07.1 Cournot雙寡頭模型1838#

本章導言#

供給與需求（第 3 章）說：市場有兩群人——買方與賣方——彼此 anonymously 作用，價格是無形的手。但當賣方只剩兩家時，「無形的手」立刻變成「彼此盯著對方後背的手」：你的產量就是我面對的殘餘需求，我的定價直接改寫你的利潤。1838 年，法國數學經濟學家 Antoine Augustin Cournot（古諾，1801–1877）——他是 Monnerot 的學生、Poisson 的朋友，本人是數學家而非經濟學家——在《財富理論的數學研究》（Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses）中，用最簡單的設定為這類互動立下了第一個可計算的模型：兩家廠商、同質產品、同時選擇產量、價格由總產量決定。這個模型是 7.2 節 Bertrand 與 Stackelberg 競爭的起點，也是 6.2 節 Nash 均均衡概念 112 年的先聲。

問題的由來：亞當．斯密的真空#

Cournot 寫作的年代，古典政治經濟學（李嘉圖、穆勒）已把地租、工資、利潤的分配講得頭頭是道，但有兩個結構性的空白：

壟斷與雙寡頭沒有理論。Samuel von Pufendorf、James Steuart 等人早討論過「壟斷者會考慮需求曲線」，但沒有數學。
「策略」沒有形式。亞當．斯密的「看不見的手」預設沒有任何單一賣方的行為重要到必須被對手「預測」；當市場集中時，這個預設瓦解。

Cournot 的天才在於把問題壓縮到最小可算形狀：不考慮成本差異（設為常數或 0）、不考慮進入、不考慮消費者如何形成預期——只留「同時選擇產量」一條戰略軸。這也是為什麼他的模型既可被教科書在 10 頁內講完，又可被後人寫出幾千篇變體。

模型的數學重建#

設兩家廠商（ \(i = 1,2\) ）選擇產量 \(q_i \ge 0\) ，總產量 \(Q = q_1 + q_2\) ，市場反需求函數為線性：

\[ P(Q) = a - bQ \qquad (a > 0,\ b > 0,\ Q \le a/b). \]

設邊際成本為常數 \(c\) （ \(0 < c < a\) ），無固定成本，故廠商 \(i\) 的利潤為：

\[ \pi_i(q_i, q_j) = \bigl(a - b(q_i + q_j) - c\bigr) q_i . \]

注意： \(\pi_i\) 是兩人的函數——這正是「策略」的所在。廠商 \(i\) 要在給定 \(q_j\) 下選 \(q_i\) 最大化，即求最適反應函數（best-response function）。對 \(q_i\) 微分：

\[ \frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} = a - b(q_i + q_j) - c - b q_i = a - c - b q_j - 2b q_i = 0, \]

解出：

\[ q_i^*(q_j) = \frac{a - c - b q_j}{2b} = \frac{a-c}{2b} - \frac{q_j}{2}. \]

這是一條斜率為 \(-1/2\) 的直線：對手每多產 1 單位，自己就少產 0.5 單位——反應函數把「你進我退」量化了。Nash 均衡就是兩條最適反應直線的交點（6.2 節「互相落在對方最適反應上」的幾何呈現）。聯立求解：

\[ q_1 = \frac{a-c}{2b} - \frac{1}{2}\left(\frac{a-c}{2b} - \frac{q_1}{2}\right) \;\Longrightarrow\; q_1 = \frac{a-c}{3b}, \]

對稱地 \(q_2 = \dfrac{a-c}{3b}\) 。Cournot–Nash 產量與利潤：

\[ q^* = \frac{a-c}{3b}, \qquad Q^* = \frac{2(a-c)}{3b}, \qquad P^* = a - b Q^* = \frac{a + 2c}{3}, \qquad \pi^* = \frac{(a-c)^2}{9b}. \]

三個基準的對照（同一需求與成本）：

情境	總產量 \(Q\)	價格 \(P\)	利潤合計
完全競爭（ \(P = c\) ）	\(\dfrac{a-c}{b}\)	\(c\)	\(0\)
Cournot 雙寡頭	\(\dfrac{2(a-c)}{3b}\)	\(\dfrac{a+2c}{3}\)	\(\dfrac{2(a-c)^2}{9b}\)
獨占（單一賣方）	\(\dfrac{a-c}{2b}\)	\(\dfrac{a+c}{2}\)	\(\dfrac{(a-c)^2}{4b}\)

價格嚴格落在 \(c\) 與獨占價之間，利潤合計小於獨占利潤：雙寡頭競爭「像一半的獨占」。這張表是第 3 章完全競爭與第 7 章不完全競爭的橋樑，也是 7.2 節 Bertrand（ \(P = c\) ，比完全競爭還徹底）的參照點。

