2.3 預算限制與 Lagrange 乘數法#

本章導言#

2.2 節給了我們消費者的「想要」——無差異曲線與 \(MRS\) ，但還沒給「能要」。市場給消費者兩項條件：價格向量 \((p_x, p_y)\) 與所得 \(m\) 。兩者合成一條直線：

\[ p_x x + p_y y = m \qquad \text{（預算限制式）}. \]

消費者問題於是成為一個標準的約束最適化：

\[ \max_{x,y}\; u(x,y) \quad \text{s.t.} \quad p_x x + p_y y = m. \]

這個形式在 18–19 世紀的數學中早已成熟：Joseph-Louis Lagrange（拉格朗日，1736–1813）在處理帶約束的變分與極值問題時，發明了「乘數法」——引入一個輔助變數 \(\lambda\) 把約束併入目標函數，使多變數約束問題化為無約束問題。經濟學在 20 世紀初把這套工具接收過來，從此「拉格朗日乘數」成為消費者理論、生產理論、一般均衡與福利分析的共同語法。本節的目的，是讓讀者看清幾何（相切）、代數（ \(\lambda\) ）與經濟（影子價格）三者如何是同一件事。

一階條件：相切＝等際#

構造 Lagrangian：

\[ \mathcal{L}(x,y,\lambda) = u(x,y) + \lambda\,\big(m - p_x x - p_y y\big). \]

對三個變數取偏導並令為零：

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = u_x - \lambda p_x = 0, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = u_y - \lambda p_y = 0, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = m - p_x x - p_y y = 0. \]

前兩式相除， \(\lambda\) 消去：

\[ \boxed{\;\frac{u_x}{u_y} = \frac{p_x}{p_y}\;} \qquad \Longleftrightarrow \qquad MRS_{xy} = \frac{p_x}{p_y}. \]

三種說法完全等價：

說法	內容
幾何	無差異曲線與預算線相切（斜率相等且有交點）
代數	兩式相除消去 \(\lambda\)
經濟	每元錢在兩商品上的邊際效用相等： \(\dfrac{u_x}{p_x} = \dfrac{u_y}{p_y}\) （等際原則）

最後一式是 1.2 節等際原則的正規化：若 \(\dfrac{u_x}{p_x} > \dfrac{u_y}{p_y}\) ，把 1 元從 \(y\) 移到 \(x\) 會淨增效用，故不是最適；均衡時兩邊必相等。

\(\lambda\) 是什麼：影子價格#

\(\lambda\) 不是計算的副產品，它有明確的經濟身分。由前兩式 \(\lambda = u_x/p_x\) ，其單位是「效用／元」，即：

\[ \lambda = \frac{\partial u^*}{\partial m} \qquad \text{（所得的邊際效用；由包絡定理）}. \]

包絡定理（envelope theorem）告訴我們：最適值 \(u^*(m)\) 對參數 \(m\) 的全導數，等於 Lagrangian 對該參數的偏導數 \(\partial \mathcal{L}/\partial \lambda = u^*\) 處的值——不必把 \(x^*, y^*\) 如何隨 \(m\) 變動納入計算。這就是 \(\lambda\) 的影子價格身分：它衡量「預算鬆弛一元值多少效用」。同一個概念有眾多化身：

消費者理論： \(\lambda\) = 所得邊際效用。
生產理論：等產量線的 \(\lambda\) = 產出的邊際成本（4.3 節）。
一般均衡： \(\lambda\) = 商品的邊際評價，與 5.1 節 Walras 的稀少性相通。
規劃理論：LP 的對偶變數（《管理的數學》第 3 章）。
財政政策：預算的影子成本（稅的超額負擔）。

Cobb–Douglas 的封閉解與支出份額#

設 \(u(x,y) = x^{a} y^{b}\) （ \(a,b>0\) ）。一階條件給出 \(\dfrac{a y}{b x} = \dfrac{p_x}{p_y}\) ，即 \(p_x x = \dfrac{a}{b} p_y y\) 。代入預算式：

\[ p_x x + p_y y = m \;\Longrightarrow\; \frac{a}{b}p_y y + p_y y = m \;\Longrightarrow\; y^* = \frac{b}{a+b}\cdot\frac{m}{p_y}, \quad x^* = \frac{a}{a+b}\cdot\frac{m}{p_x}. \]

