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07.2 Stackelberg領導與Bertrand競爭#

本章導言#

Cournot 模型（7.1 節）的核心假設是「同時決策」：兩家廠商在黑暗中同時選產量，彼此只能猜測。現實的市場卻常有時間差：一家廠商先動、另一家再跟；或兩家不是比產量而是直接比價格。本節考察兩個經典的「換一個決策軸」實驗。其一是 Heinrich von Stackelberg（斯塔克爾伯格，1905–1946） 在 1934 年的《市場形式與均衡》（Marktform und Gleichgewicht）中提出的序貫產量競爭：領導者（leader）先宣布產量，跟隨者（follower）據以決定自己的產量。其二是 1883 年法國數學家 Joseph Bertrand（貝特龍，1822–1900） 對 Cournot 的著名批評：「廠商賣的是產品不是產量」——若兩家直接同時選價格，結論將震驚全場：只要產品同質、成本相同，均衡價格竟等於邊際成本，雙方利潤為零。這就是所謂 Bertrand 悖論（Bertrand paradox），它與 Cournot 結果的對照，是 20 世紀產業組織理論最重要的張力之一。

條線一：Stackelberg——先動的價值#

沿用 7.1 節的需求與成本： \(P = a - bQ\) 、邊際成本 \(c\) ，兩家產量 \(q_L\) （領導者）、 \(q_F\) （跟隨者）。Stackelberg 的關鍵是把「先動」寫成資訊順序：跟隨者觀察到 \(q_L\) 後再選 \(q_F\) ，故其行為由 Cournot 反應函數（7.1 節）完全刻畫：

\[ q_F^*(q_L) = \frac{a - c}{2b} - \frac{q_L}{2}. \]

領導者預見此反應，把自己的利潤函數中的 \(q_F\) 直接替換：

\[ \pi_L(q_L) = \bigl(a - b q_L - b q_F^*(q_L) - c\bigr) q_L = \left(\frac{a - c}{2} - \frac{b q_L}{2}\right) q_L. \]

這是一個單變數最適化（先動者把「雙人問題」化約為「單人問題」）：

\[ \max_{q_L \ge 0}\ \frac{a-c}{2} q_L - \frac{b}{2} q_L^2 \;\Longrightarrow\; \frac{d\pi_L}{d q_L} = \frac{a-c}{2} - b q_L = 0 \;\Longrightarrow\; q_L^S = \frac{a-c}{2b}. \]

跟隨者代入： \(q_F^S = \dfrac{a-c}{4b}\) 。總產量、價格與利潤：

\[ Q^S = \frac{3(a-c)}{4b},\qquad P^S = \frac{a + 3c}{4},\qquad P^S - c = \frac{a-c}{4}, \]
\[ \pi_L^S = q_L^S \cdot (P^S - c) = \frac{(a-c)^2}{8b}, \qquad \pi_F^S = q_F^S \cdot (P^S - c) = \frac{(a-c)^2}{16b}. \]

結論：領導者的利潤是跟隨者的兩倍，也比 Cournot 均衡的 \(\dfrac{(a-c)^2}{9b}\) 更高（ \(\frac18 > \frac19\) ）；跟隨者則比 Cournot 差（ \(\frac{1}{16} < \frac{1}{9}\) ）。「先動」可以是一個可計價的資產——它的來源不是成本優勢，而是「我把你對我的反應寫進我的最適化」的承諾力（commitment）。反過來說，若領導者「威脅」要宣布一個很大的產量卻不可信，跟隨者仍會按反應函數行動——可信承諾（credible commitment）問題由此而生，它在 6.3 節的重複賽局與 9.3 節的機制設計中都會再出現。

條線二：Bertrand——比價格的後果#

1883 年，Bertrand 在評論 Cournot 的書時寫下一段改變歷史的話：Cournot 的假設「廠商以產量為策略變數」是奇怪的，因為消費者真正看到的是價格。若兩家同時選價格 \(p_1, p_2\) 、產品完全同質、消費者只買較便宜的那家（平手時均分），且邊際成本同為 \(c\) ：

  • 若 \(p_1 > p_2 > c\) ，則廠商 1 零銷量——它想降價搶客；
  • 若 \(p_1 = p_2 > c\) ，則各得一半銷量——任一家降一絲絲即可奪走全部；
  • 故任何 \(p > c\) 都不是均衡，唯一穩定點是
\[ p_1^* = p_2^* = c, \qquad \pi_1 = \pi_2 = 0 . \]

兩家「像完全競爭一樣」把價格壓到邊際成本——這比 Cournot 的中間價更徹底，被稱為 Bertrand 悖論：極少數廠商（僅兩家）就能產生完全競爭結果，與直覺嚴重衝突。後續對悖論的「拆解」構成 20 世紀下半葉寡占理論的主線之一：

