跳轉到

07.3 差別定價與壟斷最適化#

本章導言#

前兩節假設廠商對所有買主「一體同仁」定價。現實卻相反：學生票、早鳥票、頭等艙、批量折扣、地區差價……同一瓶水在機場與超市的價格天差地遠。這類做法統稱差別定價（price discrimination），其數學本質是：把消費者剩餘逐一轉為生產者剩餘的最適化問題。本節沿三條經典分類重建理論（Pigou, 1920；Robinson, 1933）：第一級（完全榨取）、第二級（自選機制）、第三級（市場分割），並給出壟斷者的一般最適化框架與 Lerner 指數。差別定價是壟斷理論的頂峰，也是第 9 章「機制設計」的經濟學前身——當「一個價格吃遍天下」不夠時，賣方就會設計「讓買方自己暴露類型」的規則。

壟斷者的基本最適化#

設壟斷者面對反需求 \(P(Q)\) 、成本 \(C(Q)\) ，利潤 \(\pi(Q) = P(Q)Q - C(Q)\) 。一階條件給出著名的邊際收益等於邊際成本：

\[ MR(Q) = P(Q) + Q P'(Q) = MC(Q) \;\Longleftrightarrow\; P\left(1 + \frac{1}{\varepsilon_d}\right) = MC, \]

其中 \(\varepsilon_d = \dfrac{dQ}{dP}\cdot\dfrac{P}{Q} < 0\) 是需求彈性（3.3 節的定義）。整理得 Lerner 指數：

\[ L \equiv \frac{P - MC}{P} = -\frac{1}{\varepsilon_d}. \]

壟斷力（價格高於邊際成本的程度）與需求彈性成反比：彈性越大（消費者越容易跑掉），加成空間越小。這是壟斷理論中最可實證的命題之一——第 10 章的計量方法可以估出 \(\varepsilon_d\) ，再與觀察到的加成比對，即可判斷廠商是否真的具有壟斷力、或其高價另有成本理由。

計算守則：線性需求下請一律「先化為反需求 \(P(Q)\) ，再由 \(TR = P(Q)\cdot Q\) 對 \(Q\) 微分」得到 \(MR\) 。常見錯誤是把 \(\dfrac{dTR}{dp}\) 當成 \(MR\) ——兩者差一個因子 \(\dfrac{dp}{dQ}\) ，代價是整題算錯。本節例題即示範這個陷阱。

第一級差別定價：完全榨取#

若賣方知道每位買主的保留價格（reservation price）並可禁止轉售，則對每單位以「剛好等於該單位買主願付的價格」售出——需求曲線下方的全部面積都變成生產者剩餘，消費者剩餘歸零。此時產量達到 \(P = MC\) 的完全競爭水準（社會總剩餘最大，但全歸賣方）。

第一級是理論極限：它同時假設了「完全資訊」與「不可套利」。現實中最接近的例子是個人化算法定價（平台依你的瀏覽紀錄微調報價）與一對一議價（房仲、保險業務員對不同客戶報不同價）。它的效率含意微妙：總剩餘最大（5.3 節意義下「有效率」），分配卻極不平均——效率與公平在差別定價中第一次正面對撞。

第三級差別定價：分割市場#

最常見的形態：賣方依可觀察特徵（年齡、地區、時段）把買主分成 \(K\) 個市場，在每個市場內單一定價 \(p_k\) 。設市場 \(k\) 的需求為 \(Q_k(p_k)\) ，總成本僅依總量： \(C\left(\sum_k Q_k\right)\) 。最適化：

\[ \max_{p_1,\dots,p_K}\ \sum_k p_k Q_k(p_k) - C\Bigl(\sum_k Q_k\Bigr) \;\Longrightarrow\; MR_k = MC \quad \forall k . \]

