4.3 成本函數與最適化對偶#

本章導言#

4.1–4.2 節把廠商寫成「給定技術，產出多少」；實務上的廠商卻更常問另一個問題：「要產出 100 單位，怎麼組合要素最省錢？」這是同一枚硬幣的另一面，數學上稱為對偶（duality）。兩個問題的結構完全對稱：

\[ \text{產量問題：}\max_{K,L} f(K,L) \;\text{s.t. 成本預算} \qquad\Big|\qquad \text{成本問題：}\min_{K,L} w_K K + w_L L \;\text{s.t. } f(K,L) = \bar Y. \]

第二個問題正是 2.3 節 Lagrange 乘數法的鏡像——只是把「效用」換成「產出」、把「所得」換成「產量」。它的解定義了成本函數 \(c(w_K, w_L, Y)\) ：廠商在要素價格 \((w_K, w_L)\) 下生產 \(Y\) 的最小總成本。本節說明這個函數如何由生產函數導出、它具備哪些性質（特別是 Shephard 引理），以及為什麼「成本面」往往比「生產面」更適合實證分析。

成本最小化的一階條件#

拉起 Lagrangian：

\[ \mathcal{L} = w_K K + w_L L + \lambda\,\big(\bar Y - f(K,L)\big). \]

一階條件：

\[ w_K = \lambda f_K, \qquad w_L = \lambda f_L, \qquad f(K,L) = \bar Y . \]

前兩式相除消去 \(\lambda\) ：

\[ \boxed{\;\frac{f_L}{f_K} = \frac{w_L}{w_K}\;} \qquad\Longleftrightarrow\qquad MRS_{LK} = \frac{w_L}{w_K} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{MP_L}{w_L} = \frac{MP_K}{w_K}. \]

三種說法：等產量線與等成本線相切；邊際產量之比等於價格比；每元錢在各要素上買到的邊際產出相等。最後一式是 2.3 節等際原則的生產版——多花 1 元在任何要素上，增加的產出都一樣，否則就該重新分配。

\(\lambda\) 的身分同樣是影子價格： \(\lambda = 1/\dfrac{\partial c}{\partial Y}\) 的倒數關係可由包絡定理得到，即產量的邊際成本

\[ MC = \frac{\partial c}{\partial Y} = \frac{1}{\lambda}. \]

（推導：對 \(c(w,Y) = \min_{f(K,L)\ge Y} w\cdot X\) 用包絡定理，得 \(\partial c/\partial Y = \lambda\) ；在本 Lagrangian 的寫法下 \(\lambda\) 對應的正負號依定義調整，經濟意義一致：約束拉緊一單位值多少成本。）

成本函數的三條基本性質#

對成本函數做一般的數學論證，可得三條與技術細節無關的性質——它們是 5.1 節 Walras 體系與 5.3 節福利分析共同依賴的結構：

對要素價格單調不減： \(w_L\) 上升，最小成本不可能下降。
對要素價格一次齊次：所有要素價格同乘 \(t\) ，成本也乘 \(t\) （ \(c(tw_K,tw_L,Y) = t\,c(w_K,w_L,Y)\) ）——齊次性的對偶版本（4.2 節）。
對要素價格凹： \(c\) 是一族線性函數（每一組要素組合給出一條 \(\hat c(w) = w_K K + w_L L\) ）的下包絡，而線性函數族的下確界必為凹函數。

由性質 3 立刻得到Shephard 引理（1953）——凹函數的偏導數給出其背後的線性組合係數：

\[ \frac{\partial c}{\partial w_L} = L^*(w_K,w_L,Y), \qquad \frac{\partial c}{\partial w_K} = K^*(w_K,w_L,Y), \]

其中 \(L^*, K^*\) 是條件要素需求（維持產量 \(\bar Y\) 不變下的最適用量）。這條引理是對偶的實用核心：只要知道成本函數（通常較容易估計），微分一次就得到要素需求，不必回去解最適化。

Cobb–Douglas 的封閉解#

設 \(Y = A K^\alpha L^\beta\) 且 \(\alpha + \beta = 1\) （CRS，4.2 節）。一階條件給出

\[ \frac{\beta K}{\alpha L} = \frac{w_L}{w_K} \;\Longrightarrow\; L^* = \frac{Y}{A}\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^{\alpha}\left(\frac{w_K}{w_L}\right)^{\alpha}, \qquad K^* = \frac{Y}{A}\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{\beta}\left(\frac{w_L}{w_K}\right)^{\beta}, \]

