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9.1 期望效用理論1944#

本章導言#

一個人應該如何在不確定下做決定？1738 年 Daniel Bernoulli 用對數效用化解了聖彼得堡悖論（本書 2.1 節），但「效用」此後近兩百年始終停留在直覺層次。1944 年，John von Neumann 與經濟學家 Oskar Morgenstern（摩根斯坦，1902–1977） 合著《賽局理論與經濟行為》（Theory of Games and Economic Behavior），在書中附錄給出期望效用定理：只要決策者對含有風險的選項（lotteries）的偏好滿足少數幾條理性公理，就必然存在一個效用函數 \(u\) ，使得決策者的行為「如同」在極大化期望效用 \(\mathbb{E}[u]\) 。這個定理把「理性」變成可以公理化、可以檢驗、可以計算的數學結構，是現代決策理論、金融學與資訊經濟學共同的地基。

問題的由來：序數效用撐不起風險世界#

第 2 章已見，1930 年代的消費者理論（Hicks、Allen）刻意把效用限縮為序數：效用函數只保留排序，任何嚴格遞增變換 \(g(u)\) 描述同一偏好。在確定世界裡這夠用；但一旦選項是「以機率 \(p\) 得 \(a\) 、以 \(1-p\) 得 \(b\) 」這種彩票，序數便失靈了——因為期望值 \(\sum p_i u(x_i)\) 在 \(u \mapsto g(u)\) 下不再不變，排序會被任意變換改寫。要談風險，就必須回答：效用數字本身有沒有「距離」的意義？

von Neumann–Morgenstern 的洞見是：風險本身是量尺。如果決策者願意在「確定得 100 元」與「以 60% 得 200 元、40% 得 0 元」之間無異，這個無異點就替效用刻度定位： \(u(100) = 0.6\,u(200) + 0.4\,u(0)\) 。用這種「標準賭博」（standard gamble）可以在任意兩個結果之間內插出效用值，效用因此從純排序升級為在正線性變換下唯一的基數量尺： \(u\) 與 \(au + b\) （ \(a>0\) ）描述同一偏好。

公理與定理#

設結果集合上的簡單彩票為 \(L = \sum_i p_i \delta_{x_i}\) 。vNM 偏好 \(\succsim\) 需滿足：

  1. 完備性與傳遞性：任意兩張彩票可比較，且偏好傳遞。
  2. 連續性：若 \(L_1 \succ L_2 \succ L_3\) ，則存在 \(p \in (0,1)\) 使 \(p L_1 + (1-p) L_3 \sim L_2\) ——足夠小的壞結果機率不會顛倒排序。
  3. 獨立性：若 \(L_1 \succ L_2\) ，則對任意 \(L_3\) 與 \(p \in (0,1]\) ， \(p L_1 + (1-p)L_3 \succ p L_2 + (1-p)L_3\) ——共同成分不影響偏好，這是最關鍵也最受爭議的一條。

定理（vNM, 1944）： \(\succsim\) 滿足上述公理，若且唯若存在效用函數 \(u\) 使

\[ L_1 \succsim L_2 \iff \sum_i p_i u(x_i) \ge \sum_i q_i u(x_i), \]

且 \(u\) 在嚴格正線性變換下唯一。

風險態度與凹凸性#

定理的立即回報是給「風險厭惡」精確定義。設 \(u'' < 0\) （凹函數），Jensen 不等式立刻給出：

\[ u\big(\mathbb{E}[X]\big) \ge \mathbb{E}\big[u(X)\big], \]

即確定所得比同期望值的賭局更受歡迎。風險溢酬定義為 \(\pi = \mathbb{E}[X] - CE\) ，其中確定等價物 \(CE = u^{-1}(\mathbb{E}[u(X)])\) 。對小風險可證 \(\pi \approx \frac{1}{2}\sigma_X^2 \left(-\frac{u''}{u'}\right)\) ，於是 Arrow（1965）–Pratt（1964）絕對風險厭惡係數

\[ r(x) = -\frac{u''(x)}{u'(x)} \]

成為衡量風險態度的標準量尺。 \(u = \ln x\) 時 \(r(x) = 1/x\) ：越富有越敢賭，這正是 Bernoulli 1738 年直覺的嚴格版本。

例題#

例題 9.1.1：某人有效用函數 \(u(w) = \sqrt{w}\) ，面對財富 400 元的確定現況，與一場「以機率 0.25 損失 175 元、否則不變」的賭局（如火災風險）。

解：賭局期望財富 \(\mathbb{E}[W] = 0.25 \times 225 + 0.75 \times 400 = 56.25 + 300 = 356.25\) 元。期望效用為

\[ \mathbb{E}[u] = 0.25\sqrt{225} + 0.75\sqrt{400} = 0.25 \times 15 + 0.75 \times 20 = 3.75 + 15 = 18.75. \]

確定等價物 \(CE = 18.75^2 = 351.5625\) 元。風險溢酬 \(\pi = 356.25 - 351.5625 = 4.6875\) 元：此人最多願付 48.4375 元（ \(=400-351.5625\) ）的保費投保而不虧——這正是保險公司定價空間的數學原型（詳見《金融的數學》第 8 章保險精算）。