於是支出份額恆為：

\[ \frac{p_x x^*}{m} = \frac{a}{a+b}, \qquad \frac{p_y y^*}{m} = \frac{b}{a+b}. \]

份額是常數且只取決於偏好參數、與價格與所得無關——這是 Cobb–Douglas 形式最強的預測，也是 4.1 節生產函數中「要素份額＝冪次」這個實證性質的消費者版（對偶關係，見 4.3 節）。

例題 2.3.1：完整計算與 \(\lambda\) 的驗證#

例題 2.3.1：設 \(u(x,y) = \sqrt{xy}\) 、 \(p_x = 1\) 、 \(p_y = 2\) 、 \(m = 120\) 。(1) 求最適消費組合與最大效用；(2) 求 \(\lambda\) ；(3) 用 \(m = 121\) 重算，驗證包絡定理 \(\dfrac{du^*}{dm} \approx \lambda\) ；(4) 檢驗支出份額。

解：(1) 一階條件（或用上節 \(a=b\) 的公式）：

\[ \frac{u_x}{u_y} = \frac{y}{x} = \frac{p_x}{p_y} = \frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; x = 2y. \]

代入 \(x + 2y = 120\) ： \(2y + 2y = 120 \Rightarrow y^* = 30\) ， \(x^* = 60\) 。最大效用：

\[ u^* = \sqrt{60 \times 30} = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2} \approx 42.43. \]

(2) \(\lambda = \dfrac{u_x}{p_x} = \dfrac{\frac{1}{2}\sqrt{y/x}}{1} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{30}{60}} = \dfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt 2} = \dfrac{1}{2\sqrt2} \approx 0.3536\) 。交叉驗證 \(\lambda = \dfrac{u_y}{p_y} = \dfrac{\frac12\sqrt{x/y}}{2} = \dfrac{\frac12\sqrt2}{2} = \dfrac{1}{2\sqrt 2}\) ✓，兩式一致。

(3) \(m = 121\) 時 \(x = 60.5\) 、 \(y = 30.25\) ， \(u^* = \sqrt{60.5 \times 30.25} = \sqrt{1830.125} \approx 42.780\) 。故

\[ \frac{\Delta u^*}{\Delta m} = \frac{42.780 - 42.426}{1} \approx 0.354 \approx \lambda = 0.3536 \;\checkmark \]

（相對誤差約 0.1%，來自有限差分； \(\Delta m \to 0\) 時必收斂於 \(\lambda\) 。）

(4) 支出份額： \(p_x x^* = 1 \times 60 = 60 = m/2\) 、 \(p_y y^* = 2\times 30 = 60 = m/2\) ，各占 \(\frac12\) ，與 \(a/(a+b) = 0.5/1 = 0.5\) 完全吻合 ✓。請注意：即使 \(m\) 與價格改變，份額仍各為一半（試以 \(p_y = 4\) 、 \(m = 200\) 自行驗算）。

注意事項：角點解與二階條件#

內點解的相切條件只是必要條件。兩類常見例外：(1) 角點解（corner solution）——若某商品的每元邊際效用恆較低，消費者可能完全不買它，此時相切條件不成立，需用 Kuhn–Tucker 條件 \(u_x/p_x \le \lambda\) 、 \(u_y/p_y \le \lambda\) 加互補性；(2) 多重切點——非凹效用可能產生多個局部解。實務上最穩妥的做法是比較所有候選點的效用（與 1.2 節例題的窮舉驗證同理）。二階條件則要求 Hessian 在約束切面上負定，幾何上就是「無差異曲線在切點處凸向正確的一側」。

前因後果與驅動關係#

驅動：預算限制＋乘數法由三個問題逼出。其一，18–19 世紀的資源配置問題——Lagrange 本人處理的是力學約束與天文觀測的加權問題，經濟學借用的是「多個目標受同一資源限制」這個抽象結構。其二，家計調查與需求估計——19 世紀末各國開始系統收集家庭支出資料，學者必須把「觀察到的支出」與「隱含的偏好」對上，Cobb–Douglas 份額公式（本節）正是最早可用資料檢驗的消費者模型之一。其三，公共資源的競爭使用——水、道路、預算在多用途間分配，迫使分析者回答「這個約束值多少」，即 \(\lambda\) 的問題。

