跳轉到

3.3 價格彈性與動態調整#

本章導言#

3.2 節用 \(z'(p)\) 與調整速度 \(k\) 討論穩定性，卻留下兩個未翻譯的問題：其一， \(z'(p)\) 的單位是「數量／元」，跨市場不可比——經濟學家需要無量綱的穩定性條件；其二， \(k\) 是抽象的「調整速度」，實務想知道的是「幾期之後會回到均衡」「稅負多久後會轉嫁給消費者」。本節把兩者都翻成彈性的語言，並將 3.2 節的迭代過程展開成可計算的時間路徑。這是把靜態均衡圖變成動態政策工具的關鍵一步。

穩定性的彈性形式#

設需求 \(D(p)\) 、供給 \(S(p)\) 在均衡 \((p^*, Q^*)\) 附近的彈性為：

\[ \eta_D = -D'(p^*)\,\frac{p^*}{Q^*} > 0, \qquad \eta_S = S'(p^*)\,\frac{p^*}{Q^*} > 0. \]

則超額需求的斜率可寫成：

\[ z'(p^*) = D'(p^*) - S'(p^*) = -\frac{Q^*}{p^*}\big(\eta_D + \eta_S\big). \]

代入 3.2 節離散調整 \(p_{t+1} = p_t + k\,z(p_t)\) 的收斂條件 \(|1 + k z'(p^*)| < 1\) ：

\[ \boxed{\;0 < k < \frac{2\,p^*}{Q^*\,(\eta_D + \eta_S)}\;} \]

而且偏差的衰減因子為

\[ \theta = \big|\,1 - k\,\tfrac{Q^*}{p^*}(\eta_D+\eta_S)\,\big|, \qquad \varepsilon_{t} = \theta\,\varepsilon_{t-1},\quad \varepsilon_t = \theta^t \varepsilon_0 . \]

這條式子給出三個可操作的結論：

  1. 彈性愈大，市場愈敏感，收斂愈快（同樣的 \(k\) 下 \(\theta\) 更小）；也因此需要的 \(k\) 更小，否則過頭。
  2. 調整速度有上限——政策干預（價格凍結、限價、干預的力道）若超過 \(\frac{2p^*}{Q^*(\eta_D+\eta_S)}\) ，反而引發震盪發散。
  3. 收斂所需期數有閉式解：** \(t\) 期後偏差為 \(\theta^t\) ，故降至初值的 1% 需 \(t \approx \dfrac{\ln 0.01}{\ln \theta}\) 期**。

蛛網：彈性判別循環#

3.2 節的蛛網模型在彈性語言下有極簡潔的判別式。設供給反應落後一期 \(S_t = S(p_{t-1})\) 、需求即期反應，市場出清 \(D(p_t) = S(p_{t-1})\) 得迭代映射：

\[ p_t - p^* = -\frac{S'(p^*)}{D'(p^*)}\,(p_{t-1} - p^*), \qquad \text{收斂} \iff \left|\frac{S'(p^*)}{D'(p^*)}\right| < 1 \iff \eta_S < \eta_D . \]

供給比需求更缺乏彈性時，價格循環發散。這就是豬週期、木材與咖啡價格循環的教科書解釋：農民依今年價格決定明年種植（供給反應慢、彈性低），而需求對價格相當敏感，於是價格逐年大擺。對應的政策處方也隨之浮現——平準基金、期貨市場與資訊提供都在做同一件事：把 \(\eta_S\) 補足或把反應落後縮短，使 \(\theta < 1\) 。

稅負歸宿的動態：誰在多久之後承擔稅#

彈性最重要的政策應用是稅負歸宿（tax incidence）。設政府對賣方課從量稅 \(t\) ，消費者付 \(p_c\) 、生產者實收 \(p_s = p_c - t\) 。在均衡附近線性化 \(D(p_c) = S(p_s)\) ：

\[ D'(p^*)\,\Delta p_c = S'(p^*)\,(\Delta p_c - t) \;\Longrightarrow\; \Delta p_c = \frac{\eta_S}{\eta_D + \eta_S}\,t . \]
\[ \boxed{\;\text{消費者承擔比例} = \frac{\eta_S}{\eta_D+\eta_S}, \qquad \text{生產者承擔比例} = \frac{\eta_D}{\eta_D+\eta_S}\;} \]