即：讓各市場的邊際收益相等並等於共同的邊際成本。直覺：若市場 A 的 \(MR\) 高於市場 B，就把一單位從 B 挪到 A——總收益上升。用彈性寫：

\[ p_k\left(1 - \frac{1}{|\varepsilon_k|}\right) = MC \;\Longrightarrow\; \frac{p_1}{p_2} = \frac{1 - 1/|\varepsilon_2|}{1 - 1/|\varepsilon_1|}. \]

彈性小（消費者跑不掉）的市場被抽較高的稅——學生票、老人票之所以存在，是因為這群人對價格更敏感（ \(\varepsilon\) 大），壓低他們的票價能多賣出很多單位，而對彈性小的商務旅客加價卻幾乎不損銷量。

第二級差別定價：讓買方自己選#

當賣方看不到類型、只能設計「套餐」讓買方自我選擇時，問題變成機制設計的雛形（9.3 節將正式化）。經典工具是兩部定價（two-part tariff）：收一筆固定入場費 \(T\) 加每單位價格 \(p\) 。對同質買方，最適解是 \(p = MC\) （邊際上不扭曲）、把 \(T\) 設為消費者剩餘全數（第一級的翻版）；對異質買方， \(p\) 必須偏離 \(MC\) 以降低高類型「裝窮」的誘因——扭曲即資訊租（informational rent）。這就是 Spence（1973） 信号模型（9.2 節）與 Myerson（1981） 最適拍賣（9.3 節）的共同祖先：設計規則的人面對的不是「自然」，而是「會算計的類型」。區塊定價（用量階梯水電價）、買二送一、容量版套餐，都是第二級的日常化身。

一個具體例題#

例題 07.3.1：某運輸公司在兩條航線上服務。商務市場需求 \(Q_1 = 60 - p_1\) ，休閒市場 \(Q_2 = 24 - p_2\) （單位：百人/月、百元），邊際成本恒為 6（百元/人）。

(1) 若禁止差別定價、只能單一價格，求最適價格與總利潤。
(2) 允許第三級差別定價，求兩市場的 \(p_k, Q_k\) 與總利潤。
(3) 計算兩市場的需求彈性與 Lerner 指數，驗證彈性法則。
(4) 若改用兩部定價且只服務市場 1（同質買方），求 \((p, T)\) 與利潤。

解：

(1) 統一定價下，對任意 \(p \le 24\) 總量 \(Q = (60 - p) + (24 - p) = 84 - 2p\) ，反需求 \(p = \dfrac{84 - Q}{2}\) ， \(MR = 42 - Q\) 。令 \(MR = MC\) ： \(42 - Q = 6 \Rightarrow Q = 36\) ， \(p = \dfrac{84-36}{2} = 24\) 。此時 \(Q_1 = 36\) 、 \(Q_2 = 0\) （休閒市場被高價擠出， \(p=24\) 恰為其 choke price）。 \(\pi = (24 - 6) \times 36 = 648\) （百萬元）。用對 \(p\) 的利潤函數驗算： \(\pi(p) = (p-6)(84-2p)\) ， \(\pi'(p) = 84 - 2p - 2(p-6) = 96 - 4p = 0 \Rightarrow p = 24\) ✓。

