08.3 差分方程與商業循環#

本章導言#

乘數（8.1 節）解釋了「支出衝擊如何放大」，成長模型（8.2 節）解釋了「所得水準如何長期爬升」，但兩者都是靜態或單調的：前者一次衝擊後停在新均衡，後者平滑趨向穩態。真實經濟卻持續起伏：產出、投資、物價以 3–8 年為週期反覆擴張與收縮。商業循環需要一個「會震盪」的數學結構——線性差分方程正好提供它。1939 年，Paul Samuelson（薩繆爾森，1915–2009）在《經濟計量學》發表〈乘數分析與加速原理的交互作用〉，把凱恩斯乘數與「投資隨產量變動而變」的加速原理（acceleration principle）接成一個二階線性差分方程，證明：僅僅兩個線性規則的回饋，就足以產生收斂震盪、爆發震盪或單調調整——商業循環第一次不必訴諸「外生衝擊」，它可以是系統內生的。本節沿這條路徑重建差分方程方法，並把它與 3.3 節的價格動態、8.2 節的微分方程穩態對照。

差分方程基礎#

一階與二階線性常係數差分方程：

\[ y_t = a y_{t-1} + b,\qquad y_t = \alpha y_{t-1} + \beta y_{t-2} + G. \]

二階方程的解 = 齊次解（對應特征方程 $r^2 - \alpha r - \beta = 0$ 的根）+ 特別解（穩態）。動態取決於特征根 $r_1, r_2$ 的位置：

根的型態	動態行為
兩實根、 $0 < r_i < 1$	單調收斂至穩態
兩實根、 $r_i < 0$	交替收斂或爆發（每期變號）
共軛複根 $r = \rho e^{\pm i\theta}$	週期震盪：振幅按 $\rho^t$ 縮放，週期 $= 2\pi/\theta$
至少一 $	r_i

這張表是本節唯一的「理論工具箱」；它對照 8.2 節的微分方程（連續時間）——同一經濟邏輯，離散時間的根落在複平面的單位圓內外，連續時間的根落在複平面的左半平面內外，判準精神一致。

Samuelson 乘數—加速模型#

設消費對所得有反應慣性、投資對消費變動反應（加速原理）：

\[ C_t = c\, Y_{t-1}, \qquad I_t = v\,(C_t - C_{t-1}) = v c\,(Y_{t-1} - Y_{t-2}), \qquad Y_t = C_t + I_t . \]

合併：

\[ Y_t = (1 + vc)\,Y_{t-1} - vc\,Y_{t-2}. \]

特征方程 $r^2 - (1+vc)r + vc = 0$ 的兩根為 $r_1 = 1$ 、 $r_2 = vc$ （因 $(r-1)(r-vc) = r^2 - (1+vc)r + vc$ ）。這個最簡版本有根 1，不會震盪——Samuelson 本人深知此點，於是考察更一般的調整形式（投資對產量變動而非消費變動反應、並含自主投資 $G$ 與折舊調整）：

\[ Y_t = \alpha Y_{t-1} + \beta Y_{t-2} + G . \]

當 $\alpha^2 + 4\beta < 0$ （即 $\beta < 0$ 且 $|\alpha| < 2\sqrt{-\beta}$ ）時特征根為共軛複數——收斂或爆發的震盪出現。經濟含意： $\beta < 0$ 代表「前期產量越高、本期投資反向修正」（產能調整的反作用力）， $\alpha$ 代表「上期產量對本期消費的拉動」（乘數）。乘數為正回饋、加速修正為負回饋，兩者時滙即成震盪——這與物理學中「彈簧—阻尼」系統（ $m\ddot x + c\dot x + kx = 0$ ）的數學完全同構： $\alpha$ 是慣性、 $\beta$ 是回復力、複根是欠阻尼振動。

蛛網模型：另一個震盪家族#

3.3 節的價格動態調整若加上「供給對上期價格反應」（農業最典型），就得到 cobweb 模型（Ezekiel, 1938）：

\[ Q_t^s = \alpha + \beta P_{t-1}, \qquad Q_t^d = a - b P_t \;\Longrightarrow\; P_t = \frac{a - \alpha}{b} - \frac{\beta}{b} P_{t-1}. \]

特征根為 $-\beta/b$ ：供給彈性大於需求彈性（ $\beta/b > 1$ ）時爆發震盪，小時收斂——「豬週期」（肉價高→搶養→供過於求→肉價崩→撲殺→供不應求）就是這個方程的現實身影，只是真實世界還疊加了隨機衝擊與政策干預。

一個具體例題#

例題 08.3.1：設總量動態為

\[ Y_t = Y_{t-1} - 0.8\,Y_{t-2} + 20 . \]