供給愈彈性，消費者愈吃虧；反之亦然。而由 Marshall 的時間三分法（3.1 節）， \(\eta_S\) 隨時間延長而上升（廠商有時間轉產、退出），故稅負會隨時間由生產者逐步轉嫁給消費者——「誰真正繳稅」沒有與時間無關的答案。這是貨物稅、關稅與碳費設計中最重要的單一公式。

例題 3.3.1：彈性、收斂與稅負的完整計算#

例題 3.3.1：承 3.2 節 \(D(p) = 100 - 2p\) 、 \(S(p) = -20 + 4p\) ，均衡 \(p^* = 20\) 、 \(Q^* = 60\) 。(1) 求 \(\eta_D\) 、 \(\eta_S\) ；(2) 取 \(k = 0.1\) ，用彈性式求衰減因子 \(\theta\) ，驗證與 3.2 節的 0.4 一致，並算出偏差降至初值 1% 所需期數；(3) 求穩定的 \(k\) 之範圍；(4) 若課從量稅 \(t = 10\) ，求消費者與生產者各承擔多少，並驗算新均衡。

解：(1)

\[ \eta_D = 2\cdot\frac{20}{60} = \frac{2}{3} \approx 0.667, \qquad \eta_S = 4\cdot\frac{20}{60} = \frac{4}{3} \approx 1.333 . \]

(2) 衰減因子：

\[ \theta = \left|1 - 0.1\times\frac{60}{20}\times\left(\tfrac23+\tfrac43\right)\right| = |1 - 0.1\times3\times2| = |1 - 0.6| = 0.4 \;\checkmark \]

與 3.2 節例題逐期算出的偏差比 \(0.4\) 完全一致。降至 1%：

\[ t = \frac{\ln 0.01}{\ln 0.4} = \frac{-4.6052}{-0.9163} \approx 5.03 \;\Rightarrow\; \text{約 5 期}. \]

(3) 穩定範圍： \(0 < k < \dfrac{2\times20}{60\times2} = \dfrac{40}{120} = \dfrac13\) 。與 3.2 節「 \(k=0.5\) 會發散、 \(k=0.1\) 穩定」的結論一致 ✓。

(4) 消費者承擔 \(\dfrac{\eta_S}{\eta_D+\eta_S} = \dfrac{4/3}{2} = \dfrac23\) ，故

\[ \Delta p_c = \tfrac23 \times 10 = 6.\overline{6}, \qquad \Delta p_s = 10 - 6.\overline{6} = 3.\overline{3}. \]

驗算：供給曲線上移 10，即 \(S_{\text{新}}(p) = -20 + 4(p-10) = -60 + 4p\) 。令 \(100 - 2p = -60 + 4p \Rightarrow 6p = 160 \Rightarrow p_c = 26.67\) ，故 \(\Delta p_c = 6.67 = \frac23\times10\) ✓； \(Q = 100 - 53.3 = 46.7\) ，交易量萎縮 \(13.3\) ，對應無謂損失 \(\frac12\times 13.3 \times 10 \approx 66.7\) （與 3.1 節的三角形公式同源）。

前因後果與驅動關係#

驅動：動態調整的討論有三個直接來源。其一，農產品價格循環——19 世紀末至 20 世紀初，歐美各國反覆面對穀物、豬肉、咖啡的年度暴漲暴跌，蛛網模型（1930 年代由 Econometrica 上的論文群正式化）正是為解釋這批資料而生，各國的平準基金與庫存制度則是直接的政策回應。其二，稅負歸宿的爭論——議會課稅前必須回答「這稅到底誰繳」，彈性公式提供了可算、可辯的答案（對應《會計的數學》第 6 章本量利的稅後損益兩平分析）。其三，穩定政策的自我設限——3.2 節顯示調整過快會發散，這對央行、物價平抑基金與干預型政策是直接警告：干預力道必須小於市場本身的彈性上限。