(2) 分市場（一律以產量為變數）：市場 1： \(p_1 = 60 - Q_1\) ， \(MR_1 = 60 - 2Q_1 = 6 \Rightarrow Q_1 = 27\) ， \(p_1 = 33\) 。市場 2： \(p_2 = 24 - Q_2\) ， \(MR_2 = 24 - 2Q_2 = 6 \Rightarrow Q_2 = 9\) ， \(p_2 = 15\) 。總利潤 \((33-6)\times 27 + (15-6)\times 9 = 729 + 81 = 810\) 。差別定價多賺 162（648 → 810）：單一定價時休閒市場整個消失，分割定價把它喚回來——低彈性的商務市場被抽 33 元、高彈性的休閒市場只收 15 元，總產量從 36 增至 36（商務減 9、休閒增 9），無謂損失部分移轉，總福利的變化需逐案計算（本例中消費者剩餘：單一定價 \(\frac12 \times 36 \times 36 = 648\) ；差別定價 \(\frac12 \times 27 \times 27 + \frac12 \times 9 \times 9 = 364.5 + 40.5 = 405\) ，剩餘被轉移為利潤 162，淨社會效果為 \(810 + 405 - (648 + 648) = -81\) ？——重算：總剩餘單一定價 \(= 648_{CS} + 648_{\pi} = 1296\) ；差別定價 \(= 405 + 810 = 1215\) 。差 \(-81\) 的來源是「產量從 36 移到 36 但結構改變」——實際上應比較「邊際成本下的總有效需求」： \(p = MC = 6\) 時有效總量為 \(54 + 18 = 72\) ；兩方案皆遠低於此，本例的淨效果為負 81，即此參數下差別定價反而降低總福利（因單一定價原本把產量集中在成本有效的市場，分割後商務縮量）。教訓：教科書常說「差別定價改善效率」，但那是「兩市場皆有正銷量且 \(MR_k = MC\) 」相對「統一定價」的結果——一旦統一定價已擠出某市場，結論可能反號，必須逐案驗算。）

(3) 彈性與 Lerner：市場 1： \(\varepsilon_1 = \dfrac{dQ_1}{dp_1}\cdot\dfrac{p_1}{Q_1} = (-1)\times\dfrac{33}{27} = -1.222\) ， \(L_1 = \dfrac{33-6}{33} = 0.818 = -1/\varepsilon_1\) ✓。市場 2： \(\varepsilon_2 = (-1)\times\dfrac{15}{9} = -1.667\) ， \(L_2 = \dfrac{15-6}{15} = 0.6 = -1/\varepsilon_2\) ✓。彈性小的市場加成率高（ \(0.818 > 0.6\) ），Pigou 法則驗證通過。

(4) 兩部定價（只服務市場 1）：每單位價 \(p = MC = 6\) （邊際不扭曲），此時 \(Q_1 = 54\) ，消費者剩餘 \(CS = \dfrac{1}{2}\times 54 \times 54 = 1458\) ，故 \(T = 1458\) 。總利潤 \(= T + (p - c)Q = 1458 > 810\) （第三級，僅市場 1） \(> 648\) （單一定價）——能識別類型並收固定費時，兩部定價榨取得最乾淨。

名詞速查表#

  • 差別定價：對不同單位或不同買主收取不同價格的定價方式。
  • 保留價格：買主願付的最高價；第一級差別定價的假設前提。
  • Lerner 指數 \(L = (P - MC)/P = -1/\varepsilon_d\) ：壟斷加成率，壟斷力的標準量化。
  • 第三級差別定價：依可觀察特徵分割市場，各市場 \(MR_k = MC\) 。
  • 兩部定價：固定費 \(T\) 加邊際價 \(p\) ；同質買方下 \(p = MC\) 、 \(T = CS\) 。
  • 自選擇約束：第二級差別定價中，高類型「裝窮」的誘因限制；產生資訊租。
  • 峰值定價：依需求時段分割（電價尖峰/離峰），第三級差別定價的成本版（尖峰時邊際成本較高）。

前因後果與驅動關係#

什麼問題驅動了它：19 世紀末鐵路運費的「差別運價」爭議是第一個大案例：同一節車廂載穀物與載旅客的費率不同，公眾質疑這是掠奪，鐵路公司則稱「不同載重成本不同」——成本差異與榨取消費者剩餘必須用數學分開，這正是 Pigou（1920）三分法的動機。其二，20 世紀的產業實務（電影院票價、電信資費、藥品區域價）使「差別定價是否改善福利」成為反托拉斯與管制的日常判斷題，逼著理論給出可計算的條件。其三，資訊不對稱（第 9 章）的興起揭示：當賣方看不到類型時，定價問題本質上是「設計一個讓買方說真話的遊戲」——這就把 7.3 節與 9.2、9.3 節焊在一起。

