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3.2 均衡的存在、唯一與穩定#

本章導言#

Marshall 的供需圖只用一眼就完成三件事：兩條曲線有交點、交點只有一個、交點拉得回來。這三件事在圖上近乎自明，在數學上卻都是需要證明（或反例）的命題。1954 年 Arrow 與 Debreu 的經典論文把「均衡存在性」提升為全書的核心定理；而 Sonnenschein、Mantel、Debreu 在 1970 年代證明的 SMD 定理更指出：只要偏好合理，超額需求函數幾乎可以是任何樣子——因此唯一性與穩定性無法從理性假設推出，必須另加條件。本節在一個市場的尺度上，把這三個問題徹底說清楚。

均衡的定義：超額需求為零#

設單一市場的需求函數 \(D(p)\) 與供給函數 \(S(p)\) 在價格區間上連續，定義超額需求（excess demand）：

\[ z(p) = D(p) - S(p). \]

均衡是使超額需求為零的價格：

\[ z(p^*) = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad D(p^*) = S(p^*). \]

注意：均衡是約束（條件），不是方法。要從「條件」變成「結論」，必須分別處理三道關卡。

第一關：存在性——中間值定理#

命題：若 \(D, S\) 在 \([p_{\min}, p_{\max}]\) 上連續，且 \(z(p_{\min}) > 0\) 、 \(z(p_{\max}) < 0\) ，則存在 \(p^* \in (p_{\min}, p_{\max})\) 使 \(z(p^*) = 0\) 。

證明： \(z\) 連續且在區間兩端異號，由 Bolzano–中間值定理，必有零點。 \(\blacksquare\)

這就是全部——存在性的初等核心只是中間值定理。經濟學的真正困難在於：高維情形（ \(n\) 個商品、 \(n\) 個方程，且需同時滿足所有家庭與廠商的最適化）不能靠中間值定理，需要拓樸學的固定點工具。Arrow–Debreu 最終訴諸的是 Brouwer 不動點定理（經 Kakutani 推廣），這正是 5.2 節的主題。本節先記住這個對比：一維用中間值，多維用不動點。

第二關：唯一性——單調性#

存在不保證唯一。標準的充分條件是：

命題：若 \(z(p)\) 嚴格遞減（ \(z'(p) < 0\) ），則均衡唯一。

證明：設 \(p_1 < p_2\) 皆為均衡，則 \(z(p_1) = z(p_2) = 0\) ，與嚴格遞減矛盾。 \(\blacksquare\)

\(z'(p) < 0\) 的經濟拆解是：價格上升時，需求量不增（需求法則）、供給量不減（供給法則），故 \(z' = D' - S' < 0\) 。但這只是充分條件。反例俯拾皆是：劣等品可能使 \(D' > 0\) （Giffen，見 3.1 節）、勞動供給的後彎可能使 \(S' < 0\) 、多重技術選擇可能使供給非單調——這些情形下可能有三個交點。當存在多個均衡時，「均衡分析」本身就有缺口，必須引入選擇機制（例如 7.1 節的 Cournot 路徑、9.3 節的拍賣設計）。

第三關：穩定性——調整過程#

存在且唯一，仍不夠。還需問：若價格偏離均衡，市場會自己走回來嗎？答案取決於調整機制，而不是曲線本身。最古典的機制是 Walras 的拍賣者試探（tâtonnement）：一位虛擬拍賣者喊價，若超額需求為正就加價、為減就減價：

\[ \frac{dp}{dt} = k\, z(p), \qquad k > 0. \]

下圖是這條回饋迴路的完整結構：

線性穩定性分析：設 \(z\) 可微且 \(z(p^*) = 0\) ，令 \(p = p^* + \varepsilon\) ，線性化得

\[ \frac{d\varepsilon}{dt} = k\, z'(p^*)\,\varepsilon \;\Longrightarrow\; \varepsilon(t) = \varepsilon(0)\,e^{k z'(p^*) t}. \]

收斂的充要條件是 \(k\,z'(p^*) < 0\) 。因 \(k>0\) ，故需

\[ \boxed{\,z'(p^*) < 0\,} \]