反向作用：彈性與動態結合後改變了三件事：(1) 靜態模型全面動態化——供需圖不再是終點，而是時間路徑的快照，這一路線延伸至 8.2 節 Solow 收斂與 8.3 節差分方程的商業循環；(2) 政策評估從「點」變為「路徑與速度」——例如碳費課徵後，短期由生產者吸收、長期轉嫁消費者，這種「歸宿隨時間移動」的分析已成標準；(3) 時間序列資料成為檢驗對象——蛛網、落後、衰減率都是可估計的參數，直接催生 10.2 節的單根檢定與動態計量模型。

對本書與兄弟書的指向： - 8.3 節：蛛網是一階線性差分方程的特例，該節將給出完整判別（含複根震盪）。 - 10.2 節： \(\theta^t\) 型的衰減是「均值回復」過程，與單位根過程的對比是單位根檢定的理論核心。 - 7.1 節：Cournot 調整路徑（廠商逐期調整產量）的穩定性分析與本節完全同型。 - 《金融的數學》第 6 章利率模型的均值回復、第 5 章隨機過程的回覆時間，都是 \(\theta<1\) 與 \(\theta \ge 1\) 這一線之隔的延伸。 - 《管理的數學》第 4 章排隊論的利用率穩定條件、第 5 章存貨模型的訂購頻率，亦為同一類動態判別。

練習#

  1. 設 \(D(p) = 150 - 3p\) 、 \(S(p) = 10 + 2p\) ，求均衡 \((p^*, Q^*)\) 與 \(\eta_D, \eta_S\) ，再用彈性式求 \(k = 0.1\) 時的衰減因子 \(\theta\) ，判斷是否收斂。
  2. 承第 1 題，取 \(p_0 = 40\) ，用 \(p_{t+1} = p_t + 0.1 z(p_t)\) 迭代三期，驗證每期偏差比等於你算出的 \(\theta\) 。
  3. 同一市場若課從量稅 \(t = 15\) ，用 \(\dfrac{\eta_S}{\eta_D+\eta_S}\) 算消費者承擔的金額，再以「供給曲線平行上移」的代數方法驗算新均衡價格與交易量。
  4. 蛛網模型中，若 \(\eta_D = 0.8\) 、 \(\eta_S = 1.2\) ，判斷價格循環會收斂或發散？若要使其收斂，從「縮短供給反應落後」與「提高需求彈性」兩方向各提出一項具體措施，並說明它們如何改變判別式。
  5. 思考題：3.2 節說「調整過快會發散」。請以此說明為何物價凍結或過度干預可能反而造成更長時間的短缺與波動，並比較兩種政策工具——「直接定價」與「改變彈性（補貼、資訊、期貨）」——在本節判別式中各自動的是哪一個參數（連結 3.1 節的時間三分法說明短期與長期的差異）。

名詞速查表（本節出現的核心術語）#

  • 彈性的穩定性條件： \(0 < k < \dfrac{2p^*}{Q^*(\eta_D+\eta_S)}\) 。
  • **衰減因子 \(\theta\) **： \(|1 - k\frac{Q^*}{p^*}(\eta_D+\eta_S)|\) ，偏差每期縮減的比例。
  • 收斂期數： \(t \approx \ln(0.01)/\ln\theta\) ，偏差降至 1% 所需期數。
  • 蛛網條件： \(\eta_S < \eta_D\) 時價格循環收斂，否則發散。
  • 稅負歸宿：消費者承擔 \(\eta_S/(\eta_D+\eta_S)\) ，生產者承擔 \(\eta_D/(\eta_D+\eta_S)\) 。
  • 歸宿的時間移動：長期供給彈性較大，稅負逐步轉嫁給消費者。
  • 超調（overshooting）：落後與慣性使價格先衝過均衡再回折的現象。
  • 平準機制：以庫存、基金或資訊縮短反應落後、穩定蛛網循環的政策工具。

（本節完）