  1. 產品差異化：設廠商面對（如 Hotelling 或線性差異）殘餘需求 \(q_i = 1 - p_i + \gamma p_j\) （ \(\gamma \in (0,1)\) 為交叉彈性），均衡為嚴格高於 \(c\) 的 interiors；
  2. 容量限制（Edgeworth 1897）：廠商產能有限時，價格不會壓到 \(c\) ；
  3. 動態定價與搜索成本：消费者無法即時比價（Stigler 1961 搜尋理論）；
  4. 重複互動：長期互盯使「價格戰」可被懲罰遏止（6.3 節 folk theorem：默契定價成為可能，也因此成為反托拉斯法的打擊對象）。

Cournot vs Bertrand 不是「哪個對」的問題，而是「什麼條件下哪個軸更貼近現實」的問題：產品差異大、消費者轉換慢（如便利商店）較像 Bertrand；產能調整慢、產品同質但需排程（如水泥、鋼鐵）較像 Cournot。實證上，用結構式估計判定「競爭型態」正是 10.3 節實證產業組織的日常。

一個具體例題#

例題 07.2.1： \(P = 120 - Q\) ， \(c = 30\) （同質產品、邊際成本 30）。

(1) 求 Stackelberg 均衡的 \(q_L\) 、 \(q_F\) 、 \(P\) 與兩家利潤，並與 Cournot（7.1 節的 30、30、60、900）比較。
(2) 若兩家改為同時價格競爭（Bertrand、同質、成本相同），均衡價格與利潤為何？
(3) 若產品微出差異，設 \(q_1 = 120 - 2p_1 + p_2\) 、 \(q_2 = 120 - 2p_2 + p_1\) ， \(c = 30\) ，求 Bertrand–Nash 價格。

解：

(1) 反應函數（沿用 7.1 節）： \(q_F = 45 - q_L/2\) 。領導者最適化： \(\pi_L = (120 - q_L - (45 - q_L/2) - 30)q_L = (45 - q_L/2) q_L\) 。FOC： \(45 - q_L = 0 \Rightarrow q_L = 45\) ； \(q_F = 45 - 22.5 = 22.5\) ； \(Q = 67.5\) ， \(P = 52.5\) ； \(\pi_L = 45 \times 22.5 = 1012.5\) ， \(\pi_F = 22.5 \times 22.5 = 506.25\) 。與 Cournot（各 900）比較：領導者多賺 112.5 元，跟隨者少賺 393.75 元；總利潤 1518.75 < 1800，消費者卻因 \(P = 52.5 < 60\) 而改善——先動優勢是「從跟隨者口袋搬到領導者口袋，且雙方合計縮水」。

(2) Bertrand 同質：唯一均衡 \(p_1 = p_2 = c = 30\) ， \(Q = 90\) （ \(P=30\) 時 \(Q = 120-30 = 90\) ）， \(\pi_1 = \pi_2 = 0\) 。消費者剩餘 \(\frac12 \times 90 \times 90 = 4050\) ，遠高於 Cournot 的 1800 與 Stackelberg 的 \(\frac12 \times 67.5 \times 67.5 \approx 2278\) 。

(3) 差異化 Bertrand：利潤 \(\pi_1 = (p_1 - 30)(120 - 2p_1 + p_2)\) 。FOC：

\[ \frac{\partial \pi_1}{\partial p_1} = 120 - 2p_1 + p_2 - 2(p_1 - 30) = 0 \;\Longrightarrow\; 180 + p_2 = 4p_1 \;\Longrightarrow\; p_1 = \frac{180 + p_2}{4}. \]

對稱均衡 \(p_1 = p_2 = p\) ： \(4p = 180 + p \Rightarrow p^* = 60\) 。銷量 \(q^* = 120 - 120 + 60 = 60\) ， \(\pi^* = (60-30) \times 60 = 1800\) 。價格剛好是 Cournot 均衡價格（此為本例參數巧合，非通則），但嚴格高於 \(c = 30\) ——差異化「治好」了 Bertrand 悖論。

名詞速查表#

  • Stackelberg 競爭：領導者先選產量、跟隨者後選的序貫 Cournot 博弈。
  • 可信承諾：先動優勢的前提——對手相信你「真的會照宣布的量生產」。
  • 跟隨者反應函數： \(q_F^*(q_L) = \frac{a-c}{2b} - \frac{q_L}{2}\) ，領導者把它內插進自己的目標函數。
  • Bertrand 競爭：廠商同時選價格的寡占模型。
  • Bertrand 悖論：同質產品、成本相同時，僅兩家廠商即產生 \(P = c\) 的完全競爭結果。
  • 產品差異化：使 Bertrand 均衡價格嚴格高於邊際成本的最常見解方（另見容量限制、搜尋成本）。
  • 競爭型態判定：以結構式模型判斷市場較接近數量競爭或價格競爭，10.3 節實證方法的應用場景。