Cournot 的歷史處境與後世定位#

Cournot 的書在當時影響有限：經濟學界（尤其英國）習慣文字論證，對數學模型反應冷淡；德國歷史學派更是長期敵視數學方法。真正的「平反」發生在 1870–80 年代邊際革命之後：Walras 讀到 Cournot，大為推崇並邀其為《純經濟學要義》（1874）作序；Marshall 在《經濟學原理》（1890）把 Cournot 視為需求與供給幾何分析的先驅；1920–30 年代，Pigor、Robinson（《不完全競爭經濟學》，1933）與 Chamberlin 系統展開「不完全競爭」研究時，Cournot 模型成為一切分析的基準。20 世紀後半，博弈論（第 6 章）興起後，學者發現 Cournot 的解正是 Nash 均衡——一個 1838 年的直覺，在 1950 年的定義下被追認。

Cournot 模型的後續擴張數不勝數： \(n\) 家廠商的 Cournot–Nash（ \(q^* = \dfrac{a-c}{(n+1)b}\) ，讀者可自行驗算 \(n=1\) 時回到獨占）、產品差異化（Spence, 1976；Dixit, 1979）、動態產量調整（Le'ontief 1933–34 的調整過程；7.2 節後半）、進入威慑與 Stackelberg 序貫（7.2 節）。「數量競爭」的比喻也延伸到非市場領域：OPEC 配額、電力市場出清、平台經濟的「注意力份額」，都用 Cournot 式思維建模。

一個具體例題#

例題 07.1.1：市場反需求為 \(P = 120 - Q\) （單位：元/件），兩家廠商邊際成本皆為 \(c = 30\) ，無固定成本。

(1) 求 Cournot–Nash 均衡下兩家的產量、市場價格與各自利潤。
(2) 若兩家「合謀」當成獨占者瓜分市場，各自產量與利潤為何？比較總福利。
(3) 求反應函數，並驗算交點確為 \((30, 30)\) 。

解：

(1) 直接套公式： \(q^* = \dfrac{120-30}{3 \times 1} = 30\) ， \(Q^* = 60\) ， \(P^* = 120 - 60 = 60\) ， \(\pi^* = (60-30) \times 30 = 900\) （元）。合計利潤 1800 元。

(2) 獨占： \(MR = 120 - 2Q = 30 \Rightarrow Q^m = 45\) ， \(P^m = 75\) ， \(\pi^m = (75-30) \times 45 = 2025\) 元。若均分，各得 \(Q = 22.5\) 、 \(\pi = 1012.5\) 元——比 Cournot 的 900 多 112.5 元，合謀增益由此可計價（也是反托拉斯法要打擊的「超額競爭利潤」之源）。消費者剩餘：Cournot 下 \(CS = \frac12 \times 60 \times 60 = 1800\) ；獨占下 \(CS = \frac12 \times 45 \times 45 = 1012.5\) 。合謀使消費者剩餘少了 787.5 元，生產者多了 225 元，總福利淨損 562.5 元——5.3 節福利定理在此失效，因為價格偏離邊際成本。

(3) 反應函數： \(q_1 = \dfrac{120 - 30}{2} - \dfrac{q_2}{2} = 45 - \dfrac{q_2}{2}\) ；同理 \(q_2 = 45 - \dfrac{q_1}{2}\) 。代入 \(q_1 = 30\) ： \(q_2 = 45 - 15 = 30\) ✓。幾何上兩條斜率 \(-1/2\) 、截距 45 的直線交於 \((30,30)\) ，此點即 Nash 均衡（6.2 節的「最適反應交點」）。

名詞速查表#

Cournot 競爭：同質產品下廠商同時選擇產量、價格由總量決定的寡占模型。
最適反應函數：給定對手產量時自己利潤最大化的產量；Cournot 均衡為兩條反應線交點。
殘餘需求：扣掉對手產量後自己面對的需求 \(P(a - q_j - q_i)\) 。
合謀（collusion）：廠商聯合行動如單一獨占者，瓜分獨占利潤；常見於卡特爾。
Cournot–Nash 產量： \(q^* = \dfrac{a-c}{(n+1)b}\) ， \(n=2\) 時為 \(\dfrac{a-c}{3b}\) 。
福利損失：壟斷或寡占價高於邊際成本造成的無謂損失（triangle deadweight loss），5.3 節的量化對象。

前因後果與驅動關係#

什麼問題驅動了它：19 世紀初法國的實務背景——礦泉水、煤炭、運輸等「天然雙寡頭」產業不斷出現，古典理論卻只有「完全競爭」與「獨占」兩端。Cournot 要回答的是：當賣方數目少到必須互相預測時，價格與產量會停在哪裡？這是「戰略互動」（第 6 章）第一次被寫成可解的最適化問題；它同時暴露了古典「價值論」的不足：價值不再只由成本或效用決定，還由對手的行為決定。