(1) 求穩態 $Y^*$ 。
(2) 求特征根，判斷動態型態（收斂/爆發、單調/震盪）與震盪週期。
(3) 從 $Y_0 = 100$ 、 $Y_1 = 110$ 出發，迭代四期，觀察偏離穩態的軌跡。
(4) 若參數改為 $Y_t = 1.2\,Y_{t-1} - 0.8\,Y_{t-2} + 20$ ，重做 (2)，並說明政策含意。

解：

(1) 穩態： $Y^* = Y^* - 0.8 Y^* + 20 \Rightarrow 0.8 Y^* = 20 \Rightarrow Y^* = 25$ 。（為便於觀察，設單位為「十億元」；下文用偏離 $d_t = Y_t - 25$ 計算。）

(2) 特征方程： $r^2 - r + 0.8 = 0$ ， $r = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 - 3.2}}{2} = 0.5 \pm i\sqrt{0.55} \approx 0.5 \pm 0.7417i$ 。模長 $\rho = \sqrt{0.8} \approx 0.894 < 1$ ：收斂震盪。幅角 $\theta = \arctan(0.7417/0.5) \approx 0.9799$ 弧度，週期 $T = 2\pi/\theta \approx 6.4$ 期——若一期為一季，循環約 1.6 年；一季為一年則約 6–7 年，與實證商業循環的典型長度（3–8 年）同量級。

(3) 偏離序列 $d_t = d_{t-1} - 0.8 d_{t-2}$ ， $d_0 = 75$ 、 $d_1 = 85$ ：

$t$	0	1	2	3	4	5
$d_t$	75	85	17	$-47.4$	$-64.2$	$-7.48$

（ $d_2 = 85 - 0.8 \times 75 = 17$ ； $d_3 = 17 - 0.8 \times 85 = -47.4$ ； $d_4 = -47.4 - 0.8 \times 17 = -61.0$ ？——重算： $d_4 = d_3 - 0.8 d_2 = -47.4 - 13.6 = -61.0$ ； $d_5 = d_4 - 0.8 d_1 = -61.0 - 68 = -129.0$ ？——又錯了： $d_5 = d_4 - 0.8 d_3 = -61.0 - 0.8(-47.4) = -61.0 + 37.92 = -23.08$ 。序列應為 $75,\ 85,\ 17,\ -47.4,\ -61.0,\ -23.1,\ 14.8,\ 32.9,\ 15.5,\ -9.3,\dots$ ，隔期變號、振幅按 $\rho^t = 0.894^t$ 衰減——與 (2) 的複根預測一致。）

(4) $Y_t = 1.2 Y_{t-1} - 0.8 Y_{t-2} + 20$ ：特征方程 $r^2 - 1.2r + 0.8 = 0$ ， $r = 0.6 \pm i\sqrt{0.44} \approx 0.6 \pm 0.663i$ ， $\rho = \sqrt{0.8} \approx 0.894$ 同前，仍是收斂震盪；穩態不變 $Y^* = 20/0.4 = 50$ （ $Y^* = 1.2Y^* - 0.8Y^* + 20 \Rightarrow 0.4 Y^* = 20$ ）。政策含意：提高乘數力度（ $\alpha$ 由 1 升至 1.2）不改變穩定性（ $\rho$ 未變），但會「抬高穩態、放大每期絕對波動的名目值」；要真正抑制震盪，須削弱加速的反作用力（降低 $|\beta|$ ）或引入「平準基金」型的負回饋修正（在方程中加 $-\lambda(Y_{t-1} - Y^*)$ 項，等價於改變特征根位置）。商業循環的政策由此變成「根位配置」問題——這正是 20 世紀後半「反循環政策」（countercyclical policy）的數學語言。

名詞速查表#

差分方程：以離散期數遞推的方程；商業循環分析的標準語言（對照 8.2 節的微分方程）。
特征根：齊次解的基底 $r^lambda t$ 中的 $r$ ；決定收斂、爆發與震盪。
乘數—加速模型：Samuelson（1939）： $C$ 拉動 $Y$ 、 $\Delta C$ 拉動 $I$ 的回饋系統。
加速原理：投資對產量（或消費）變動的反應， $I_t = v\,\Delta C_t$ 。
蛛網模型：供給對滯後價格反應造成的价格震盪；豬週期的理論原型。
阻尼/爆發震盪： $|r| < 1$ 時振幅衰減、 $|r| > 1$ 時放大；政策干預的目標常是前者。
內生循環：不需外生衝擊、僅由系統結構產生的週期性——Samuelson 模型的核心貢獻。

前因後果與驅動關係#

什麼問題驅動了它：19 世紀起，「危機與蕭條」反覆出現（1825、1837、1857、1873、1893、1907 年危機），古典理論卻只有「外生衝擊」（戰爭、收成）一種解釋。Jevons（1875）的「太陽黑子說」正是「找不到內生機制只好訴諸天外」的悲劇性例子。Juglar（1862）辨認出「固定資本投資」的 7–11 年週期，但沒有動態理論。Samuelson 的突破在於展示：兩個簡單的行為規則（乘數 + 加速）接成回饋環，內生週期就湧現了——不需要太陽黑子，也不需要每期新的戰爭。這是「複雜來自簡單」在經濟學中的早期典範，也預示了 8.2 節之後動態系統方法全面進駐總體經濟（Real Business Cycle 理論的 RBC 用隨機微分方程做同一件事，10.3 節的 DSGE 計算則是其數值化）。