前因後果與驅動關係#

什麼問題驅動了它：兩個問題逼出了這組模型。其一，「誰先動」：Cournot 的同時性假設無法處理真實商業中「有人先宣布、有人再跟」的事實（航空新航線、零售擴點、標準之爭），Stackelberg 把時間與承諾寫進模型。其二，「策略變數是什麼」：Bertrand 的批評直指 Cournot 的軟肋——若定價才是廠商的日常操作，數量模型的中間價結論可能只是建模選擇的產物。這兩個問題本質上都是「把現實的一個結構維度加進最適化」的練習，而每次加入，均衡都會移動、政策含意也會跟著移動。

數學工具如何反過來改變經濟分析：Stackelberg 的「反應函數代入法」教會經濟學家處理不完全資訊動態博弈（Stackelberg–Nachleiter 類型），它是 9.3 節拍賣理論（出價順序影響收益）與信号博弈（9.2 節：先動者留下可觀察行動）的方法論母體；Bertrand 悖論則逼出了一整套「產品差異化與市場微觀結構」理論（Hotelling 1929 空間競爭、Salop 1979 環形城市、搜尋與價格分散），並直接對接金融市場做市：證券交易所中的報價差（bid-ask spread）正是「同質商品 + 庫存約束下的 Bertrand 競爭」，請見《金融的數學》第 7 章風險度量與第 10 章市場微觀結構。在管理層面，《管理的數學》第 8 章決策分析的「先行者分析」與第 2 章成長預測模型都以 Stackelberg 式思維處理「我先動、對手後動」的商業情境。

對政策的回頭影響：Bertrand 悖論告訴反托拉斯當局：市場集中度不等於競爭程度——兩家同質廠商可能毫無超額利潤；反之，差異化市場即使集中度低也可能高價。Stackelberg 則警告：管制「先宣布」的規則（如公開聽證、價格备案）會改變市場均衡，不只是「更透明」而已。這正是機制設計（9.3 節）的核心思維：規則即賽局，賽局即均衡。

年表速查#

  • 1838：Cournot 產量競爭模型。
  • 1883：Bertrand 在 Cournot 書評中提出價格競爭批評。
  • 1897：Edgeworth 以容量限制回應 Bertrand 悖論。
  • 1929：Hotelling 空間差異化模型。
  • 1933：Robinson《不完全競爭經濟學》、Chamberlin《壟斷競爭理論》。
  • 1934：Stackelberg《市場形式與均衡》提出序貫產量模型。
  • 1950：Nash 均衡發表，Cournot/Bertrand/Stackelberg 皆被重述為均衡語言。
  • 1961：Stigler 搜尋理論為 Bertrand 悖論提供新解方。
  • 1979：Salop 環形城市模型系統化產品差異化。

歷史啟示#

  • 批評比建設更便宜，也更有效：Bertrand 只用三行論證就動搖了 Cournot 的基礎，但真正豐收的是「如何修補悖論」的後續研究——好的批評會打開一個研究領域。
  • 「先動優勢」不是常識的同義詞：Stackelberg 顯示先動可以更好（領導者）或更壞（若預期到對手會過度反應、或先動者必須承擔需求不確定性）——把直覺變成數學後，直覺的邊界才看得見。
  • 假設的每一維都有價格：同時 vs 序貫、數量 vs 價格、同質 vs 差異——每換一維，均衡就變一次。建模者的任務不是選「正確」的假設，而是說清楚「哪個維度在這個問題裡要命」。

練習#

  1. 在 \(P = 100 - Q\) 、 \(c = 10\) 的設定下，求 Stackelberg 均衡（ \(q_L, q_F, P\) 與兩家利潤），並與同設定的 Cournot 均衡（7.1 節習題 1 的對稱情形：各 \(q = 30\) ）比較。
  2. 證明：對一般 \(a, b, c\) ， \(\pi_L^S = \dfrac{(a-c)^2}{8b} > \pi^{Cournot} = \dfrac{(a-c)^2}{9b} > \pi_F^S = \dfrac{(a-c)^2}{16b}\) ，並寫出三者的總福利與消費者剩餘排序。
  3. Bertrand 悖論的差異化版：設 \(q_1 = 60 - p_1 + 0.5p_2\) 、 \(q_2 = 60 - p_2 + 0.5p_1\) 、 \(c = 10\) 。導出最適反應函數並求對稱均衡價格。（提示： \(p_1 = \frac{70 + 0.5 p_2}{2}\) 。）
  4. 容量版 Bertrand（Edgeworth）：兩家產能各 40、總需求 \(Q = 120 - P\) 、 \(c = 20\) 。說明為何 \(p = 20\) 不能是均衡（一家有動機略高於 \(c\) 定價並服務所有未被滿足的需求），並解釋此論證為何暗示「純策略均衡可能不存在」。
  5. 思考題：Stackelberg 的先動優勢建立在「跟隨者一定照反應函數行動」的信念上。若跟隨者「非理性地」也想當領導者（雙方都想先動），賽局會發生什麼？試用 6.2 節的「均衡選擇」概念與「雞賽局」（hawk-dove 型）類比討論，並說明為何此時「先宣布」反而可能是弱點而非優勢。

（本節完）