——恰好是唯一性所需的同一個條件，這不是巧合：超額需求負斜率既排除多交點，也保證偏離會被壓回。離散調整 \(p_{t+1} = p_t + k\,z(p_t)\) 的條件稍嚴： \(|1 + k z'(p^*)| < 1\) ，即 \(0 < k < \dfrac{2}{|z'(p^*)|}\) ——調整速度過快反而會震盪發散。

例題 3.2.1：三關全過的完整驗算#

例題 3.2.1：設 \(D(p) = 100 - 2p\) 、 \(S(p) = -20 + 4p\) 。(1) 證均衡存在並求 \(p^*\) ；(2) 證均衡唯一；(3) 以 \(p_{t+1} = p_t + 0.1\,z(p_t)\) 、 \(p_0 = 35\) 迭代三期，驗證收斂與收斂率；(4) 若調整速度改為 \(k = 0.5\) ，判斷穩定性；(5) 若供給改為有落後的 \(S_t = -20 + 0.5\,p_{t-1}\) （蛛網模型），判斷穩定性。

解：(1) \(z(p) = D - S = (100-2p) - (-20+4p) = 120 - 6p\) 。 \(z(0) = 120 > 0\) ， \(z(30) = -60 < 0\) ，且 \(z\) 為線性連續 \(\Rightarrow\) 存在零點。解 \(120 - 6p^* = 0\) 得

\[ p^* = 20, \qquad Q^* = D(20) = 100 - 40 = 60 = S(20) = -20+80 \;\checkmark \]

(2) \(z'(p) = -6 < 0\) 對所有 \(p\) 成立 \(\Rightarrow\) \(z\) 嚴格遞減 \(\Rightarrow\) 均衡唯一 ✓（由第二關的命題）。

(3) 令 \(p_{t+1} = p_t + 0.1(120 - 6p_t) = p_t(1 - 0.6) + 12 = 0.4\,p_t + 12\) 。逐期計算：

\(t\) \(p_t\) \(p_t - 20\)
0 35 15
1 \(0.4\times35+12 = 26\) 6
2 \(0.4\times26+12 = 22.4\) 2.4
3 \(0.4\times22.4+12 = 20.96\) 0.96

偏差比值恆為 \(6/15 = 2.4/6 = 0.96/2.4 = 0.4\) ，即 \(|1 + k z'| = |1 + 0.1(-6)| = 0.4 < 1\) ，幾何收斂於 \(p^* = 20\) ✓。每期偏差縮為 40%，再三期後偏差小於 1%。

(4) \(k = 0.5\) ： \(|1 + 0.5(-6)| = |-2| = 2 > 1\) ，發散——價格會以 2 倍速度離開均衡。穩定區間為 \(0 < k < 2/6 = \frac13\) ，故 \(k=0.5\) 已越界。調整太快比太慢更危險。

(5) 蛛網：市場出清 \(D(p_t) = S_t \Rightarrow 100 - 2p_t = -20 + 0.5 p_{t-1}\) ，故

\[ p_t = 60 - 0.25\,p_{t-1}. \]

迭代映射斜率 \(|-0.25| < 1\) ，故震盪收斂（正負交替但幅度遞減）於 \(p^* = 60/1.25 = 48\) 。驗算： \(D(48) = 100-96 = 4\) 、 \(S = -20 + 0.5\times48 = 4\) ✓。若供給較陡（例如 \(S = -20 + 4p_{t-1}\) ，斜率絕對值 2），則迭代斜率為 \(-2\) 、震盪發散——這正是農產品「價格循環」的經典成因（豬週期、玉米蛛網），也是 3.3 節彈性與動態討論的起點。

前因後果與驅動關係#

驅動：三個問題各有實務來源。存在性來自 19 世紀末的疑問：供需「自然會找到價格」這句話，究竟是信仰還是定理？Walras 的拍賣者假設是為了讓調整過程有明確機制而虛構的角色，而要把「拍賣者喊價必然停在某處」變成定理，就必須動用固定點定理——實務直覺（市場會出清）逼出了 20 世紀最抽象的拓樸工具。唯一性來自公共政策：若同一組基本面有多個均衡，則「稅會讓價格從 A 走到 B」的論斷毫無意義，政策評估必須先知道均衡有幾個。穩定性來自最直接的經驗：19 世紀農產品價格的劇烈循環、經濟恐慌中的價格崩跌，都顯示市場未必溫和回歸。

