4.2 齊次函數與規模報酬#

本章導言#

4.1 節留下一個漂亮的巧合：Cobb–Douglas 的冪次 \(\alpha, \beta\) 恰好等於資本與勞動的報酬份額。巧合不會成為理論，它需要定理。本節要介紹的正是這條定理：Euler 齊次函數定理——只要生產函數是「齊次的」（所有要素同比例放大時，產出按固定倍率放大），邊際產出與產出之間就有一個恆等式，而報酬份額的結論是它的直接推論。

齊次性同時也把規模報酬（returns to scale）這個 1.1 節以來用文字爭論不休的概念，變成一個可以數出來的**次數 \(k\) **。本節還會介紹「密集型式」與「替代彈性」，兩者分別是 8.2 節成長模型與 4.3 節成本對偶的入口。

齊次函數的定義#

函數 \(f(K,L)\) 稱為** \(k\) 次齊次**，若對任意 \(t > 0\) ：

\[ f(tK, tL) = t^{k}\, f(K, L). \]

經濟意義：把所有要素同時放大 \(t\) 倍，產出放大 \(t^k\) 倍。因此 \(k\) 就是規模報酬的刻度：

次數 \(k\)	要素×2 時產出	稱呼	範例
\(k > 1\)	\(>2\) 倍	報酬遞增	\(Y = K^{0.6}L^{0.6}\) （ \(k=1.2\) ）
\(k = 1\)	恰為 2 倍	規模報酬固定（CRS）	\(Y = K^{0.4}L^{0.6}\) 、 \(Y=KL\)
\(k < 1\)	\(<2\) 倍	報酬遞減	\(Y = K^{0.4}L^{0.4}\) （ \(k=0.8\) ）

判定方法：Cobb–Douglas \(Y = AK^\alpha L^\beta\) 代入 \(tK, tL\) 得

\[ A(tK)^\alpha (tL)^\beta = t^{\alpha+\beta} AK^\alpha L^\beta = t^{\alpha+\beta} Y, \]

故次數 \(k = \alpha + \beta\) 。對一般函數則直接驗證 \(f(tK,tL)\) 是否能寫成 \(t^k f(K,L)\) ——例如 \(f = K^2 + L\) 就不是齊次的（ \(f(tK,tL) = t^2K^2 + tL\) ，兩項的次數不同）。

Euler 定理：齊次性的代數回報#

定理（Euler, 1770s）：若 \(f\) 為 \(k\) 次齊次且可微，則

\[ K\,\frac{\partial f}{\partial K} + L\,\frac{\partial f}{\partial L} = k\, f(K,L). \]

證明：對恆等式 \(f(tK,tL) = t^k f(K,L)\) 兩邊對 \(t\) 微分：

\[ f_K \cdot K + f_L \cdot L = k\, t^{k-1} f(K,L), \]

令 \(t = 1\) 即得。 \(\blacksquare\)

經濟翻譯：若完全競爭使要素各按邊際產出取酬（ \(r = f_K\) 、 \(w = f_L\) ），則

\[ rK + wL = k\, f(K,L) = k\,Y . \]

\(k = 1\) ： \(rK + wL = Y\) ，報酬分配淨盡——產出恰好被兩要素分完，不多不少。4.1 節「冪次＝份額」的驗算，正是這條定理在 \(\alpha+\beta=1\) 時的特例。
\(k > 1\) ：要素報酬總和 \(>Y\) ，意味著完全競爭不可維持（廠商會虧損），報酬遞增產業傾向有大廠、補貼或壟斷——這是 7.1 節自然壟斷與規模經濟討論的數學根源。
\(k < 1\) ：要素報酬總和 \(<Y\) ，產生殘差（利潤或未被解釋的報酬）——Cobb–Douglas 估計中 \(\alpha+\beta\) 略小於 1 時，多出來的部分正是 4.1 節成長會計的殘差項之一。

密集型式：CRS 讓問題降一維#

當 \(k = 1\) 時，令 \(y = Y/L\) 、 \(k_{\text{cap}} = K/L\) （人均產出與人均資本），由齊次性：

\[ Y = L\, f\!\left(\frac{K}{L}, 1\right) \;\Longrightarrow\; y = f(k_{\text{cap}}, 1) \equiv \varphi(k_{\text{cap}}). \]

兩變數問題化為一變數。以 Cobb–Douglas 為例：

\[ \frac{Y}{L} = A\left(\frac{K}{L}\right)^{\alpha} \qquad (k=1 \text{ 時 } \beta = 1-\alpha). \]

這個「密集型式」是 8.2 節 Solow 模型的出發方程：資本累積方程 \(\dot k = s\varphi(k) - (n+\delta)k\) 完全建立在 CRS 的降維性質上。沒有齊次性，就沒有 Solow 模型的標準形式。