代回總成本得

\[ \boxed{\;c(w_K,w_L,Y) = \frac{Y}{A}\,w_L^{\beta} w_K^{\alpha} \left[\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^{\alpha} + \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{\beta}\right]\;} \]

三項值得注意： \(c\) 對 \(Y\) 線性（CRS 的對偶：產量加倍、成本加倍，故平均成本 \(AC = c/Y\) 恆為常數，且 \(AC = MC\) ）； \(c\) 對 \((w_K,w_L)\) 為 ** \(\alpha+\beta = 1\) 次齊次；成本份額 \(\dfrac{w_L L^*}{c} = \beta\) 、 \(\dfrac{w_K K^*}{c} = \alpha\) ——4.1 節的「冪次＝份額」再次出現，這次是從成本面證得**。

例題 4.3.1：成本最小化的完整計算#

例題 4.3.1：設 \(f(K,L) = K^{0.4}L^{0.6}\) （ \(A=1\) 、CRS），要素價格 \(w_L = 18\) （工資）、 \(w_K = 12\) （資本租價），目標產量 \(\bar Y = 100\) 。(1) 用相切條件解最適要素組合；(2) 計算最小成本與成本份額，驗證等於 \(\beta, \alpha\) ；(3) 用 Shephard 引理驗證 \(\partial c/\partial w_L = L^*\) ；(4) 產量加倍到 200 時成本為何？平均成本與邊際成本各為多少？(5) 若短期 \(K\) 固定為 100 不可調整，生產 \(Y = 80\) 的短期成本為何？與長期比較。

解：(1) 相切條件：

\[ MRS_{LK} = \frac{0.6\,K^{0.4}L^{-0.4}Y/L}{0.4\,K^{-0.6}L^{0.6}Y/K} = 1.5\,\frac{K}{L} = \frac{w_L}{w_K} = \frac{18}{12} = 1.5 \;\Longrightarrow\; K^* = L^*. \]

代入產量限制 \(K^{0.4}L^{0.6} = 100\) ，因 \(K=L\) ，故 \(L^{0.4+0.6} = 100\) ：

\[ K^* = L^* = 100. \]

(2) 最小成本：

\[ c = w_K K^* + w_L L^* = 12(100) + 18(100) = 1200 + 1800 = 3000. \]

份額： \(w_K K^*/c = 1200/3000 = 0.4 = \alpha\) ✓、 \(w_L L^*/c = 1800/3000 = 0.6 = \beta\) ✓（Euler 定理的又一驗證，4.2 節）。

(3) 由封閉解公式（ \(A=1\) 、 \(\alpha=0.4,\beta=0.6\) ）：

\[ c = 100\cdot w_L^{0.6}w_K^{0.4}\left[1.5^{0.4} + \left(\tfrac23\right)^{0.6}\right] = 100\cdot 15.30 \cdot 1.960 \approx 3000 \;\checkmark \]

（ \(18^{0.6} \approx 5.665\) 、 \(12^{0.4} \approx 2.702\) 、 \(1.5^{0.4}\approx1.176\) 、 \((2/3)^{0.6}\approx0.784\) 。）對 \(w_L\) 微分：

\[ \frac{\partial c}{\partial w_L} = 0.6\cdot\frac{c}{w_L} = 0.6\times\frac{3000}{18} = 100 = L^* \;\checkmark \]

——不必重解最適化就得到要素需求，這就是 Shephard 引理的威力（注意 \(0.6\,c/w_L\) 正是「成本份額 \(= \beta\) 」的另一種寫法）。

(4) CRS ⇒ 成本線性： \(c(200) = 2\times3000 = 6000\) ； \(AC = c/Y = 3000/100 = 30\) ， \(MC = \partial c/\partial Y = 30\) ，兩者相等 ✓。

(5) 短期 \(K = 100\) 固定，須由 \(100^{0.4}L^{0.6} = 80\) 解 \(L\) ： \(6.310\,L^{0.6} = 80 \Rightarrow L = (12.678)^{1/0.6} \approx 69.0\) 。短期成本 \(= 12(100) + 18(69.0) = 1200 + 1242 = 2442\) ， \(SAC = 2442/80 \approx 30.5 > 30\) 。長期平均成本必不大於短期——因為長期是「所有組合中挑最便宜」，可行集合更大（包絡性質，也是包絡定理的另一種幾何面貌）。