反向作用：這三個問題的數學化反過來改變了經濟分析：(1) 固定點定理成為一般均衡的支柱（5.2 節 Arrow–Debreu 1954 的證明架構）；(2) SMD 定理（1970s）從反面揭示——由理性假設出發，市場需求幾乎可以任意，因此唯一性與穩定性是建模者的選擇，不是理論的推論，這迫使實證與政策分析明示自己的假設；(3) 動態系統工具大量進場——差分／微分方程的穩定性分析從此是標準裝備，一路延伸到 8.2 節 Solow 收斂、8.3 節商業循環與 10.2 節時間序列。

對本書與兄弟書的指向： - 5.1 節：多市場版本的均衡與 Walras 定律；5.2 節：存在性的嚴格證明。 - 3.3 節：把本節的 \(k\) 與 \(z'\) 換成彈性，分析調整速度與超調。 - 7.1 節：Cournot 的反應函數交點，是本節唯一性與穩定性問題在雙寡頭的翻版。 - 8.3 節：蛛網與迭代映射的完整版（特徵根判別）。 - 《管理的數學》第 4 章排隊論的到達率＝服務率平衡、第 5 章存貨的訂購—耗盡迴路，都是同一類「回饋—穩定」結構的應用。

練習#

  1. 設 \(D(p) = 200 - 3p\) 、 \(S(p) = 20 + 2p\) ，求均衡 \(p^*, Q^*\) ，並用 \(z'(p)\) 與 \(|1+kz'|\) 判斷 \(k = 0.2\) 時的穩定性。
  2. 承第 1 題，取 \(p_0 = 60\) 、 \(k = 0.2\) ，迭代三期（列出每期 \(p_t\) 與偏差），計算偏差縮減率是否與理論值一致。
  3. 設 \(z(p) = -p^3 + 3p - 1\) 。計算 \(z(0) = -1\) 、 \(z(1) = 1\) 、 \(z(2) = -3\) ，據此說明中間值定理保證區間 \((0,1)\) 與 \((1,2)\) 各有至少一個均衡；再用 \(z'(p) = -3p^2 + 3\) 判斷這兩個均衡何者穩定、何者不穩定，並解釋經濟意義（供給曲線在何種斜率下會讓「穩定」失效）。
  4. 蛛網模型 \(p_t = 60 - 0.25 p_{t-1}\) 中，若 \(p_0 = 56\) ，算出 \(p_1, p_2, p_3\) ，驗證偏差以公比 \(-0.25\) 遞減（正負交替），並求極限。
  5. 思考題：SMD 定理說「由理性假設推不出唯一均衡」。若某產業確實存在多個可能的均衡（例如網路平台的兩種使用者規模），請舉一個真實例子，並說明政策制定者可以如何選擇或「協調」到其中一個（提示：思考政府標準、先行者、大眾預期各自扮演的角色，並連結 6.2 節 Nash 均衡的多重性）。

名詞速查表（本節出現的核心術語）#

  • 均衡：使所有市場同時出清的價格向量；單市場即 \(z(p^*)=0\) 。
  • 超額需求： \(z(p) = D(p) - S(p)\) 。
  • 存在性：均衡點必存在；一維靠中間值定理，多維靠不動點定理。
  • 唯一性： \(z(p)\) 嚴格遞減時均衡唯一（充分條件）。
  • 穩定性：偏離均衡後能否回歸；線性化條件 \(k z'(p^*) < 0\) 。
  • tâtonnement（試探調整）：Walras 拍賣者以超額需求訊號調整價格的虛擬過程。
  • 蛛網模型：供給對前期價格反應的離散動態，收斂條件為映射斜率絕對值小於 1。
  • SMD 定理：理性偏好所能產生的超額需求幾乎任意，唯一性與穩定性須另加假設。

（本節完）