數學工具如何反過來改變經濟分析：Lerner 指數把「壟斷力」變成可用資料驗證的數字（配合第 10 章的需求估計），成為產業組織實證研究的核心工具；自選擇約束的分析技術（激勵相容、個體理性）後來長成整門機制設計（9.3 節，2007 年諾貝爾獎）；算法定價（平台對百萬用戶即時微調價格）把第一級差別定價從思想實驗變成日常，也催生了新的管制討論（價格歧視的合法性、個資與定價的關係）。對照《管理的數學》第 8 章決策分析：差別定價是「面對多個顧客群的定價決策」，而管理會計中的本量利分析（《會計的數學》第 6 章）提供 \(MC\) 與貢獻毛利的估算；《金融的數學》第 10 章的市場設計（如電力市場的峰谷與即時拍賣）則是差別定價思想在能源與金融基建的延伸。

對政策的回頭影響：反托拉斯實務必須區分「成本型差別定價」（效率）與「市場力型差別定價」（榨取）——Lerner 指數與彈性估計是判斷工具；消費者保護法對「大數據殺熟」的規制討論，本質上是對「第一級差別定價的私人留存」設限。理論不只描述，它直接給出「該看什麼數字」的執法清單。

年表速查#

  • 1890：Sherman Antitrust Act（美），差別運價的法律爭議背景。
  • 1920：Pigou《福利經濟學》提出差別定價三分法。
  • 1933：Robinson《不完全競爭經濟學》系統化壟斷定價。
  • 1956：Boiteux 研究電力峰谷定價（peak-load pricing）。
  • 1971：Stigler 提出「價格歧視」與資訊條件的關係。
  • 1973–1981：Spence 信号、Myerson 最適拍賣把第二級差別定價機制化（見 9.2、9.3 節）。
  • 2000s–：算法定價與平台個人化報價普及，「大數據殺熟」進入管制視野。

歷史啟示#

  • 「同一個價」從來不是常態：理論長期假設單一定價，是為了數學方便，不是為了描述世界；當計算成本下降，廠商立刻回歸差別定價——假設的方便往往正是理論的盲區。
  • 效率與公平會分家：差別定價可能增進總剩餘（多賣給高彈性者）、也可能在特定參數下降低總剩餘（如例題），但無論哪種，分配都向賣方傾斜——福利定理（5.3 節）的兩支「效率」與「公平」在此必須分開陳述。
  • 定價就是設計：當價格不止一個，「價格表」本身就是一個機制——這句話是通往第 9 章的大門。

練習#

  1. 壟斷者面對 \(P = 100 - Q\) 、 \(MC = 20\) 。求單一定價的 \((p^*, Q^*, \pi^*)\) 與 Lerner 指數。
  2. 若上題的市場可分割為 A（ \(Q_A = 60 - p_A\) ）與 B（ \(Q_B = 40 - p_B\) ）， \(MC = 20\) 。求第三級差別定價的 \(p_A, p_B\) 與總利潤，並與單一定價比較。
  3. 兩部定價：健身房對同質會員的需求 \(Q = 100 - p\) （ \(Q\) 為次數）、邊際成本 10。求最適 \((p, T)\) ；若無法收固定費，只能單一價，利潤損失多少？
  4. Lerner 指數逆推：某產業平均 \(P = 80\) 、估計需求彈性 \(\varepsilon_d = -2.5\) 。若價格真由 \(MR = MC\) 決定，推算其邊際成本水準；若該產業實際 \(MC = 50\) ，這對「其定價是否符合單一壟斷模型」有何含意？
  5. 思考題：大數據算法定價讓「每個人一個價」（第一級）在技術上趨於可行。試以本節的效率—公平框架討論：若管制禁止個人化定價、強制回歸單一定價，消費者剩餘、生產者剩餘與總福利會如何變化？（提示：區分「原先被歧視的高彈性群」與「原先付單一價的低彈性群」兩組人的得失。）

（本節完）