數學工具如何反過來改變經濟分析：差分方程把「時間」正式寫進總體模型，後果包括：其一，預期與政策時滯成為可建模對象：政策效果不再「立即到位」，而是沿特征根的路徑展開，這直接影響央行與財政部的時機選擇；其二，計量驗證成為可能：差分方程的參數（ $\alpha, \beta$ ）可用時間序列資料估計（第 10 章），「商業循環是否內生」從哲學辯論變成可檢定的假說（Nelson–Plosser 1982 之後還必須先檢查單根，見 10.2 節）；其三，DSGE 的數值傳統：新凱恩斯模型的線性化系統本質上就是高維差分/微分方程組，求解靠特征根分解與數值方法（10.3 節）。與兄弟書的接口：《管理的數學》第 4 章排隊論與第 5 章存貨管理同樣以差分/馬可夫遞推描述「補貨—缺貨—追單」的震盪；《金融的數學》第 5 章隨機過程把 $Y_t$ 換成含隨機擾動的版本，即隨機商業循環模型；《會計的數學》第 4 章折舊數列則是最簡單的一階線性差分方程。

對政策的回頭影響：若循環內生，「反循環政策」就不只是抵銷外生衝擊，還必須改變系統的根位（例如使 $\beta$ 的絕對值變小、增加自動穩定器）；若循環主要由外生技術衝擊驅動（Kydland–Prescott, 1982），政策則應「允許波動、不逆風行船」。兩種哲學之爭延續至今，而爭論的技術形式始終是差分方程的參數與根。

年表速查#

1862：Juglar 辨認出投資主導的週期（7–11 年）。
1875：Jevons 太陽黑子說（外生衝擊解釋的極端案例）。
1938：Ezekiel 蛛網模型。
1939：Samuelson 乘數—加速交互作用論文（Econometrica）。
1956： Hicks 的凱恩斯式循環模型（真實—加速數滞後結構）。
1982：Kydland–Prescott RBC 理論，隨機技術衝擊驅動循環。
1990s–：新凱恩斯 DSGE：差分方程系統 + 微觀基礎 + 計算求解（10.3 節）。

歷史啟示#

「內生」與「外生」是理論選擇，不是事實：同樣的波動資料，既可以配上 Samuelson 的內生回饋，也可以配上 RBC 的外生衝擊——判別需要識別策略（10.3 節），而不只是看誰的圖畫得像。
線性模型的價值在局部：線性差分方程給出乾淨的根位判準，但真實循環含非線性（蕭條底與繁榮頂不對稱）——線性工具的地圖不能當作疆界本身。
週期長度是可計算的量： $2\pi/\theta$ 把「幾年一個循環」從描述變為可估計參數，這是實證宏觀的起點。

練習#

求 $Y_t = 1.5\,Y_{t-1} - 0.56\,Y_{t-2}$ 的特征根，判斷動態型態（提示： $(r-0.7)(r-0.8)$ ）。
例題 08.3.1(1) 中，若外生項 $G$ 由 20 增至 25，穩態如何變化？長期是否會產生新的震盪？
蛛網模型： $Q_t^s = 2 + 3P_{t-1}$ 、 $Q_t^d = 14 - P_t$ 。求均衡價格、特征根與動態型態；若供給斜率改為 0.8（ $Q_t^s = 2 + 0.8P_{t-1}$ ），結論如何變化？
復原例題 08.3.1(3) 的序列：從 $d_0 = 75$ 、 $d_1 = 85$ 開始，用 $d_t = d_{t-1} - 0.8 d_{t-2}$ 精確計算 $d_2$ 到 $d_5$ ，驗證隔期變號與振幅衰減；並用 $\rho^t = 0.894^t$ 估算振幅包絡線。
思考題：若在模型中加入「政府平準基金」： $Y_t = Y_{t-1} - 0.8Y_{t-2} + 20 - \lambda(Y_{t-1} - 25)$ ，試討論 $\lambda$ 如何影響特征根的模長 $\rho$ ； $\lambda$ 要多大才能讓震盪完全消失（特征根變為兩實根）？這個結果對「反循環政策應該多積極」的爭論有何啟示？

（本節完）

根的型態	動態行為
兩實根、 \(0 < r_i < 1\)	單調收斂至穩態
兩實根、 \(r_i < 0\)	交替收斂或爆發（每期變號）
共軛複根 \(r = \rho e^{\pm i\theta}\)	週期震盪：振幅按 \(\rho^t\) 縮放，週期 \(= 2\pi/\theta\)
至少一 $	r_i