(-U''/U'\) 。
  • 1979：Kahneman–Tversky 前景理論，對凹效用公理提出實驗挑戰。

名詞速查表（本節出現的核心術語）#

  • St. Petersburg 悖論：期望值為無窮、理性出價卻有限的賭局。
  • 期望效用： \(\sum p_i U(x_i)\) ，以效用而非金額做機率加權。
  • 邊際效用遞減： \(U''<0\) ，對數效用 \(U=\ln w\) 為標準例子。
  • 風險厭惡：凹效用下拒絕公平賭局， \(CE < \mathbb{E}[X]\) 。
  • 確定等值（CE）：與某賭局效用相同的確定金額。
  • 風險貼水：期望值減確定等值，為「為規避風險願付的代價」。
  • 絕對／相對風險厭惡： \(A(w)=-U''/U'\) 、 \(R(w)=wA(w)\) （Pratt 1964、Arrow 1965）。
  • 冪級數： \(\sum n x^n = x/(1-x)^2\) ，本節使無窮級數收斂的關鍵工具。

深化問答三則#

問：Daniel Bernoulli 解決了悖論嗎？ 答：他把「金額的無窮」換成「效用的有限」，化解了出價悖論，但也留下新問題： \(U\) 從哪裡來、為什麼是對數？1944 年 vNM 的回答是——不用猜 \(U\) 的形式，只要行為滿足四條公理（完整性、傳遞性、連續性、獨立性），效用函數就唯一存在到正線性變換。這是把「心理量」降格為「表示工具」的關鍵一步（與 1.2 節末尾「用選擇取代心理量」的呼應）。

問：為什麼對數效用會使相對風險厭惡恆為 1？ 答：因 \(\frac{-U''}{U'} = \frac{1}{w}\) ，乘上 \(w\) 後 \(w\) 消去。這代表「無論身家多少，都願意拿財富的固定比例去承擔風險」——簡潔得近乎可疑，但與實證的「恆常相對風險厭惡（CRRA）」在許多資料中相當吻合，至今仍是總體與金融模型的預設（《金融的數學》第 5、6 章的常見效用設定）。

問：若把本節的「公平價格」接上時間，會得到什麼？ 答：得到貼現。把「未來的 \(x\) 」以 \(U\) 衡量、再乘上貼現因子 \(\delta^t\) ，就得到跨期的期望效用 \(\mathbb{E}[U(c_t)\delta^t]\) 的加總——這是 8.2 節 Solow 成長模型的黃金律、9.1 節跨期選擇，以及《金融的數學》第 1 章年金現值公式的共同源頭。時間偏好一旦量化，「現在消費 vs 未來消費」就變成與本節完全同型的最適化問題。

（本節完）