反向作用：乘數法進入經濟學後改變了三件事：(1) 所有最適化問題有了統一解法——消費者（本節）、生產者（4.3 節）、一般均衡（5.1 節）、福利（5.3 節）使用同一語法，經濟學的「數學化」自此不可逆；(2) 對偶思想誕生——每個「最大化」問題都有對應的「最小化」問題與對偶變數 \(\lambda\) （4.3 節成本函數對偶、LP 對偶），這是現代最適化理論的骨幹；(3) 政策評估有了語言——影子價格使「多一元預算的價值」「某項限制的機會成本」成為可計算量，直接進入成本效益分析（《管理的數學》第 6 章專案管理的資源限制決策即由此而來）。

對本書與兄弟書的指向： - 4.3 節：同一套 Lagrange 結構用於成本最小化，且其對偶即本節的支出最小化——兩者互為鏡像。 - 5.1 節：每個消費者解出一條 Marshall 需求，加總即成 Walras 體系的方程組。 - 8.2 節：跨期預算限制 \(c_1 + \dfrac{c_2}{1+r} = w_1 + \dfrac{w_2}{1+r}\) 是本節預算線的現值版。 - 《金融的數學》第 1 章時間價值正是跨期預算線的斜率（利率）；第 3 章組合最適化用同一個乘數法求解。 - 《管理的數學》第 3 章線性規劃與 Lagrange 的差別在於：LP 的解落在頂點（角點），可微情形的解落在內部（相切）——兩者共同構成最適化的完整地圖。

練習#

設 \(u(x,y) = \sqrt{xy}\) 、 \(p_x = 3\) 、 \(p_y = 1\) 、 \(m = 120\) ，求最適組合、最大效用與 \(\lambda\) ，並驗證支出份額各為 \(\frac12\) 。
設 \(u(x,y) = x^{0.25} y^{0.75}\) 、 \(p_x = 4\) 、 \(p_y = 2\) 、 \(m = 200\) ，用份額公式直接寫出 \(x^*, y^*\) ，再用一階條件驗算，並求 \(\lambda\) 。
驗證包絡定理：承第 1 題，把 \(m\) 改為 \(126\) 重算 \(u^*\) ，求 \(\Delta u^*/\Delta m\) ，與你算出的 \(\lambda\) 比較（應相差不超過 1%）。
若效用為 \(u(x,y) = \min\{x, y\}\) （完全互補，Leontief 型），預算式不變，求最適解。此題的 Lagrangian 為什麼「行不通」？該用什麼方法處理？
思考題： \(\lambda\) 被稱為「影子價格」，而商品 \(x\) 的實際價格是 \(p_x\) 。在什麼情況下兩者相等、什麼情況下必然不等？請就本節的 Cobb–Douglas 情形與你想到的政策情境（例如限水、限購、排隊）各舉一例，並說明差額的經濟意義（提示：拉緊的約束才有正的影子價格）。

名詞速查表（本節出現的核心術語）#

預算限制式： \(p_x x + p_y y = m\) ，價格與所得構成的可行集合邊界。
Lagrangian： \(\mathcal{L} = u + \lambda(m - p_x x - p_y y)\) ，把約束併入目標函數。
**Lagrange 乘數 \(\lambda\) **：最適值對約束右端的邊際變化率＝影子價格。
相切條件： \(MRS = p_x/p_y\) ，無差異曲線與預算線斜率相等。
等際原則： \(u_x/p_x = u_y/p_y\) ，每元錢的邊際效用處處相等。
包絡定理：最適值對參數的導數＝Lagrangian 的偏導數，無需考量決策變數的間接效果。
支出份額： \(p_i x_i^*/m\) ；Cobb–Douglas 情形下恆等於冪次比。
角點解：最適解落在可行集合邊界端點，相切條件不適用（Kuhn–Tucker 條件）。

（本節完）