公理的裂縫：Allais 悖論#

1953 年，Maurice Allais（阿萊，1911–2010） 在巴黎一場會議上向與會者提出兩組選擇：第一組在「確定得 100 萬」與「10% 得 500 萬、89% 得 100 萬、1% 得 0」之間選；第二組在「11% 得 100 萬、89% 得 0」與「10% 得 500 萬、90% 得 0」之間選。多數人選「確定 100 萬」且同時選「10% 得 500 萬」，但可驗算這違反獨立性公理：兩組選項在 89% 的機率上完全相同，按獨立性應同步翻轉。Allais 悖論預告了 1979 年 Kahneman–Tversky 展望理論（prospect theory）的到來——行為經濟學由此誕生。理論的回應路線包括放寬獨立性（rank-dependent utility）與承認偏好是「建構出來的」。

歷史啟示#

  • 量尺問題是核心：vNM 定理真正解決的不是「人要什麼」，而是「效用數字憑什麼可以運算」——答案是：用風險當量尺。
  • 規範與實證分家：定理刻劃的是理性決策的邏輯極限，Allais 之後「人實際如何選」成為獨立的實證問題，兩者並行至今。
  • 風險厭惡成為可量測的參數： \(r(x)\) 讓保險定價、投資組合選擇（《金融的數學》第 3 章）、資產定價有了共同語言。

前因後果與驅動關係#

由什麼驅動：期望效用的直接動機有二。其一是 2.1 節聖彼得堡悖論留下的「效用刻度」懸案；其二是 1930 年代之後經濟學必須處理保險、投資、企業決策等風險情境，而序數效用理論對此束手無策。von Neumann 在寫賽局論時（第 6 章）也發現：對手策略是隨機混合時，報酬必須是期望值，「 payoff 的基數意義」繞不開。

數學成熟後如何反哺實務：

  • 9.2 節：Akerlof–Spence 的資訊經濟學中，每個類型的代理人都在極大化期望效用，訊號的成本計算完全建立在 vNM 框架上。
  • 9.3 節：機制設計與拍賣理論中，競標者的激勵相容條件是期望效用下的不等式約束。
  • 《金融的數學》第 3 章：Markowitz 1952 年的投資組合理論是期望效用「二次效用」近似下的特例；第 7 章風險度量（VaR、CVaR）是對期望效用操作化的再嘗試。
  • 《管理的數學》第 8 章：決策分析中的期望值決策樹，即期望效用在商業實務的標準化流程。
  • 行為經濟學：Allais 悖論、Ellsberg 悖論（1961，對主觀機率本身的不確定厭惡）一路推到 1979 年展望理論，vNM 公理逐條被當作可檢驗假說——公理化反而製造了整個實驗經濟學的研究議程。
  • 《機率統計》：期望效用的計算依賴期望值與 Jensen 不等式，正是隨機變數理論的應用。

練習#

  1. 用標準賭博法：已知 \(u(0)=0\) 、 \(u(100)=1\) ，某人視「確定得 36 元」與「40% 得 100 元、60% 得 0」無異。求 \(u(36)\) ，並驗證 \(u(w)=\sqrt{w}/10\) 恰好吻合此點。
  2. 例題 9.1.1 中改用 \(u(w) = \ln w\) （ \(w>0\) ），重新計算期望效用、確定等價物與風險溢酬，比較何者風險厭惡較強（提示：比較 Arrow–Pratt 係數）。
  3. 證明：若 \(u\) 凹且二階可微，則對任意非退化隨機變數 \(X\) ，風險溢酬 \(\pi > 0\) 。 4.某人面對「50% 賺 100 元、50% 虧 100 元」的賭局拒絕參加，但面對「50% 賺 200 元、50% 虧 100 元」參加。在 \(u(w) = -e^{-w/50}\) （常數絕對風險厭惡）下驗證這兩個選擇都符合理性。
  4. 思考題：獨立性公理說「共同成分不影響偏好」。Allais 悖論顯示真實的人常違反它。你認為這說明公理錯了，還是說明公理刻劃的是「應然」而非「實然」？各舉一個後果。

年表速查#

  • 1738：Daniel Bernoulli 以對數效用解聖彼得堡悖論（本書 2.1 節）。
  • 1934–36：Ramsey 主觀機率與效用合論；Hicks–Allen 確立序數效用。
  • 1944：von Neumann 與 Morgenstern《賽局理論與經濟行為》，期望效用定理問世。
  • 1953：Allais 悖論提出。
  • 1961：Ellsberg 悖論（模糊厭惡）。
  • 1964–65：Pratt 與 Arrow 給出風險厭惡係數。
  • 1979：Kahneman–Tversky 展望理論；2002 年 Kahneman 獲諾貝爾經濟學獎。

名詞速查表#

  • 彩票（lottery）：結果上的機率分配，不確定決策的基本選項。
  • 獨立性公理：加入共同成分不改變偏好排序的 vNM 公理。
  • 確定等價物（CE）：與賭局期望效用相等的確定金額。
  • 風險溢酬：期望財富減確定等價物，為風險厭惡的貨幣度量。
  • Arrow–Pratt 係數： \(r(x) = -u''/u'\) ，風險厭惡的局部量尺。
  • Allais 悖論：系統性違反獨立性公理的著名實驗。

（本節完）