替代彈性：齊次性之外的第二個刻度#

齊次性描述「同比例放大」，還需一個量描述「要素之間多好換」——邊際替代率沿等產量線變動的敏感度，即替代彈性（elasticity of substitution）：

\[ \sigma = \frac{d\ln(K/L)}{d\ln(MRS_{LK})} = \frac{d\ln(K/L)}{d\ln(f_L/f_K)} . \]

對 Cobb–Douglas， \(MRS_{LK} = \dfrac{\beta}{\alpha}\dfrac{K}{L}\) ，故 \(\ln MRS = \ln\dfrac{\beta}{\alpha} + \ln\dfrac{K}{L}\) ，斜率恆為 1：

\[ \sigma = 1 \qquad \text{（Cobb–Douglas 的替代彈性恆為 1）}. \]

\(\sigma\) 是單調變換不變的量，可由資料估計，且正是區分函數形式的關鍵： \(\sigma \to 0\) 時要素近乎完全不可替代（Leontief， \(Y=\min\{K,L\}\) ）， \(\sigma \to \infty\) 時近乎完全替代（線性）。1961 年 CES 函數之所以取代 Cobb–Douglas 成為實證標準，正是因為它把 \(\sigma\) 從 1 放寬為自由參數。

例題 4.2.1：齊次性、Euler 定理與彈性的驗算#

例題 4.2.1：設 \(f(K,L) = K^{0.4}L^{0.6}\) 。(1) 判定齊次次數並說明規模報酬；(2) 在 \((K,L) = (81, 25)\) 處計算 \(f\) 、 \(f_K\) 、 \(f_L\) ，驗證 Euler 定理；(3) 導出密集型式 \(\varphi(K/L)\) 並以 (2) 的點驗證；(4) 求替代彈性 \(\sigma\) ；(5) 若另一函數 \(g = K^{0.4}L^{0.4}\) ，重算 Euler 恆等式左端，討論其經濟後果。

解：(1) \(f(tK,tL) = t^{0.4}K^{0.4}\cdot t^{0.6}L^{0.6} = t^{1.0} f(K,L)\) ，故 \(k = 0.4+0.6 = 1\) ，規模報酬固定 ✓。

(2) \(f(81,25) = 81^{0.4}\times 25^{0.6}\) 。取對數： \(0.4\ln 81 = 0.4(4.3944) = 1.7578\) ； \(0.6\ln 25 = 0.6(3.2189) = 1.9313\) ；總和 \(3.6891 \Rightarrow f = e^{3.6891} \approx 40.0\) 。（驗算： \(81^{0.4} = 3^{4\times0.4} = 3^{1.6} \approx 5.799\) ； \(25^{0.6} = 5^{2\times0.6} = 5^{1.2} \approx 6.898\) ； \(5.799\times6.898 \approx 40.0\) ✓）

\[ f_K = 0.4\frac{f}{K} = 0.4\times\frac{40}{81} \approx 0.1975, \qquad f_L = 0.6\frac{f}{L} = 0.6\times\frac{40}{25} = 0.96 . \]

Euler 驗證：

\[ K f_K + L f_L = 81(0.1975) + 25(0.96) = 16.0 + 24.0 = 40.0 = 1\times f \;\checkmark \]

即 \(rK + wL = Y\) ：資本分得 40%、勞動分得 60%，恰好分完產出（16 + 24 = 40）。

(3) \(y = \dfrac{Y}{L} = \dfrac{K^{0.4}L^{0.6}}{L} = \left(\dfrac{K}{L}\right)^{0.4} = k_{\text{cap}}^{0.4}\) 。本例 \(K/L = 81/25 = 3.24\) ， \(y = 3.24^{0.4} = e^{0.4\ln3.24} = e^{0.4702} = 1.600\) ；再乘 \(L=25\) 得 \(Y = 40.0\) ✓。

(4) \(\sigma\) ： \(MRS = \dfrac{f_L}{f_K} = \dfrac{0.6}{0.4}\dfrac{K}{L} = 1.5\,k_{\text{cap}}\) ，故 \(\dfrac{d\ln k_{\text{cap}}}{d\ln MRS} = 1\) ，即 \(\sigma = 1\) ✓。

(5) \(g\) 的齊次次數 \(k = 0.4+0.4 = 0.8 < 1\) （報酬遞減）。Euler 左端 \(= 0.8\,g(K,L) < g\) ，即競爭性要素報酬總和只有產出的 80%，尚餘 20% 為利潤或其他未解釋報酬；反之若強迫 \(rK + wL = g\) ，則廠商必虧損、無法存在。經濟學的出路有二：其一，加入第三個要素（原料、土地、能源）使總次數回到 1；其二，把 \(<1\) 的部分解釋為短期的規模經濟，長期由新廠商進入消除（4.3 節長期成本曲線與此直接相關）。