前因後果與驅動關係#

驅動：成本函數與對偶由三類問題逼出。其一，鐵路與公用事業的費率審核——監管機構必須判斷「合理成本」是多少，這要求把成本寫成要素價格與產量的函數，而非廠商自己申報的數字（19 世紀末至 20 世紀初美國州際商業委員會的運價訴訟是直接背景）。其二，稅負與補貼的設計——要知道成本如何隨工資、能源價格變動，才能判斷課稅的轉嫁（3.3 節的歸宿分析需要 \(c(w,Y)\) ）。其三，「份額＝技術參數」的實證需求——4.1 節用生產面估參數，但要素使用量常受產能限制而有偏誤；成本面只需要素價格與產量，資料更乾淨，估計更穩。

反向作用：對偶思想成熟後，改變了三件事：(1) 實證工業組織的標準作法——廠商行為不再由生產函數直接估計，而是估計成本函數再「反推」技術（包絡定理保證兩者資訊等價），這條路線貫穿 7.3 節壟斷定價與產業規制；(2) 最適化理論有了對稱語言——每個最大化問題都有對偶的最小化問題與對偶變數，這套結構升級為線性規劃的對偶理論（《管理的數學》第 3 章）與 5.3 節福利定理的證明工具；(3) 成本曲線成為市場供給的基礎—— \(MC\) 與 \(AC\) 的形狀決定 3.1 節供給曲線的斜率、3.2 節均衡的存在條件，以及 7 章各類競爭模型的進入障礙。

對本書與兄弟書的指向： - 2.3 節：本節是其鏡像——「支出最小化」對偶「效用最大化」，Shephard 引理對應 2.3 的份額公式（M. U. 面的 \(p_i x_i/m =\) 常數）。 - 4.2 節：Euler 定理保證 CRS 下份額＝冪次；本節從成本面再次證得。 - 3.1–3.3 節： \(MC\) 決定供給曲線； \(AC\) 最低點決定長期供給與進入（3.2 節的 \(S(p)\) 由此而來）。 - 7.3 節：壟斷最適化用同一個 \(c(Q)\) ，固定成本不影響邊際決策（1.3 節的規則）。 - 《管理的數學》第 3 章線性規劃的對偶問題是本節的一般化；第 1 章科學管理的「標準成本與差異分析」，正是把 \(c(w,Y)\) 的實際值與理論值相減（《會計的數學》第 7 章預算差異分析為同一工具的會計版）。

練習#

設 \(f(K,L) = K^{0.5}L^{0.5}\) 、 \(w_L = 8\) 、 \(w_K = 2\) 、 \(\bar Y = 200\) ，解 \(K^*, L^*\) 與最小成本，並驗證成本份額各為 \(\frac12\) 。
用第 1 題的封閉解公式（取 \(\alpha=\beta=0.5\) 、 \(A=1\) ）計算 \(c(w_K,w_L,Y)\) ，與第 1 題結果對照；再用 Shephard 引理求 \(L^*(w_K,w_L,Y)\) ，並代回數值驗證。
承第 1 題，若工資 \(w_L\) 由 8 升至 12.5，重算 \(L^*\) 與 \(c\) ，計算 \(\Delta c/\Delta w_L\) ，與原 \(L^*\) 比較（微分 vs 有限差分），討論差異隨步長縮小的趨勢。
設某成本函數 \(c(w_L, w_K, Y) = Y\,(w_L^{0.6} w_K^{0.4})\,K_0\) （ \(K_0\) 為常數）。驗證它對要素價格一次齊次，並由 Shephard 引理寫出兩種要素的條件需求與成本份額。
思考題：包絡定理說「最適成本對參數的導數，不必考慮最適決策如何隨之改變」。請用一則生活中的例子（例如「油價上漲後，你的通勤總成本如何變動」）說明：若把「你會改搭捷運」這個調整效果也算進去，會多算或少算什麼？並對照 4.3 節短期與長期成本的差別，解釋「包絡定理衡量的是哪一種成本變動」。

名詞速查表（本節出現的核心術語）#

成本最小化： \(\min w_KK+w_LL\) s.t. \(f(K,L)=\bar Y\) ，Lagrange 方法的生產版。
成本函數： \(c(w_K,w_L,Y)\) ，最優成本對要素價格與產量的函數。
對偶：產量最大化與成本最小化互為鏡像，解互相決定。
Shephard 引理： \(\partial c/\partial w_i =\) 條件要素需求 \(x_i^*\) （由成本函數的凹性得出）。
條件要素需求：維持產量不變下對各要素的最適用量。
一次齊次性：要素價格全體乘 \(t\) ，成本亦乘 \(t\) 。
成本凹性： \(c\) 為線性函數族的下包絡，故對價格凹。
份額恆等式：CRS Cobb–Douglas 下 \(w_i x_i^*/c =\) 對應冪次。
包絡定理：最適值對參數的導數＝Lagrangian 的偏導數，省略決策變數的間接效果。

（本節完）