數學工具如何反過來改變經濟分析：Cournot 模型是「用最適化＋均衡語言分析市場」的原型，其工具箱——反應函數、最適化、均衡存在唯一性、比較靜態——直接成為 20 世紀產業組織理論（industrial organization）的標準語法。後果有三：其一，不完全競爭理論成形：Bertrand（1883）、Edgeworth（1897）、Stackelberg（1934）在 Cournot 框架上做「換一種策略變數」的實驗（改為價格、改為序貫），產生了 7.2 節的整套結果；其二，與第 6 章的會合：Nash 均衡被提出後，Cournot 模型被「重述」為均衡語言，成為教科書中連結抽象理論與實證分析的橋樑；其三，實證方法的帶動：要檢驗 Cournot 模型，就必須估計需求彈性與成本（第 10 章計量方法），「結構式實證」（structural empirical IO，以模型反推政策效果）的傳統由此奠基——Bresnahan（1982）、Berry 等人的需求估計皆屬此系。《管理的數學》第 8 章決策分析中的「競爭情勢分析」與第 3 章線性規劃（最佳產量配置）在此與本節合流：Cournot 告訴管理者「對手的最適反應長什麼形狀」，線性規劃告訴你在給定價格下「自己的最佳組合」。

對政策的回頭影響：合謀增益（例題 07.1.1 的 225 元）是反托拉斯法的理論基礎；OPEC 配額談判是 Cournot 博弈的活教材；而「進入威慑」（以過剩產量壓低潛在進入者獲利）則把 Cournot 推向 Stackelberg 與動態賽局（7.2、6.3 節）。

年表速查#

1838：Cournot《財富理論的數學研究》出版（法文；英譯本 1897 年才出現）。
1863：Cournot《財富理論的研究》進一步討論獨占與稅。
1871：邊際革命（Jevons、Menger、Walras）使數學方法在經濟學中復權。
1874：Walras《純經濟學要義》推崇 Cournot，邀其作序。
1883：Bertrand 批評 Cournot（改用價格競爭），引出「Bertrand 悖論」。
1889–1890：Marshall《經濟學原理》以 Cournot 為需求供給分析先驅。
1897：Cournot 模型英譯出版，英語世界開始採用。
1925–1933：Pigor、Robinson、Chamberlin 開創「不完全競爭」學派，Cournot 成為基準。
1950：Nash 均衡發表，Cournot 解被追認為「Nash 均衡的原型」。

歷史啟示#

數學家寫的「不合時宜」模型會等一個世紀：Cournot 用數學寫經濟學時，主流還在用文字；等到工具與品味對上，他的書才被經典化——理論的半衰期可能很長，但一旦被重述，價值立即兌現。
「策略變數」的選擇決定結論：Cournot 選產量得中間價，Bertrand 選價格得邊際成本價（7.2 節）——同一市場、僅換一個決策變數，結論天差地遠。這提醒我們：模型的「假設」不是技術細節，而是結論的載體。
均衡語言的統一力量：把 1838 年的直覺與 1950 年的定義接上後，一百年的分散批評與改進才能被排成一條可累積的知識鏈。

練習#

設 \(P = 100 - Q\) 、 \(c_1 = 10\) 、 \(c_2 = 20\) （成本不對稱）。求兩家的最適反應函數與 Cournot–Nash 產量、價格與利潤。（提示：聯立 \(q_1 = \frac{90 - q_2}{2}\) 、 \(q_2 = \frac{80 - q_1}{2}\) 。）
驗算 \(n\) 家同質 Cournot：設 \(P = a - bQ\) 、邊際成本 \(c\) ，證 symmetric 均衡 \(q^* = \dfrac{a-c}{(n+1)b}\) ；並求 \(n \to \infty\) 時的極限，與完全競爭比較。
在例題 07.1.1 中，若邊際成本降為 \(c = 0\) ，求新的 Cournot 產量與價格，並計算此時的勒納指數 \(\dfrac{P - c}{P}\) （與 7.3 節的 Lerner index 定義接軌）。
動態調整：設兩家以「逐步調整到最適反應」方式行動： \(q_1^{(t+1)} = 45 - \frac{q_2^{(t)}}{2}\) 、 \(q_2^{(t+1)} = 45 - \frac{q_1^{(t)}}{2}\) 。從 \((q_1,q_2) = (0,0)\) 出發迭代三期，驗證序列趨向 \((30,30)\) ；並用 3.3 節的穩定性分析說明為何會收斂。
思考題：Cournot 模型假設廠商「同時」選產量。若一家廠商先宣布產量、另一家再決定（Stackelberg，7.2 節），你認為哪一家會更好？請先用直覺猜測，再用反應函數 \(q_F = 45 - q_L/2\) 與領導者最適化 \(\pi_L = (75 - q_L)q_L\) （設 \(a=120,c=30\) ）驗算你的猜測。

（本節完）