前因後果與驅動關係#

驅動：齊次性與規模報酬的討論由三個問題逼出。其一，份額與技術的關係——4.1 節的實證巧合需要定理保證，Euler 定理恰好把「齊次性」與「分配淨盡」綁在一起。其二，產業規模的政策判斷——電力、鐵路、鋼鐵是否「愈大愈有效率」，決定該產業該被規制、拆分還是鼓勵合併（19 世紀末至 20 世紀初的反托拉斯訴訟直接需要規模報酬的判準）。其三，兩要素模型的殘差問題——估計出的次數常小於 1，逼使學者思考第三要素與技術進步的計量（4.1 節的 \(A\) 與 8.2 節的殘差）。

反向作用：齊次性工具成熟後產生三項影響：(1) 成長理論降維——CRS 的密集型式使 Solow（1956）模型成為一階差分／微分系統，8.2 節的收斂與黃金律全部依賴此性質；(2) 對偶理論展開——生產函數的齊次性對應成本函數的反齊次性，這是 4.3 節成本—產量對偶的橋梁；(3) 函數形式選擇成為實證問題—— \(\sigma\) 從 Cobb–Douglas 的束縛中解放後，CES、超越對數等函數成為 10.1 節迴歸估計的候選，「哪一條函數比較合資料」變成計量模型檢定的標準議題。

對本書與兄弟書的指向： - 4.1 節：Euler 定理正是「冪次＝份額」的證明（本節補上它）。 - 4.3 節：CRS 生產函數的成本函數有 \(c(w,r,Y) = Y\,\hat c(w,r)\) 的線性形式，對偶由此可解。 - 8.2 節：Solow 的 \(\dot k = sf(k)-(n+\delta)k\) 依賴密集型式；Harrod–Domar 則是 \(k=1\) 的極端線性版本。 - 《管理的數學》第 3 章線性規劃的基本可行解，對應「技術係數固定」的極端（ \(\sigma=0\) ）；《會計的數學》第 5 章存貨與產能的單位成本分析，亦以規模報酬假設為前提。

練習#

判定下列函數的齊次次數（若非齊次請說明）：(a) \(f = K^{0.5}L^{0.5}\) ；(b) \(g = K^{0.5}L^{0.3}\) ；(c) \(h = K^2 + 3L\) 。
設 \(f(K,L) = 4K^{0.25}L^{0.75}\) ，在 \((K,L) = (16,81)\) 計算 \(f\) 、 \(f_K\) 、 \(f_L\) ，並驗證 \(Kf_K + Lf_L = f\) （先猜齊次次數再驗證）。
導出第 2 題的密集型式 \(y = \varphi(K/L)\) ，並計算在 \(K/L = 2\) 時的 \(y\) ，與 \(f(16,81)/L\) 對照（注意：請選一組使 \(K/L = 2\) 的點計算）。
設 \(f = K^{0.6}L^{0.6}\) （ \(k = 1.2\) ，報酬遞增）。在完全競爭下 \(rK + wL = 1.2\,Y\) ，即要素報酬總和超過產出。請寫出至少兩種「現實中如何消化這 20% 超額」的機制，並各連結一個本書或兄弟書的章節（提示：壟斷利潤、補貼、短期與長期的區別）。
思考題：Euler 定理說明 CRS 下「產出剛好被分完」。若一個國家的統計資料顯示 \(rK + wL\) 長期小於國民所得（差額為企業盈餘與間接稅淨額），這是否構成對完全競爭假設的反證？請列出至少三項其他可能解釋，並說明每一項會對應到哪個後續章節（第 7、8、10 章）。

名詞速查表（本節出現的核心術語）#

** \(k\) 次齊次**： \(f(tK,tL) = t^k f(K,L)\) ； \(k\) 即規模報酬的刻度。
規模報酬固定（CRS）： \(k=1\) ，要素同比例放大時產出同比例放大。
Euler 定理： \(Kf_K + Lf_L = k f\) ，齊次性的邊際產量推論。
分配淨盡： \(k=1\) 時 \(rK + wL = Y\) ，產出剛好被要素分完。
密集型式：CRS 下 \(y = \varphi(K/L)\) ，雙變數降為單變數。
**替代彈性 \(\sigma\) **： \(d\ln(K/L)/d\ln(MRS)\) ；Cobb–Douglas 恆為 1。
同質技術（homothetic）：等產量線沿射線平行移動的函數族，齊次函數為其特例。
要素報酬殘差： \(k<1\) 或有第三要素被忽略時，邊際產量加總不等於產出的差額。

（本節完）